學(xué)科理解能力是設(shè)計(jì)高效數(shù)學(xué)活動(dòng)的支撐

【摘 要】 有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)是實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)目標(biāo)、突破教學(xué)難點(diǎn)的載體，設(shè)計(jì)高效的數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)在充分理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上完成.理解數(shù)學(xué)以準(zhǔn)確地確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)，理解學(xué)生為確定教學(xué)難點(diǎn)提供保障，利用學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)問題，而理解教學(xué)則是在前兩者的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)高效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)預(yù)設(shè)，從而實(shí)現(xiàn)高效的課堂.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)理解;數(shù)學(xué)活動(dòng);教學(xué)設(shè)計(jì)

1 引言

隨著課改的不斷更新與完善，教師對(duì)教材的理解、對(duì)新課程理念的認(rèn)識(shí)也逐漸深入，對(duì)數(shù)學(xué)教育的最終目的也有深刻的認(rèn)識(shí)，即發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源，以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神為核心，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考，成為善于發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的人才.要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)“學(xué)科育人”的最終目的，關(guān)鍵還是要提升教師的學(xué)科理解能力，即章建躍老師的“四個(gè)理解”.

實(shí)際上，教師充分把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，圍繞促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)理解的教學(xué)主線進(jìn)行教學(xué)，同時(shí)，善于提出具有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的問題，形成有針對(duì)性、有目的性、有階梯性的高效課堂.“四個(gè)理解”對(duì)教學(xué)的指導(dǎo)作用如圖1所示.

下面以浙教版“2.5有理數(shù)的乘方”為例，談?wù)剶?shù)學(xué)理解能力對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的支撐.

2 理解

2.1 理解數(shù)學(xué)——明確教材編寫意圖，確定適切的教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)

理解數(shù)學(xué)，首先是要理解教材，如何正確理解教材編者的意圖和教學(xué)目標(biāo)，教材的編排體系和知識(shí)結(jié)構(gòu)及教材內(nèi)部聯(lián)系和規(guī)律是怎樣的，如何根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況靈活處理教材等.

乘方運(yùn)算是一種特殊的乘法運(yùn)算，是幾個(gè)相同數(shù)字相乘的一種特殊乘法，內(nèi)容在七年級(jí)上冊(cè)第二章，本節(jié)主要內(nèi)容是有理數(shù)乘方的基本概念，包括底數(shù)、指數(shù)、冪的基本概念，乘方與冪的運(yùn)算表示方法;理解冪的符號(hào)法則，會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算，在此基礎(chǔ)上會(huì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算.基于以上分析，本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)為冪的概念及冪的運(yùn)算.

2.2 理解學(xué)生——理解學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確分析教學(xué)難點(diǎn)

理解學(xué)生，就是理解學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、認(rèn)知特點(diǎn)、學(xué)習(xí)方式和習(xí)慣等，教師只有弄清這些才能做到有的放矢，充分發(fā)揮學(xué)生在課堂中的主體地位，這就要求教師既要理解數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，又要理解當(dāng)前知識(shí)與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的距離.

小學(xué)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正數(shù)的乘方，如正方形的面積表示為a2，正方形的體積表示為為a3，也能夠進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的乘方運(yùn)算;進(jìn)入初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，學(xué)生掌握了乘法運(yùn)算的運(yùn)算法則，也學(xué)習(xí)了多個(gè)有理數(shù)的乘法，特別是多個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)確定法則，這些為學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘方運(yùn)算奠定了基礎(chǔ).但是學(xué)生對(duì)于（-a）n與-an的辨析仍然是難點(diǎn)，也是學(xué)生在計(jì)算過程中的易錯(cuò)點(diǎn)，基于以上分析，本節(jié)課的難點(diǎn)是底數(shù)的辨析與相關(guān)運(yùn)算.

2.3 理解教學(xué)——設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

理解教學(xué)，是指遵循教學(xué)的規(guī)律，靈活選擇教學(xué)活動(dòng)的組織方式，選擇好的內(nèi)容、合適的內(nèi)容呈現(xiàn)給學(xué)生，設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，突破難點(diǎn).

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)就是底數(shù)的辨析與冪的運(yùn)算，特別是（-a）n與-an的辨析，在運(yùn)算中也是易錯(cuò)點(diǎn)，那么教師應(yīng)該設(shè)計(jì)怎樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)突破難點(diǎn)，如何讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上運(yùn)算，達(dá)到不犯錯(cuò)或者少犯錯(cuò)的目的呢？這需要層層遞進(jìn)逐步提出問題，精心設(shè)計(jì)難度合理的問題串，引導(dǎo)學(xué)生思考.

3 設(shè)計(jì)

3.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題1 假設(shè)一張厚度為0.1 mm的紙連續(xù)對(duì)折始終是可能的，將其對(duì)折20次，一共有多少層？對(duì)折多少次后，所得的厚度將超過你的身高？

師生活動(dòng) 師生共同探究，從特殊到一般，從對(duì)折1次，2次，……，20次，羅列所得的結(jié)果，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)這些結(jié)果是表示多個(gè)2相乘.

設(shè)計(jì)意圖 通過實(shí)際問題引入，激發(fā)學(xué)生探究興趣，引入本節(jié)課要研究的內(nèi)容，同時(shí)也體現(xiàn)了乘方運(yùn)算是一種特殊的乘法運(yùn)算，突出算理.

3.2 交流對(duì)話，理解概念

問題2 像上面那樣表示多個(gè)相同的數(shù)相乘，有沒有簡(jiǎn)潔一點(diǎn)的表達(dá)形式呢？

師生活動(dòng) 師生共同完成底數(shù)、指數(shù)、冪的相關(guān)概念的介紹，并完成一些針對(duì)性的練習(xí)，特別是底數(shù)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，底數(shù)需要加括號(hào)，對(duì)于類似于“（-7）3與-73”這樣易錯(cuò)的問題，教師做針對(duì)性的講解辨析.

設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)課的難點(diǎn)在于底數(shù)的辨析，計(jì)算題的易錯(cuò)點(diǎn)也在這，所以課堂教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).

追問 讀讀下列各數(shù)，它們的意義一樣嗎？

（1）64;? （2）（-6）4;? （3）-64.

師生活動(dòng) 學(xué)生獨(dú)立思考并完成，若出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師和同學(xué)糾正，重點(diǎn)在于底數(shù)及冪的運(yùn)算的理解.

設(shè)計(jì)意圖 通過設(shè)計(jì)兩個(gè)有關(guān)（-a）n與-an的辨析，突破本節(jié)的難點(diǎn).

3.3 應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功

問題3 計(jì)算：（1）（-3）2; （2）1.53;（3）（-4/3））4;（4）（-1）11.

師生活動(dòng) 教師和學(xué)生共同完成，在運(yùn)算的過程中注意：（1）計(jì)算時(shí)提醒學(xué)生先把要求的式子寫成幾個(gè)相同因式相乘的形式，把問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)有理數(shù)乘法的計(jì)算;（2）底數(shù)是小數(shù)的可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要化成假分?jǐn)?shù);（3）在運(yùn)算的過程中要先定符號(hào)，再用絕對(duì)值相乘.

設(shè)計(jì)意圖 理解了冪的意義，進(jìn)行冪的運(yùn)算，理解冪既是運(yùn)算的符號(hào)，也可以表示運(yùn)算的結(jié)果.

追問 我們知道有理數(shù)的運(yùn)算首先是確定結(jié)果的符號(hào)，從上面的計(jì)算中你能歸納得出冪的運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)嗎？

師生活動(dòng) 與學(xué)生一起歸納出冪的符號(hào)規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖 一以貫之地體會(huì)有理數(shù)的運(yùn)算法則，體會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想.

問題4 1.計(jì)算：（1）-32;（2）3×23;（3）（3÷2）3;（4）8÷（-2）3.

2.解決問題情境中的折紙問題.

師生活動(dòng) 教師和學(xué)生一起運(yùn)算，規(guī)范運(yùn)算步驟，要先讓學(xué)生分清每一題中有哪幾種運(yùn)算，然后按照運(yùn)算順序逐步進(jìn)行計(jì)算.計(jì)算時(shí)要注意運(yùn)算順序：先算乘方，后算乘除;如果遇到括號(hào)，就先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算.

設(shè)計(jì)意圖 進(jìn)一步鞏固冪的運(yùn)算，特別是遇到混合運(yùn)算時(shí)應(yīng)首先確定運(yùn)算順序，將冪的運(yùn)算納入到原有的知識(shí)體系.對(duì)于折紙問題的解決，有效地提升了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

3.4 課堂小結(jié)，顆粒歸倉(cāng)

問題5 談?wù)勀銓?duì)乘方的認(rèn)識(shí).

師生活動(dòng) 學(xué)生獨(dú)立完成自己對(duì)冪的認(rèn)識(shí)，重點(diǎn)可以從冪的意義、冪的表示、冪的運(yùn)算等方面來(lái)講，同時(shí)從冪中底數(shù)的確定，含有冪的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序確定等方面來(lái)思考本節(jié)課的重點(diǎn)、難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 回顧本節(jié)課的所得，對(duì)本節(jié)知識(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)做進(jìn)一步的梳理.

4 思考

4.1 基于理解數(shù)學(xué)的角度思考課堂引入

本節(jié)課的教學(xué)中教師采用了教學(xué)設(shè)計(jì)中的課堂引入方案，通過一個(gè)看似不可能完成的任務(wù)提升學(xué)生質(zhì)疑的能力，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能夠讓學(xué)生感知到乘方運(yùn)算是一種特殊的乘法運(yùn)算.讓我們?cè)倏纯聪旅孢@種課堂引入方案.

問題1 前面我們一起研究了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，請(qǐng)同學(xué)們一起回顧乘法運(yùn)算的運(yùn)算法則.

追問 我們還學(xué)習(xí)了多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算，那么它的運(yùn)算符號(hào)如何確定呢？

師生活動(dòng) 師生共同回顧學(xué)習(xí)有理數(shù)乘法法則，特別是運(yùn)算符號(hào)的確定.

設(shè)計(jì)意圖 有理數(shù)的乘方是乘法的特殊運(yùn)算，本節(jié)課的學(xué)習(xí)上位知識(shí)是有理數(shù)的乘法及多個(gè)有理數(shù)乘法，有理數(shù)的運(yùn)算與小學(xué)的運(yùn)算最大的區(qū)別是符號(hào)的確定，一旦學(xué)會(huì)了確定有理數(shù)的運(yùn)算符號(hào)，就將有理數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為小學(xué)的運(yùn)算，所以運(yùn)算的關(guān)鍵之處在于確定運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，所以回顧運(yùn)算符號(hào)的確定對(duì)于本節(jié)課非常重要.

問題2 如圖2，一正方形的邊長(zhǎng)為5 cm，則它的面積為________cm2.一正方體的棱長(zhǎng)為5 cm，則它的體積為________cm3.

追問 一正方形的邊長(zhǎng)為a cm，則它的面積為________cm2.一正方體的棱長(zhǎng)為a cm，則它的體積為________cm3.

師生活動(dòng) 學(xué)生獨(dú)立思考，回答以上問題，并得出以上運(yùn)算實(shí)質(zhì)是一種特殊的乘法運(yùn)算，并順勢(shì)介紹乘方的相關(guān)概念.

設(shè)計(jì)意圖 乘方運(yùn)算是一種特殊的乘法運(yùn)算，通過熟悉的實(shí)際問題引入，讓學(xué)生感受到特殊的乘法運(yùn)算的算理.

比較兩種引入新課方式，筆者更推崇后一種引入方式，為方便閱讀，不妨將前一種引入方式稱為“折紙引入”，后一種引入方式稱為“復(fù)習(xí)引入”.“折紙引入”最大的優(yōu)點(diǎn)就是提出一個(gè)懸疑的問題，激發(fā)起學(xué)生的求知欲，而后學(xué)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容后可以順利解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并應(yīng)用于生活.同時(shí)也具備一個(gè)致命的缺點(diǎn)是情境難以理解，增加了學(xué)生的思考負(fù)擔(dān)，部分學(xué)生也可能因?yàn)檫@個(gè)情境無(wú)法理解，而導(dǎo)致后面的學(xué)習(xí)效果大打折扣，即使有能力理解的學(xué)生也增加了教學(xué)難點(diǎn).而“復(fù)習(xí)引入”則情境非常熟悉，完全不用擔(dān)心增加新的難點(diǎn);另外，本節(jié)課需要用到乘法運(yùn)算的法則及多個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)確定方法，通過復(fù)習(xí)引入可以更好地加深學(xué)生印象，為后續(xù)乘方運(yùn)算打好基礎(chǔ)，讓學(xué)生能輕松而不知不覺的進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)，起點(diǎn)低，入口寬.另外，若僅是起到提升學(xué)生學(xué)生興趣的目的，也可以把折紙問題放到應(yīng)用環(huán)節(jié)，能夠起到相同的作用.

4.2 基于理解學(xué)生的角度思考難點(diǎn)突破

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)就是底數(shù)的辨析，特別是（-a）n與-an的辨析，教師是如何設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)突破難點(diǎn)的呢？教師主要設(shè)計(jì)了四個(gè)層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)：

通過以上數(shù)學(xué)活動(dòng)比較可以看出，教師在突破本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)時(shí)設(shè)計(jì)了有效的4個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，從易到難，從概念的源頭一步步理解，如辯一辯環(huán)節(jié)，學(xué)生主要從底數(shù)的角度思考，學(xué)有余力的同學(xué)也可以通過計(jì)算算出結(jié)果，從結(jié)果上比較;讀一讀的活動(dòng)就更難一點(diǎn)，特別“-64”應(yīng)讀作“6的4次方的相反數(shù)”，學(xué)生完成了讀的任務(wù)，即是深度理解它們之間的不同;算一算環(huán)節(jié)，則是從計(jì)算的結(jié)果上去辨析;比一比的活動(dòng)更是將冪的各種不同形式綜合比較，進(jìn)一步加深了學(xué)生的印象.

當(dāng)前，在“雙減”的大背景下，更需要教師要對(duì)所教內(nèi)容的理解要到位，否則，若教師對(duì)所教數(shù)學(xué)的內(nèi)容知識(shí)、實(shí)質(zhì)性結(jié)構(gòu)知識(shí)等方面有所欠缺，對(duì)學(xué)生、對(duì)教學(xué)的理解不夠，就會(huì)導(dǎo)致對(duì)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程、重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵等不甚了了，從而就抓不住內(nèi)容的核心，設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)指向性不明，效率不高，教學(xué)效果也不理想.

參考文獻(xiàn)

[1]范良火等.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)教學(xué)參考書[M].杭州：浙江教育出版社，2021：74-76.

[2]吳增生.用數(shù)學(xué)發(fā)展智慧——基于腦、適于腦、發(fā)展腦的數(shù)學(xué)教學(xué)策略[M].南昌：江西教育出版社，2016：154-155.

[3]章建躍.理解數(shù)學(xué) 理解學(xué)生 理解教學(xué)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），? 2010（12）：3-7.

作者簡(jiǎn)介 王萬(wàn)豐（1979—），男，江西九江人，中學(xué)高級(jí)教師，浙江省教壇新秀，人民教育出版社室外編輯.主要進(jìn)行課堂教學(xué)研究及解題教學(xué)研究.參與編寫人教版八年級(jí)下冊(cè)教材及教師用書，發(fā)表論文20余篇.