多元表征，讓主動(dòng)建模過(guò)程“看得見(jiàn)”

劉冉

受課程改革的影響，很多教師在教學(xué)《小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)，能夠想到從生活情境中引入，借助學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)表示小數(shù)，通過(guò)比較、分析，概括出小數(shù)的意義。但教學(xué)中往往因?yàn)榛顒?dòng)材料單一、活動(dòng)空間狹窄、放手不夠充分等原因，造成了學(xué)生的思維受到局限、不同層次的想法不能得到充分展現(xiàn)、模型建構(gòu)不充分等問(wèn)題。筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，在“主動(dòng)建構(gòu)”理念指導(dǎo)下，結(jié)合江蘇省五城區(qū)匯課連片活動(dòng)教學(xué)，對(duì)《小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》這節(jié)課進(jìn)行了如下探索。

一、化“具體”為“抽象”——充分表達(dá)，抽象概念

學(xué)生在學(xué)習(xí)前已經(jīng)具備了一定的經(jīng)驗(yàn)，“教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)”?！耙延械慕?jīng)驗(yàn)”包括生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)時(shí)往往只關(guān)注學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，容易忽略學(xué)生豐富的生活經(jīng)驗(yàn)。而且教學(xué)中學(xué)生常常只是單純地進(jìn)行模仿，對(duì)于分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的關(guān)系沒(méi)有太多的思考?；谝陨嫌^察研究以及前測(cè)，我采用了購(gòu)物活動(dòng)來(lái)導(dǎo)入新課，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷建模的過(guò)程。

【片段一】以形感知，建立表象

活動(dòng)要求：0.4元究竟是多少呢？我們接下來(lái)研究。請(qǐng)用你喜歡的方式表示出你心目中的0.4元。可以畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)。

匯報(bào)展示：

討論分四個(gè)層次：

（1）對(duì)0.4元有一定數(shù)感，比1元少，不到1元;

（2）不僅要分，而且要平均分;

（3）究竟要平均分成幾份，涂幾份，可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示，建立4/10元和0.4元之間的聯(lián)系;

（4）為什么都可以表示0.4元？——把1元平均分成10份，每份是0.1元，4份就是4/10元，也是0.4元。

另外，還想表示零點(diǎn)幾元？——腦海里邊想象圖邊說(shuō)一說(shuō)，引導(dǎo)比較共同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)：十分之幾元就是零點(diǎn)幾元。

片段中，通過(guò)明確活動(dòng)要求，引導(dǎo)學(xué)生用自己的方式表示出0.4元，學(xué)生能夠自由地多元表征，如：運(yùn)用元角實(shí)物表征，運(yùn)用正方形或直條圖圖形表征，運(yùn)用線段圖或計(jì)數(shù)器抽象表征等，不同思維層次的學(xué)生充分參與到研究之中，真正以學(xué)生為主體。充分激活兒童已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，從生活經(jīng)驗(yàn)知道0.4元=4角，從知識(shí)經(jīng)驗(yàn)知道4角=4/10元，從而推理出0.4元=4/10元。學(xué)生是在已有知識(shí)基礎(chǔ)上對(duì)新知識(shí)的自主生發(fā)，不僅能積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建立小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，也初步建立小數(shù)的表象。

【片段二】以形促思，抽象本質(zhì)

活動(dòng)要求：從下面材料中選一種，說(shuō)說(shuō)0.4表示的含義。想一想，0.4還能表示是什么？

生1：可以表示0.4元。把1元平均分成10份，表示其中的4份是4/10元，也就是0.4元。

生2：可以表示0.4分米。把1分米平均分成10份，表示其中的4份是4/10分米，也就是0.4分米。

生3：還可以表示0.4千克。把1千克平均分成10份，表示其中的4份是4/10千克，也就是0.4千克。

生4：還可以表示0.4升水。把1升平均分成10份，表示其中的4份是4/10升，也就是0.4升。

生5：正方形表示1，把正方形平均分成10份，涂色部分有4份，可以用分4/10表示，也就是0.4。

生6：計(jì)數(shù)器個(gè)位上的1顆珠表示1，右邊再添一個(gè)數(shù)位，個(gè)位的1顆珠相當(dāng)于這一位的10顆，撥4顆珠，表示0.4。

生7：還可以把0-1之間的線段平均分成10份，表示其中的4份也是0.4。

師：表示的方法不同，為什么都可以表示0.4？

生8：都是平均分成10份，涂出4份，就是4/10，也就是0.4。

“數(shù)學(xué)多元表征是將同一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象用本質(zhì)不同的多種形式表征，數(shù)學(xué)表征分為符號(hào)、言語(yǔ)、圖像和體驗(yàn)等四類(lèi)表征?！逼沃校處熖峁┴S富的學(xué)材，充分利用學(xué)生的視聽(tīng)觸覺(jué)等多種感官，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行多元表征，并逐步抽象化。

第一階段表現(xiàn)為學(xué)生用具體的實(shí)物表征，如：人民幣、直尺等，這種表征方式的學(xué)生認(rèn)知水平相對(duì)較低，思維漸漸向表象水平進(jìn)階;第二階段表現(xiàn)為學(xué)生運(yùn)用圖形表征，如：正方形、直條圖等，這種表征方式的學(xué)生思維已經(jīng)從實(shí)物上升到半抽象狀態(tài);第三階段即抽象思維階段，表現(xiàn)為學(xué)生能夠運(yùn)用符號(hào)表征概念，將具體實(shí)物充分抽象化，如：運(yùn)用計(jì)數(shù)器、數(shù)軸進(jìn)行表征。由此可看出，從具體到表象，再到抽象的過(guò)程，就是學(xué)生跨越最近發(fā)展區(qū)的過(guò)程。

二、變“被動(dòng)”為“主動(dòng)”——主動(dòng)建模，發(fā)展數(shù)感

新課程改革理念下，主張變學(xué)生的被動(dòng)接受式學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)。主動(dòng)建構(gòu)模型更是自發(fā)產(chǎn)生的、自覺(jué)需要的、自主運(yùn)用的一種學(xué)習(xí)狀態(tài)。同時(shí)本課對(duì)于數(shù)感的培養(yǎng)也很重要，數(shù)感也是數(shù)學(xué)的抽象，數(shù)感的培養(yǎng)有助于模型的進(jìn)一步延伸。

【片段三】以形建模，發(fā)展數(shù)感

師：老師這里有一把米尺，你還能找到其他小數(shù)嗎？可以在米尺圖上任意表示一個(gè)小數(shù)，說(shuō)一說(shuō)它所表示的含義。

建構(gòu)模型——十分之幾就是零點(diǎn)幾。

進(jìn)一步建構(gòu)模型——幾加零點(diǎn)幾就是幾點(diǎn)幾。

師：今天認(rèn)識(shí)了那么多小數(shù)，把他們請(qǐng)到直尺上，猜猜0.4在幾到幾之間？你能在數(shù)軸上找到對(duì)應(yīng)的小數(shù)嗎？

學(xué)生獨(dú)立完成后，進(jìn)行匯報(bào)。并發(fā)現(xiàn)越往右，小數(shù)越大。

數(shù)感的培養(yǎng)離不開(kāi)數(shù)與形的結(jié)合，從原生狀態(tài)的形到抽象意義的形，借助“形”承載“數(shù)”的實(shí)際意義，數(shù)感就是在形與數(shù)的穿梭承接中漸漸發(fā)展起來(lái)的。片段中，學(xué)生首先建立了“零點(diǎn)幾”的模型，接著建構(gòu)“幾點(diǎn)幾”的模型。在此過(guò)程中，學(xué)生感受小數(shù)是有大有小的。接著引出數(shù)軸，學(xué)生在數(shù)軸上估一估、找一找，感受小數(shù)的范圍、大小，感受數(shù)的拓展，豐富對(duì)數(shù)的認(rèn)知，從而發(fā)展數(shù)感，為后面建構(gòu)多位小數(shù)的模型埋下伏筆。

三、使“無(wú)痕”為“有痕”——回顧反思，看見(jiàn)生長(zhǎng)

學(xué)生學(xué)習(xí)的痕跡其實(shí)就是學(xué)生經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過(guò)程，而學(xué)習(xí)痕跡的保留不僅方便學(xué)生回憶過(guò)程、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，還有助于學(xué)生形成問(wèn)題思考的路徑和方法。學(xué)習(xí)痕跡不僅要留下來(lái)，而且最好是留在學(xué)生的學(xué)習(xí)材料之中，概念便跟著學(xué)習(xí)材料一起印在了學(xué)生的腦中，是能夠“帶得走”的概念認(rèn)知。

【片段四】以形回顧，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

師：觀看自己的“能力+”學(xué)習(xí)單，回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，我們是如何展開(kāi)學(xué)習(xí)的？小組里說(shuō)說(shuō)你有哪些收獲？還有哪些值得研究的問(wèn)題？

生1：這是我的學(xué)習(xí)單。我們?cè)凇盎顒?dòng)一”先自己表示了0.4元，知道了0.4元=4角=4/10元。我們還知道了小數(shù)和整數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。

生2：我還想繼續(xù)知道小數(shù)為什么叫小數(shù)？

師：這位同學(xué)提出的問(wèn)題很有研究?jī)r(jià)值。小數(shù)之所以叫小數(shù)，我們古人早就有研究，古書(shū)上有記載：“小，之微，不到1?！币馑际切?shù)的小數(shù)部分是不到1的，所以叫小數(shù)。

片段中，引導(dǎo)學(xué)生觀察自己的“能力+”學(xué)習(xí)單，就是讓學(xué)生回顧自己的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生在回憶的過(guò)程中，把每個(gè)過(guò)程進(jìn)行梳理、概括，從而內(nèi)化知識(shí)、形成路徑，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、感悟數(shù)學(xué)思想。

學(xué)生的學(xué)習(xí)痕跡清晰完整地保留下來(lái)，是學(xué)習(xí)真發(fā)生的“證據(jù)”，學(xué)習(xí)有跡可循、有理有據(jù)、有話可說(shuō)。同時(shí)，學(xué)習(xí)前后的思維都在學(xué)習(xí)單上，能清楚地看到學(xué)生的成長(zhǎng)，是學(xué)習(xí)的真發(fā)生。從問(wèn)題到收獲，再到新的問(wèn)題的提出，知識(shí)在原有生長(zhǎng)點(diǎn)上繼續(xù)向上延伸，學(xué)生的生命獲得成長(zhǎng)。