DC-投射模的若干注記*

何東林，樊 亮

(隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,甘肅 隴南 742500)

近年來，學(xué)者們對Gorenstein同調(diào)理論進(jìn)行了研究和推廣.Holm等[1]在交換Noether環(huán)上介紹了關(guān)于半對偶模C的C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein內(nèi)射模.White[2]進(jìn)一步研究了交換環(huán)上的C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein內(nèi)射模(即GC-投射模和GC-內(nèi)射模).Gillespie[3]討論了Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模,此處的Ding-投射模與強(qiáng)Gorenstein平坦模[4]一致,而Ding-內(nèi)射模與Gorenstein FP-內(nèi)射模[5]一致.為了研究Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模的可數(shù)部分及涉及的模類,Zhang等[6]引入了關(guān)于半對偶模C的Ding-投射模和Ding-內(nèi)射模,分別稱之為DC-投射模和DC-內(nèi)射模.筆者擬研究DC-投射模的若干性質(zhì),并討論與DC-投射模相關(guān)的一些模類之間的聯(lián)系.

定義1[6]稱R-模M是DC-投射模,如果存在正合列

例1(1)當(dāng)C=R時,DC-投射模與Ding-投射模一致.

(2)每個DC-投射模都是GC-投射模.

引理1[6]模類DPC(R)關(guān)于擴(kuò)張、直和、直和因子和滿同態(tài)的核均封閉.

引理2[6]設(shè)M是R-模,則以下條件等價：

(1)M是DC-投射模；

(1)

下面對n用數(shù)學(xué)歸納法證明HomR(C,L)∈T,且自然同態(tài)ρL:C?HomR(C,L)→L為同構(gòu)(即L是C-余自反模).

圖1 行正合交換1

圖2 行正合交換2

0→Um→…→U1→U0→HomR(C,L)→0,

(2)

0→Fn→…→F1→F0→L→0,

(3)

(4)

圖3 行正合交換3

類似地可證明以下2個結(jié)論：

定理5PC(R)是DPC(R)的內(nèi)射余生成子.