材料力學(xué)剪力、彎矩圖“一筆畫”

○ 文/楊樹宇

在材料力學(xué)中，計算梁彎曲時的內(nèi)力，并繪制剪力、彎矩圖，是力學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是對梁進行強度計算和剛度校核的依據(jù)，同時又是后續(xù)課程的很重要的基礎(chǔ)知識。但對大多數(shù)學(xué)生來說卻是一個難點，在計算截面內(nèi)力和應(yīng)用簡捷法、疊加法繪制內(nèi)力圖時經(jīng)常出現(xiàn)錯誤，而使內(nèi)力圖成為力學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中的一個“瓶頸”，且簡捷法、疊加法繪制時需要分段，然后逐段進行分析、繪制，計算過程相對復(fù)雜。針對這個問題，通過幾年來的研究和教學(xué)實踐，筆者嘗試使用了一種更直觀、更簡捷的描繪內(nèi)力圖的方法，并稱之為“剪力、彎矩圖‘一筆畫’”。

之所以稱之為“剪力彎矩圖‘一筆畫’”，是受智力游戲“一筆畫”中不斷筆、不重復(fù)地從起點到終點畫出完整圖形的啟發(fā)。筆者通過研究發(fā)現(xiàn)剪力、彎矩圖的繪制中也有這樣“一筆畫”的規(guī)律可循。要一筆繪制出一個完整的剪力或彎矩圖，就要分析清楚各段圖線的線型，各段圖線的連接及圖線的起、終點等 問題。

一、“一筆畫”理論分析

（一）剪力、彎矩圖的線型

由我們已知的知識可知，剪力、彎矩圖圖線是分段繪制出的，在各段中圖線有平行于軸線的直線、斜直線、二次拋物線等基本線型。據(jù)微分關(guān)系及微分關(guān)系的幾何意義可知，剪力、彎矩圖線型與荷載分布形式有緊密聯(lián)系：當梁段上無荷載分布時［q(x)=0］，剪力圖圖線是一條平行于桿軸線的直線、彎矩圖圖線是一條斜直線；當梁段上有均勻分布的荷載時［q(x)=常數(shù)］，剪力圖圖線是一條斜直線、彎矩圖圖線是一條二次拋物線（如圖1）。這樣內(nèi)力圖在各梁段上的線型就確定清楚了。

圖1

（二）剪力、彎矩圖各段圖線的連接

當各段的圖線得到了確定后，接下來的問題就是如何“一筆”連接各段線條。這就要搞清楚圖線分段的依據(jù)，及剪力、彎矩圖圖線中的連續(xù)與突變。

首先，圖線的分段是以梁段上荷載作用的突然變化為分段依據(jù)的。而圖線是連續(xù)還是突變，就要視荷載情況來分析了：當梁上荷載由無荷載變?yōu)橛芯己奢d時，剪力、彎矩圖圖線將改變線條的形狀或方向，但線條是連續(xù)的，不發(fā)生突變；當有集中荷載F作用時，剪力圖發(fā)生突變，彎矩圖連續(xù)；當有集中力偶m作用時，剪力圖不受影響，彎矩圖發(fā)生突變，如圖2所示。

圖2

突變時：截取突變截面處的微段分析，如圖3所示。

圖3

得： FQ右=FQ左－F， M右=M左－m

可見突變值的大小為集中力F或集中力偶m的大小。反應(yīng)在圖形上，剪力圖和彎矩圖在此處的橫坐標不變，縱坐標變化F或m，此時連接前后兩段圖線的線段垂直于軸線，恰好為圖線的縱標線，而圖形在縱標線的連接下被完整的一筆連起來。

據(jù)內(nèi)力計算可知，繪剪力圖時，如果繪制順序是從左向右，那么剪力圖突變的方向正好與荷載的作用方向相同，即遇向下的集中荷載，剪力圖向下突變，反之向上；繪彎矩圖時，彎矩圖突變的方向也與荷載的作用方向相關(guān)：遇逆時針外力偶作用時，彎矩圖向上突變（在土建工程類材料力學(xué)中，彎矩圖繪制時，基線上方為負），反之向下。

因此剪力、彎矩圖在梁段上的圖線可據(jù)荷載作用情況，逐段連續(xù)繪制。當無突變時，連續(xù)繪制；當有突變時，以縱標線連接連續(xù)繪制。(縱標線繪制的方向和大小由外力來定)。

（三）圖線的起、終點

前面分析了圖線繪制過程中可一筆繪制，那么圖線從哪起筆，又從哪收筆呢？對梁的整個圖線來說，其桿件端點內(nèi)力對應(yīng)的縱標應(yīng)為圖線的起點，但桿件端點內(nèi)力的縱標值也與外力有關(guān)。其縱標線的絕對值的大小，在剪力圖中恰好為桿端豎直方向集中力的大?。辉趶澗貓D中恰好為外力偶矩的大小。此處的縱標線可視為桿端外力外側(cè)的截面內(nèi)力為零，遇有外力作用后產(chǎn)生突變（如圖4）。此縱標的性質(zhì)與上述“剪力、彎矩圖圖線中的連續(xù)與突變”性質(zhì)一樣。那么，桿端外力外側(cè)內(nèi)力為零，即縱標起點為零。同理終點處縱標也為零。所以在“一筆畫”繪制內(nèi)力圖時，“一筆畫”的起點為基線的起點，同時終點也恰為基線的終點。

圖4

二、剪力圖“一筆畫”方法

1.計算支反力。

2.確定基線。

3.繪圖線。一般為從基線左端起筆開始向右連續(xù)繪圖(稱“從左向右繪圖法”)。

繪剪力圖圖線方法：從基線左端起筆，向右連續(xù)繪制首尾相接的圖線段，各種線段為：

（1）遇集中荷載（包括支反力），則沿集中荷載指向，向上或向下繪垂直于基線線段，線段長為集中荷載大小；

（2）遇無荷載梁段，繪平行于基線的圖線；

（3）遇向上（或向下）均布荷載，繪斜向上（或斜向下）直線，斜直線的起點與終點差值為對應(yīng)梁段上均布荷載的合力值（q·a）。

這樣，一條圖線從基線左端起連續(xù)繪至右端時，圖線應(yīng)回到基線，完成“一筆畫”。再標出各控制點處縱標值及縱標線、符號、圖名、單位等，至此剪力圖繪制完畢。則整條圖線為從基線左端起筆連續(xù)繪制線段至基線右端止的圖線。概括為一句話：“剪力圖線走向與荷載方向一致，連續(xù)繪制”。(說明：如果從右向左繪制時，圖線走向與荷載方向相反)。

舉例說明：繪如圖5所示梁的內(nèi)力圖（支反力的計算過程略）。例題剪力圖（FQ圖）說明：如 圖5（b）。

圖5

如圖所示，F(xiàn)Q圖圖線共有八段圖線一筆連接而成：

①-② 段：遇豎直向上集中荷載RA=70kN ——圖線豎直向上畫70，縱標由0至70；

②-③ 段：無荷載梁段——水平直線，縱標70；

③-④ 段：遇豎直向下集中荷載120kN——圖線豎直向下畫120，縱標由70至70－120=－50；

④-⑤ 段：無荷載梁段——水平直線，縱標－50；

⑤-⑥ 段：遇向上均布荷載，合力大小為30×4=120kN——圖線斜向上畫直線，起點與終點差值為120，縱標由－50至－50+120=70；

⑥-⑦ 段：遇豎直向下集中荷載60kN——圖線豎直向下畫60，縱標由70至70－60=10；

⑦-⑧段：遇向下均布荷載，合力大小為20×2=40kN——圖線斜向下畫直線，起點與終點差值為40，縱標由10至10－40=－30；

⑧-⑨ 段：遇豎直向上集中荷載RB=30kN ——圖線豎直向上畫30，縱標由 －30至－30+30=0，且回到了基線。

三、彎矩圖“一筆畫”方法

比起剪力圖的繪制，彎矩圖計算較復(fù)雜，數(shù)據(jù)不易得出，所以不宜直接采用“一筆畫”來繪彎矩圖。但借助剪力圖以面積法來計算，同樣也可方便的“一筆”繪出彎矩圖。方法如下：

1.確定基線。

2.繪圖線。同繪剪力圖一樣，畫彎矩圖時一般也是從左向右連續(xù)繪制。

注意：因是借助剪力圖來繪制，而剪力圖中反映不出集中力偶的作用，所以繪彎矩圖時應(yīng)結(jié)合荷載圖中的集中力偶作用，不能丟掉。

繪彎矩圖（M圖）圖線的方法：從基線左端起筆向右連續(xù)繪制首尾相接圖線段，各種線段為：

①遇力偶作用，據(jù)該力偶矩使向下段梁產(chǎn)生正彎矩（或負彎矩），向上（或向下）繪垂直于基線線段，線段長為該力偶矩大小；或據(jù)遇逆時針外力偶作用時，彎矩圖向上突變，反之向下來判斷圖線繪制方向。

②遇剪力圖為等于0直線段，則繪平行于基線 線段；

③遇剪力圖為正水平線段（與基線構(gòu)成一矩形），則繪斜向下直線；如剪力圖為負水平線段，則繪斜向上直線；繪出的斜直線起點與終點差值為此段剪力圖與基線構(gòu)成的矩形面積大小；

④遇剪力圖為斜直線時，對應(yīng)彎矩圖為二次曲線，二次曲線的凸向與斜直線斜向一致，即斜向上直線對應(yīng)向上凸二次曲線，反之對應(yīng)向下凸二次曲線。此二次曲線兩端差值△M計算如下：

設(shè)剪力圖斜直線的起點、終點剪力值為a、b，斜直線對應(yīng)基線段長度為L，則對應(yīng)二次曲線起點、終點差值△M=（b+a）L/2（注意a、b取代數(shù)量）。如果計算△M＞0，則二次曲線終點在起點下側(cè)，反之如△M＜0，則終點在起點上側(cè)。另，在二次曲線段內(nèi)如有極值，則需另外計算。

如上述方法，一條圖線從基線左端起連續(xù)繪制至右端時，應(yīng)回到基線，然后標出各控制點縱標值、縱標線、符號、圖名、單位等，至此剪力圖繪制完畢。

概括一句話來表達：“彎矩圖圖線走向與剪力圖面積大小及符號一致，連續(xù)繪制”。

(說明：如果圖線從右向左繪制時，圖線走向與剪力圖面積符號相反。)

例題M圖說明：如圖4（c）。

如圖所示，彎矩圖圖線共有五段圖線一筆連接而成：

①-② 段：正水平剪力圖線段，面積70×1=70——圖線從基線起，斜向下畫直線，縱標由0至70－0=70。起、終點差值70；

②-③ 段：負水平剪力圖線段，面積50×1=50——圖線斜向上畫直線，縱標由70至70－50=20，起、終點差值20－70=－50；

③-④ 段：集中力偶（使下梁段產(chǎn)生負彎矩）40kN·.m ——圖線豎直向上20－40=－20，縱標由20至20－40=－20，起、終點差值－20－20=－40；

④-⑤ 段：斜向上剪力圖線段面積 △M=〔70-（-50）〕×4／2=40——圖線為二次曲線，終點在起點下側(cè)40，起終點差值20－(－20)=40；

⑤-⑥ 段：斜向下剪力圖線段面積 △M=（－30+10）×2／2=－20——圖線為二次曲線，終點在起點上側(cè)20的，縱標由20至20－20=0，起終點差值0－20=20，回到基線。

上述繪制剪力圖、彎矩圖的方法，可以認為是面積法計算截面內(nèi)力與簡捷法繪內(nèi)力圖的一種有機結(jié)合，是將計算過程融合到圖形的繪制當中。特別是這種方法有一顯著的特點，即：由基線起，到基線止，這樣，在繪圖完畢后即可檢驗出圖形繪制是否正確，這有助于我們準確地繪制出內(nèi)力圖。通過教學(xué)實踐，學(xué)生們普遍感到這種方法易學(xué)易會，簡便快捷，是一種較實用的解題方法。