數(shù)學(xué)交流離不開(kāi)好問(wèn)題
——以二元一次方程數(shù)學(xué)活動(dòng)課教學(xué)為例

廣東省廣州市南國(guó)學(xué)校(510627)馬丹

廣東省廣州市天河區(qū)教師發(fā)展中心(510635)劉永東

1 寫(xiě)在前面

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)交流[1].數(shù)學(xué)交流即在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中師生通過(guò)閱讀、討論、辯論、合作等方式[2]進(jìn)行數(shù)學(xué)思想、知識(shí)的傳播或交換[3].通過(guò)交流,學(xué)生對(duì)知識(shí)會(huì)有更深入的理解,教師能清楚了解到學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、掌握程度.在平時(shí)教學(xué)中有很多數(shù)學(xué)交流的機(jī)會(huì):課堂上教師的講授與提問(wèn)、學(xué)生的聽(tīng)課與質(zhì)疑;課后學(xué)生的作業(yè)、錯(cuò)題反思、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)、教師批改作業(yè)等人與文本的交流;課外學(xué)生之間的問(wèn)題探討或論文報(bào)告等也是數(shù)學(xué)交流的形式.不同形式的交流指向共同的目的,即在數(shù)學(xué)交流中讓學(xué)生體悟數(shù)學(xué)思想,提升思維.對(duì)此,筆者以一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)“二元一次方程(組)解的幾何意義”為例,與同行分享在數(shù)學(xué)交流中感悟?qū)W生思維變化的細(xì)節(jié)與思考.

2 過(guò)程簡(jiǎn)析

片段1:你如何理解等式x-y=0,請(qǐng)說(shuō)一說(shuō).

追問(wèn)1:該方程的解的形式是怎樣的?

追問(wèn)2:方程的解能用有序數(shù)對(duì)表示嗎?能否將方程的解表示在平面直角坐標(biāo)系中?

該教學(xué)片段用一個(gè)個(gè)追問(wèn)促使學(xué)生展現(xiàn)知識(shí)儲(chǔ)備,讓學(xué)生建立起聯(lián)系的關(guān)鍵詞:二元一次方程→無(wú)數(shù)解→有序數(shù)對(duì)→平面直角坐標(biāo)系,將已學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái),不斷使知識(shí)內(nèi)化,以期生成新知識(shí).

片段2:請(qǐng)把二元一次方程x-y=0 的解在平面直角坐標(biāo)系中表示出來(lái),你發(fā)現(xiàn)什么?

該教學(xué)片段讓學(xué)生畫(huà)完圖后討論,得出結(jié)論.教師再用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示x-y=0 的圖象是一條直線,并追問(wèn):是不是所有的二元一次方程的圖象都是一條直線呢?

片段3:請(qǐng)任意寫(xiě)出一個(gè)二元一次方程,并把它的圖象在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出來(lái)!

該教學(xué)片段中小組每人舉一個(gè)例子,畫(huà)出圖形后互相檢查、比較、討論,得出共識(shí)結(jié)論,并懂得用“兩點(diǎn)式”畫(huà)二元一次方程圖象的簡(jiǎn)便方法.

片段4:在片段3 的平面直角坐標(biāo)系中,再任意畫(huà)一個(gè)二元一次方程的圖象,和同伴交流所畫(huà)圖象的區(qū)別,并思考造成區(qū)別的原因.

該教學(xué)片段讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)兩條直線相交、平行的情形,有意識(shí)的交流圖象存在區(qū)別的原因,感悟數(shù)學(xué)思想.

3 策略解析

3.1 設(shè)“好問(wèn)題”,讓學(xué)生“想說(shuō)”“敢做”

問(wèn)題是師生進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的紐帶.設(shè)置合理的、有意義的“好問(wèn)題”,能更好的促使學(xué)生積極思考,并通過(guò)不停的引導(dǎo)追問(wèn),引出最深層的數(shù)學(xué)思想,體悟智慧的碰撞過(guò)程.從而給學(xué)生創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的機(jī)會(huì),并在參與數(shù)學(xué)交流中充分表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思維過(guò)程.

然而,一些數(shù)學(xué)課堂缺少主動(dòng)的、互動(dòng)的數(shù)學(xué)交流,讓人感覺(jué)交流不起來(lái).那么,怎樣才能更好的促使生生、師生之間的交流呢?蘇霍姆林斯基曾說(shuō)過(guò):“人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要,那就是希望自己是個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者”.可見(jiàn),創(chuàng)設(shè)啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、研究、探索的問(wèn)題,能激發(fā)學(xué)生“想說(shuō)”的欲望.片段1 的問(wèn)題串都是已學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單再現(xiàn),在于營(yíng)造一個(gè)輕松、和諧的氛圍,共同傾聽(tīng)和評(píng)價(jià),學(xué)生愿意表達(dá),又能展示知識(shí)的動(dòng)態(tài)生成過(guò)程,讓學(xué)生在溫故的過(guò)程中逐步生成新知.

而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)離不開(kāi)實(shí)踐,動(dòng)手操作不僅讓學(xué)生主動(dòng)獲取了知識(shí),積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn),還培養(yǎng)了學(xué)生觀察、分析、應(yīng)用及解決問(wèn)題的能力.基于好的情境下的動(dòng)手操作能引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想,有利于提升學(xué)生思維的發(fā)展.那么,怎么創(chuàng)設(shè)“好情境”,讓學(xué)生“敢做”呢?片段2 的問(wèn)題:二元一次方程x-y=0 的解怎么和平面直角坐標(biāo)系建立聯(lián)系呢?又會(huì)有什么聯(lián)系?這個(gè)聯(lián)系可以通過(guò)直觀建立,于是讓學(xué)生大膽猜想并動(dòng)手操作和驗(yàn)證,做一做、看一看、想一想、說(shuō)一說(shuō),發(fā)現(xiàn)和掌握新知識(shí),完成“數(shù)”“形”互譯的過(guò)程,了解到二元一次方程解的幾何意義,又為構(gòu)建二元一次方程和初二要學(xué)的一次函數(shù)的聯(lián)系埋下伏筆.

3.2 悟“好過(guò)程”,讓學(xué)生“會(huì)說(shuō)”“敢想”

讓學(xué)生將自己在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、掌握技巧過(guò)程中“想到的”,“說(shuō)”給別人“聽(tīng)”,并引發(fā)數(shù)學(xué)交流,就需要學(xué)生“會(huì)說(shuō)”.學(xué)生將自己的推斷和思想以口頭或者書(shū)面的形式進(jìn)行表達(dá)的過(guò)程,不僅可以讓學(xué)生對(duì)原理有更深的理解,在不同意見(jiàn)和想法的爭(zhēng)辯中,學(xué)生的表達(dá)和邏輯思維的能力也得到了很好的提高.可見(jiàn),在“好過(guò)程”中體悟才有說(shuō)的基礎(chǔ),由此需要在緊扣教學(xué)目標(biāo)的前提下,留給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間參與知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程.引導(dǎo)學(xué)生自己尋求知識(shí)產(chǎn)生的原因,體會(huì)新知與舊知的區(qū)別與聯(lián)系.在探索思考的過(guò)程中,讓學(xué)生體會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法,感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵,尋找規(guī)律,獲得結(jié)論.

片段3 中,組內(nèi)每人畫(huà)的二元一次方程的圖象各異,大家在互相檢查、比較、討論中得出用“兩點(diǎn)式”畫(huà)圖象的結(jié)論,并在體驗(yàn)探索的過(guò)程中激活了思維,思想得到了升華.而片段4 在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中再任意畫(huà)一個(gè)二元一次方程的圖象,學(xué)生探究、嘗試、猜想、交流的機(jī)會(huì)暴露無(wú)遺,數(shù)形結(jié)合思想在不知不覺(jué)中得以滲透.完全開(kāi)放的問(wèn)題設(shè)置讓學(xué)生能說(shuō)的和想說(shuō)的機(jī)會(huì)很多,在交流中不僅強(qiáng)化了知識(shí)與知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,還為今后研究方程、不等式和函數(shù)圖象間的關(guān)系打下基礎(chǔ),使知識(shí)的發(fā)生發(fā)展渾然一體,有利于學(xué)生思維的持續(xù)性發(fā)展.如此,學(xué)生體悟好過(guò)程,就敢想、會(huì)說(shuō),并能進(jìn)行深度的交流.

4 數(shù)學(xué)交流

一般情況下,隨著年齡的增大,學(xué)生主動(dòng)回答問(wèn)題的意愿逐步減弱[1];而課外學(xué)生也沒(méi)有足夠的時(shí)間進(jìn)行數(shù)學(xué)交流.再者,有些學(xué)生自己能夠理解題目表達(dá)的意思,也能正確解答,但卻不能清楚明白地向他人講述解題思路與思維過(guò)程,總是詞不達(dá)意,沒(méi)有邏輯,影響了數(shù)學(xué)交流,導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生的交流更傾向于請(qǐng)教,而不是共同探討問(wèn)題.

而數(shù)學(xué)交流本是雙方互換信息,互相影響的學(xué)習(xí)活動(dòng)[1].對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言、組織表達(dá)能力的訓(xùn)練,需要給予他們足夠的時(shí)間,足夠的自信去進(jìn)行交流.這離不開(kāi)教師恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo),特別是設(shè)置開(kāi)放性的問(wèn)題,能給予學(xué)生更多的主動(dòng)權(quán).在片段3 的交流中,小組每人的方程不一樣,圖象也不一樣,但組內(nèi)每個(gè)人得出的圖象大都是一條直線,個(gè)別有不同,但交流后全班達(dá)成共識(shí)結(jié)論.此時(shí)追問(wèn)“如何簡(jiǎn)便確定一條直線?”“兩點(diǎn)可以怎樣簡(jiǎn)便取點(diǎn)?”等問(wèn)題,讓學(xué)生意識(shí)到“找與坐標(biāo)軸交點(diǎn)”這一快速確定圖象的方法,為以后函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的探究過(guò)程,歸納出結(jié)論:直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都對(duì)應(yīng)著二元一次方程的一組解,順理成章的明白了點(diǎn)的坐標(biāo)和方程解的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

而看似技能訓(xùn)練的片段4,一方面讓大家體會(huì)到掌握了更快捷方法的樂(lè)趣,另一方面,為過(guò)渡到二元一次方程組鋪墊.這個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題出現(xiàn)了很多不同的結(jié)果.事實(shí)證明,永遠(yuǎn)別低估了孩子們自我探究的能力,教師也無(wú)需特別預(yù)設(shè),“重合、相交、平行”三種結(jié)果都出現(xiàn)了,為交流打下很好的基礎(chǔ).小組上臺(tái)展示,同伴質(zhì)疑產(chǎn)生認(rèn)知沖突,讓學(xué)生更清楚明白整個(gè)探究過(guò)程,同時(shí)教師進(jìn)行系列追問(wèn):每一條直線代表的是什么?三種不同結(jié)果又表示什么意義?解一解你舉的方程組,是否與你所畫(huà)的圖形相符?這一串追問(wèn)讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更加透徹,思維也更深一層.并讓學(xué)生采用消元法和圖象法分別解二元一次方程組,感受不同方法的特點(diǎn),更深層的體會(huì)“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微”的真諦[4].學(xué)生也在交流后得出結(jié)論:一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一條直線,如果兩直線相交,那么二元一次方程組有唯一解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組的解;如果兩直線重合,那么相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組有無(wú)數(shù)組解;如果兩直線平行,那么相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組無(wú)解.

特別的,有小組提出:為什么大家所畫(huà)的平行不完全一樣,間隔的距離有大有小呢?于是,師生繼續(xù)分析討論,并用直接的話解釋出根源:“常數(shù)的差距大小決定了分開(kāi)的多少”.學(xué)生的這個(gè)發(fā)現(xiàn)不僅讓大家對(duì)本節(jié)的內(nèi)容理解的更透徹,更為以后學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的平移打下了基礎(chǔ),也說(shuō)明了數(shù)學(xué)結(jié)論是在不斷完善中形成的,課堂達(dá)到了超出預(yù)設(shè)的精彩效果.

事實(shí)上,這節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課的主題是“二元一次方程(組)解的幾何意義”,但教學(xué)的最終目的是讓學(xué)生理解過(guò)程與方法,因?yàn)閷?duì)于二元一次方程組,一般不用圖象求解,但對(duì)于一些高次方程、無(wú)理方程、超越方程的求解,畫(huà)圖象的方法就起作用了.再則,將二元一次方程與一次函數(shù)聯(lián)系起來(lái),為學(xué)生的后繼學(xué)習(xí)做鋪墊,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在不同知識(shí)領(lǐng)域的相融、和諧與一致,對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解和體悟更清晰,學(xué)會(huì)站在更高的起點(diǎn)上動(dòng)態(tài)的分析和解決問(wèn)題.

5 寫(xiě)在最后

數(shù)學(xué)課堂需要了解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維過(guò)程,而這個(gè)過(guò)程需要他們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái).教師應(yīng)善于利用反映數(shù)學(xué)思想的基本材料,有意識(shí)地設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)思想相聯(lián)系的學(xué)習(xí)活動(dòng),設(shè)置開(kāi)放的好問(wèn)題、好情境、好過(guò)程,讓學(xué)生獨(dú)立思考并充分地展開(kāi)交流,在交流中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一般性的規(guī)律進(jìn)行自主總結(jié)和概括,在交流后引導(dǎo)學(xué)生一起架構(gòu)起單元學(xué)習(xí)脈絡(luò),構(gòu)建知識(shí)體系,以達(dá)到潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的效果.