基于提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解題思維研究

江蘇省豐縣中學(xué)(221700)馬德宇

1 問題的提出

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的[1].

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出:基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題,引發(fā)學(xué)生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在解題教學(xué)中,我們常常會(huì)教給學(xué)生一些特殊的解題方法,諸如“一題多解”、“多題一解”.好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既能走進(jìn)去,又能走出來,善于從解題中尋求數(shù)學(xué)思想方法,提升學(xué)生思辨智慧,以此提升學(xué)生思維素養(yǎng).在這些問題的求解過程中究竟蘊(yùn)含著什么樣的思維,也就是說,在解題過程中我們是如何思維的,著名的美國(guó)心理學(xué)家吉爾福特按思維方向把思維分為發(fā)散思維和會(huì)聚思維兩種思維方式.發(fā)散思維能排除常規(guī)的思維定勢(shì),突破固有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),融會(huì)貫通地駕馭知識(shí),靈活地選擇各種途徑和方法,提出多種多樣的解答,是一種開放性的現(xiàn)代思維方式.會(huì)聚思維是運(yùn)用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法,把問題所提供的各種信息,沿著解決問題的途徑,朝著一個(gè)方向集中思考,從而得到一個(gè)確定的結(jié)論.

2 解決問題的途徑

2.1 一題多解與發(fā)散思維

學(xué)生要養(yǎng)成的良好習(xí)慣,不滿足于用一種做法和思路解題.一道題目做完之后想一想還有沒有其它方法,哪種方法更簡(jiǎn)單.對(duì)于最后的結(jié)果,是不是可以有其它的合理解釋.

發(fā)散思維具有三個(gè)特性,即流暢性、變通性和獨(dú)特性.這三個(gè)特性是發(fā)散思維的三個(gè)不同層次的表現(xiàn).

2.1.1 流暢性

流暢性是思維沿某個(gè)方向活動(dòng)時(shí),能敏捷暢通地發(fā)散,取得豐富的內(nèi)容,使發(fā)散的量盡可能增加.

例1已知實(shí)數(shù)a,b,x,y滿足a2+b2=1,x2+y2=9,求ax+by的最大值.

解法1因?yàn)?ax+by)2=a2x2+b2y2+ 2axby≤a2x2+b2y2+b2x2+a2y2=(a2+b2)(x2+y2)=9,所以-3 ≤ax+by≤3,故ax+by的最大值為3.

解法2設(shè)a=cosα,b=sinα,x=3 cosβ,y=3 sinβ,則ax+by=3 cosαcosβ+3 sinβsinβ=3 cos(α-β)≤3.

解法3設(shè)m=(a,b),n=(x,y),則ax+by=m·n=|m||n|cos〈m,n〉=3 cos〈m,n〉≤3.

解法4利用柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2可得,(ax+by)2≤(a2+b2)(x2+y2)=9,所以ax+by≤3,故ax+by的最大值為3.

通過對(duì)解題方法的反思,實(shí)現(xiàn)一題多解、多題歸一,總結(jié)解題規(guī)律,注意積累解數(shù)學(xué)題的思維模式和思維方法,如基本不等式法、參數(shù)法、向量法、圖像法、極限法、估算法等,關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生怎樣正確的審題,怎樣根據(jù)已知條件建立正確的數(shù)學(xué)模型.

2.1.2 變通性

2.1.3 獨(dú)特性

獨(dú)特性是指思維以新的角度、新的途徑展開,得出與眾不同的新穎獨(dú)特的見解.獨(dú)特性是在流暢性、變通性的基礎(chǔ)上形成的,是發(fā)散思維的高級(jí)階段.

例3已知拋物線在y軸上的截距為3,對(duì)稱軸為直線x=-1,在x軸上截得線段長(zhǎng)為4,求拋物線方程.

解法1截距為3,可選擇一般式方程:y=ax2+bx+c(a/=0)顯然有c=3,利用其他條件可列方程組求a,b值.

解法2由對(duì)稱軸為直線x=-1,可選擇頂點(diǎn)式方程:y=a(x-m)2+k(a /=0)顯然有m=-1,利用其他條件可列方程組求a,k的值.另外,由圖像對(duì)稱性可知x軸上交點(diǎn)為(l,0)和(-3,0).

解法3由截距為3,即過三點(diǎn)(0,3)、(l,0)和(-3,0),可選擇一般式方程:y=ax2+bx+c(a /=0),代人點(diǎn)坐標(biāo),列方程組可求a,b,c值.

解法4由一元二次方程與一元二次函數(shù)關(guān)系可選擇兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a /=0)(必須與x軸有交點(diǎn))顯然:x1=-3,x2=1,由截距3,可求a值.

此題解法充分體現(xiàn)了思維靈活性,以簡(jiǎn)馭繁,用特殊化思想求解,解題迅速、正確.

發(fā)散思維是創(chuàng)造性人才必須具備的素質(zhì).在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們必須熱心引導(dǎo),多方啟迪,著意培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的敏智?；?實(shí)踐證明:選編典型習(xí)題,選取不同的研究對(duì)象,根據(jù)不同的數(shù)學(xué)規(guī)律,運(yùn)用不同的方法,進(jìn)行一題多解的練習(xí),是培養(yǎng)發(fā)散思維能力的行之有效的途徑.

2.2 多題一解與會(huì)聚思維

會(huì)聚思維具有求同性、程序性和比較性,下面我們結(jié)合實(shí)例做些簡(jiǎn)單的介紹.

2.2.1 求同性

會(huì)聚思維是以認(rèn)識(shí)事物的共同性或掌握方法的通用性為目的的思維方式.與發(fā)散思維的求異性恰好相反,會(huì)聚思維是按照原有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法,去把握事物的共同點(diǎn).

分析這五道題可知,它們只是提法不同、角度不同,但本質(zhì)是一個(gè),都可以稱為“1”的替換.會(huì)聚思維的求同性是人們擴(kuò)大認(rèn)識(shí)領(lǐng)域,建立并加固知識(shí)體系的有力武器.

2.2.2 程序性

會(huì)聚思維總是按照固有的觀念、常規(guī)和步驟進(jìn)行運(yùn)作,具有嚴(yán)謹(jǐn)縝密的程序,有章可循,有法可依,步步相接,環(huán)環(huán)相扣把思維活動(dòng)指向事物的本質(zhì)和規(guī)律.

a.已知什么、要求什么——已知的是具體數(shù)據(jù)、還是字母已知量?隱含的條件是什么?是否有信息多余?

b.研究對(duì)象如何選取?

c.解題過程怎樣確定——是選取一個(gè)過程還是幾個(gè)過程?

d.以前的解題經(jīng)驗(yàn)有無利用價(jià)值——過去解決過這類問題嗎?

e.能否構(gòu)造出待求問題的數(shù)學(xué)情景——畫出一張圖來說明問題或表征問題?

反思其過程,發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤,通過這樣做,不僅可以防止類似錯(cuò)誤再犯,而且加深了對(duì)正確建立結(jié)論的印象,從而培養(yǎng)了思維的批判性,養(yǎng)成經(jīng)常獨(dú)立反思的習(xí)慣.通過一個(gè)例題解決一連串問題可以有效地提高解題能力,通過對(duì)解題過程的反思,引導(dǎo)學(xué)生反思新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,注意用舊知識(shí)去理解新知識(shí),同時(shí)又用新知識(shí)去解決舊問題.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)間的橫向、縱向聯(lián)系,使知識(shí)結(jié)構(gòu)化,系統(tǒng)化.

2.2.3 比較性

在集中指向同一目標(biāo)的幾種思路、方案和方法中,通過比較,尋找一個(gè)較佳的思路、方案和方法,這是會(huì)聚思維的又一特點(diǎn).大發(fā)明家愛迪生試制電燈泡的燈絲時(shí),是從1600 多種不同方案中選出碳化絲這種材料的,這是當(dāng)時(shí)最佳的方案.在數(shù)學(xué)解題中,我們提倡一題多解,訓(xùn)練發(fā)散思維能力,同時(shí),我們也要善于比較各種解法,“多”中擇“優(yōu)”,掌握最簡(jiǎn)便的解題方法,培養(yǎng)會(huì)聚思維的能力.

在上面的例1 中,顯然法2 和法3 學(xué)生易理解,法四雖然簡(jiǎn)單,但公式在高中課本中沒有.例2 中法1 學(xué)生比較好理解,利用判別式解決方程有根問題.

2.3 發(fā)散思維與會(huì)聚思維的關(guān)系

發(fā)散思維貴在活躍,思路開闊,方法多.會(huì)聚思維注重嚴(yán)謹(jǐn),比較擇優(yōu),方法好.在解題訓(xùn)練中是相互補(bǔ)充,相輔相成的.我們既要充分運(yùn)用發(fā)散思維,使用各種方法,沿著多種途徑去探索問題,又要善于運(yùn)用會(huì)聚思維,比較各種方法,尋求最佳的解決問題的方案.

在解題訓(xùn)練中,學(xué)生比較習(xí)慣單一地做題或思考問題,不善于把所學(xué)的內(nèi)容整理歸納,不能構(gòu)成體系,思考問題時(shí)又是東一榔頭西一耙子,這種思維的凌亂狀態(tài)阻礙思維能力的提高.因此在解題教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生注意以下幾點(diǎn):

“反思與寫讀書筆記”——引導(dǎo)學(xué)生將自己在預(yù)習(xí)中不理解的問題紀(jì)錄下來;在課堂上記好筆記,課后整理與補(bǔ)充筆記;看參考書,寫點(diǎn)摘錄;單元復(fù)習(xí),寫點(diǎn)小結(jié).

“梳理知識(shí)”——數(shù)學(xué)知識(shí)的前后聯(lián)系比較緊密,每學(xué)完一個(gè)單元要提醒學(xué)生自覺地整理與總結(jié).例如整理圓錐曲線的知識(shí)結(jié)構(gòu).由它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖像和性質(zhì),歸納成統(tǒng)覽表,并作對(duì)比,掌握其相同點(diǎn)與不同點(diǎn).

“梳理解題方法”——數(shù)學(xué)中處理問題的方法多種多樣,它們分散在各個(gè)章節(jié)中,要把解決同一類題目的各種知識(shí)與方法系統(tǒng)地貫通、串聯(lián)起來,促使思維系統(tǒng)化與深刻化.例如函數(shù)的最值問題.運(yùn)用二次函數(shù)的配方、在閉區(qū)間上的單調(diào)性、三角函數(shù)的有界性、均值定理、二次方程的判別式等方法來解決這樣的問題.

解題,要經(jīng)歷“見山是山,見山不是山,見山又是山”的參悟過程.就如同例4 中“1”的代換,1 非1,實(shí)為形式非1 而實(shí)質(zhì)是1,1 還是1.那么“Δ”、“O”是什么?是x,是x+2,也是sinx,更是,……,如此,題目就源源不斷地來了.

數(shù)學(xué)家波利亞指出:“好問題同某種蘑菇,有些相像,它們成堆地生長(zhǎng),找到一個(gè)以后,你就應(yīng)當(dāng)在周圍找一找,很可能附近就有好幾個(gè).”問題解決只是解題的第一步,之后,從解決的問題出發(fā),運(yùn)用類比、聯(lián)想、特殊化、一般化等思維方法,創(chuàng)編派生出一些常規(guī)問題和開放性問題,使得問題“成片開發(fā)”,提升素養(yǎng).或許,在不久的高考考場(chǎng)中,你會(huì)見到你自己編的題.