凸顯函數(shù)意義滲透整體意識(shí)

邵文鴻

摘? 要：通過回顧與明確函數(shù)的研究內(nèi)容提出問題，建構(gòu)函數(shù)學(xué)習(xí)的自然路徑，讓學(xué)生感受到函數(shù)學(xué)習(xí)的整體性. 設(shè)計(jì)契合知識(shí)類型的活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)二次函數(shù)模型與其他已學(xué)函數(shù)模型的區(qū)別，充分體驗(yàn)函數(shù)變量之間的依存關(guān)系以凸顯二次函數(shù)的意義.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);函數(shù)意義;整體意識(shí)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課選自浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第一章第1節(jié)“二次函數(shù)”第1課時(shí)，主要內(nèi)容有三個(gè)：二次函數(shù)的概念及相關(guān)概念（一般式、二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、系數(shù)）;從具體問題中獲得二次函數(shù);用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

2. 內(nèi)容解析

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具. 函數(shù)中蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)模型思想和運(yùn)動(dòng)變化思想，研究內(nèi)容從靜態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài)，數(shù)學(xué)抽象程度更高，是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體.

初中階段函數(shù)主線的基本架構(gòu)：變量與函數(shù)的概念—函數(shù)的三種表示方法—一次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)與應(yīng)用—反比例函數(shù)及其圖象、性質(zhì)與應(yīng)用—二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)與應(yīng)用.

根據(jù)之前一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，已經(jīng)知道學(xué)習(xí)函數(shù)的基本路徑：概念—性質(zhì)—應(yīng)用. 二次函數(shù)的學(xué)習(xí)將經(jīng)歷同樣的過程，其中，函數(shù)性質(zhì)的研究需要從代數(shù)式的特征分析與函數(shù)圖象的直觀感知兩個(gè)方面進(jìn)行展開與結(jié)合.

函數(shù)概念在初中階段是“變量說”——在一個(gè)變化過程中，兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系;而高中階段的函數(shù)概念是更為抽象的“對(duì)應(yīng)關(guān)系說”——兩個(gè)實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 對(duì)于一個(gè)具體的變化過程，“變量說”更為形象直觀，但對(duì)于初中生來說函數(shù)依然是很難理解的數(shù)學(xué)概念.

本節(jié)課從具體實(shí)例中抽象出二次函數(shù)的概念，在具體情境中建立二次函數(shù)模型，這個(gè)過程是理解二次函數(shù)概念的過程. 作為章起始課，從單元教學(xué)整體性的角度考慮，需要學(xué)生回顧和明確研究函數(shù)的基本路徑，正所謂“研究對(duì)象在變，研究路徑不變”.

根據(jù)上述分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：二次函數(shù)的概念.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的一般形式.

（2）會(huì)建立簡單二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實(shí)際問題確定自變量的取值范圍.

（3）會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志：能敘述二次函數(shù)的概念;能從函數(shù)解析式判斷是不是二次函數(shù);針對(duì)具體解析式能說出二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)、常數(shù)項(xiàng);能舉出二次函數(shù)的正例與反例.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志：在簡單的情境中（如面積、二次均勻增長等）建立二次函數(shù)模型;能根據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其范圍.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：能用待定系數(shù)法求有兩個(gè)系數(shù)待定的二次函數(shù)解析式（三個(gè)系數(shù)待定的需要解三元一次方程組，為選學(xué)內(nèi)容）.

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和反比例函數(shù)，對(duì)學(xué)習(xí)函數(shù)的方法和路徑已經(jīng)有了經(jīng)驗(yàn)積累. 但函數(shù)是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生在理解上存在一定困難. 另外，二次函數(shù)解析式中有三個(gè)系數(shù)、圖象單調(diào)性發(fā)生變化、出現(xiàn)極值、圖象與坐標(biāo)系位置關(guān)系更為復(fù)雜等原因，都將導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的困難.

二次函數(shù)的學(xué)習(xí)涉及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，需要知識(shí)的靈活和綜合運(yùn)用，學(xué)生會(huì)遇到困難.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：二次函數(shù)概念的抽象過程.

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)情境，引入概念.

問題1：函數(shù)是描述客觀世界中數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，我們已經(jīng)經(jīng)歷了一次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，你能說說函數(shù)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容嗎？

學(xué)生通過討論和相互補(bǔ)充，明晰函數(shù)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，即通過具體實(shí)例來認(rèn)識(shí)函數(shù)，研究該函數(shù)的圖象與性質(zhì)，探索這種函數(shù)與相應(yīng)方程的聯(lián)系，運(yùn)用這種函數(shù)來解決實(shí)際問題.

【設(shè)計(jì)意圖】提供先行組織者，為章節(jié)起始課的教學(xué)服務(wù)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知前找到知識(shí)的固著點(diǎn)，形成知識(shí)學(xué)習(xí)的整體思路，以便找到知識(shí)學(xué)習(xí)的路徑，提高學(xué)習(xí)效率.

情境1：試寫出圓的面積y（cm2）與半徑x（cm）的函數(shù)表達(dá)式.

情境2：王師傅存銀行2萬元，先存一年定期，一年后將本息又轉(zhuǎn)存為一年定期. 設(shè)一年定期的年存款利率為x，一年后王師傅共得本息y1元，兩年后王師傅共得本息y2元，試分別寫出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

情境3：一個(gè)長方形花園的周長為100 m，那么長與寬分別為多少時(shí)，長方形花園的面積最大？這個(gè)問題中涉及哪些變量？你可以寫出哪些函數(shù)表達(dá)式？

【設(shè)計(jì)意圖】情境1是幾何圖形模型;情境2是本息問題的實(shí)際模型;情境3是開放式的幾何問題. 提供三個(gè)有變化的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生感受更豐富的函數(shù)背景，體驗(yàn)函數(shù)中變量之間的依存關(guān)系. 其中涉及一次函數(shù)和二次函數(shù)的比較，為抽象出二次函數(shù)做好了鋪墊，促使學(xué)生從中感受二次函數(shù)的意義，獲得初步感受——兩個(gè)一次函數(shù)的乘積會(huì)產(chǎn)生一個(gè)二次函數(shù).

環(huán)節(jié)2：概括特征，形成概念.

通過觀察、類比一次函數(shù)，學(xué)生能得到這三個(gè)函數(shù)的共同特征：最高次項(xiàng)是二次項(xiàng)，是一個(gè)關(guān)于自變量的二次多項(xiàng)式，一般形式可以表示為y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a ≠ 0）.

從而得到二次函數(shù)的定義：把形如[y=ax2+bx+c]（其中a，b，c是常數(shù)，a ≠ 0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，稱a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng).

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷類比和對(duì)比一次函數(shù)、概括共同特征的過程，抽象出二次函數(shù)的定義表述.

練習(xí)1：下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

練習(xí)2：分別說出下列二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

通過獨(dú)立練習(xí)、交流討論，學(xué)生能自主完成練習(xí)題，教師在此過程中扮演組織者的角色.

【設(shè)計(jì)意圖】通過概念性變式和非概念性變式，達(dá)到辨析、鞏固概念的目的，同時(shí)檢測教學(xué)目標(biāo)（1）的達(dá)成情況.

環(huán)節(jié)3：靈活應(yīng)用，提升理解.

例1? 已知二次函數(shù)y=x2+px+q，?當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值是4;當(dāng)[x=2]時(shí)，函數(shù)值是-5. 求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

學(xué)生已經(jīng)有用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的經(jīng)驗(yàn)，能自主完成例題的求解，教師需要組織反饋和適時(shí)鼓勵(lì)評(píng)價(jià).

變式：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)x=1時(shí)，y=2;?當(dāng)x=-2時(shí)，y=-7;當(dāng)x=-1時(shí)，y=0.求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

問題3：通過對(duì)上述例1和變式的解答，歸納用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式的步驟. 比較例題與變式，說一說要確定一個(gè)二次函數(shù)的解析式，需要幾個(gè)條件.

【設(shè)計(jì)意圖】變式是選學(xué)內(nèi)容，如果沒有學(xué)過三元一次方程組，可以讓學(xué)生列出方程組即可，不必求解.這里的目的并不在于讓學(xué)生解三元一次方程組，而是通過比較，讓學(xué)生理解確定二次函數(shù)解析式就是確定三個(gè)系數(shù)，而確定三個(gè)系數(shù)需要給出三個(gè)條件，引導(dǎo)學(xué)生從中感受變量間的依存關(guān)系.

環(huán)節(jié)4：應(yīng)用概念，解決問題.

例2? 如圖1，一張正方形紙板的邊長為2 cm，將它剪去4個(gè)全等的直角三角形（圖中陰影部分）. 設(shè)AE=BF=CG=DH=x（cm），四邊形EFGH的面積為y（cm2）.

求：（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍;

（2）當(dāng)x分別為0.25，0.5，1.5，1.75時(shí)，對(duì)應(yīng)的四邊形EFGH的面積，并列表表示.

組織學(xué)生先獨(dú)立思考，再交流展示. 期間教師適時(shí)介入、啟發(fā)引導(dǎo)，通過以下問題串提升學(xué)生的思考和深度理解.

問題4：四邊形EFGH的面積為什么隨著x的變化而變化？（感受變量之間的依存關(guān)系，可以通過幾何畫板軟件展示這個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的過程.）

問題5：求四邊形EFGH的面積，有哪些思路？（直接法與間接法.）

問題6：自變量x的取值范圍是怎樣確定的？（考查動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍.）

問題7：觀察第（2）小題中列出的表格，并結(jié)合觀察幾何畫板軟件展示的動(dòng)態(tài)圖形，你有哪些發(fā)現(xiàn)？（隨著x取值的增大，y的值先減后增;y有最小值;y的值具有對(duì)稱性.）

【設(shè)計(jì)意圖】借助幾何畫板軟件展示動(dòng)態(tài)圖形，理解函數(shù)的意義——變化過程中兩個(gè)變量間的依存關(guān)系. 感受并理解自變量的取值范圍是函數(shù)關(guān)系式的組成部分，而不是“另外附加”的部分. 二次函數(shù)的性質(zhì)比一次函數(shù)的性質(zhì)要復(fù)雜很多，特別是單調(diào)性出現(xiàn)變化，在這個(gè)變化的過程中會(huì)出現(xiàn)最值（極值），并且出現(xiàn)了對(duì)稱性. 結(jié)合圖形的動(dòng)態(tài)變化學(xué)生能直觀地感知以上性質(zhì)，為后繼研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)提供認(rèn)知基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn).

環(huán)節(jié)5：歸納概括，建立聯(lián)系.

通過交流討論，得到如下知識(shí)結(jié)構(gòu)：一次函數(shù)概念—一次函數(shù)圖象及性質(zhì)—一次函數(shù)應(yīng)用;反比例函數(shù)概念—反比例函數(shù)圖象及性質(zhì)—反比例函數(shù)應(yīng)用;二次函數(shù)概念……

【設(shè)計(jì)意圖】聯(lián)系一次函數(shù)和反比例函數(shù)，類比研究路徑和方法，指引后繼學(xué)習(xí)的方向.

環(huán)節(jié)6：目標(biāo)檢測，評(píng)價(jià)效果.

1. 下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（? ? ）.

2. 若函數(shù)[y=m2-1xm2-m]為二次函數(shù)，則m的值為? ? ? .

3. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，?當(dāng)x=0時(shí)，y=7;當(dāng)x=1時(shí)，y=0;?當(dāng)x=-2時(shí)，y=9.求它的函數(shù)表達(dá)式.

4. 如圖2，△ABC與△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，BC=EF=8，∠C=∠F=90°，且點(diǎn)C，E，B，F(xiàn)在同一條直線上，將△ABC沿CB方向平移，AB與DE相交于點(diǎn)P. 設(shè)CE=x，△PBE的面積為S，求：

（1）S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并指出自變量的取值范圍;

（2）當(dāng)[x=3]時(shí)，求△PBE的面積.

【設(shè)計(jì)意圖】檢測教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成程度.

五、教學(xué)反思

1. 滲透整體意識(shí)，采用單元教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)過程

初中函數(shù)的學(xué)習(xí)需要突出整體性與系統(tǒng)性. 從函數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性來看，初中學(xué)段一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)的學(xué)習(xí)都需要學(xué)生經(jīng)歷“通過具體實(shí)例來認(rèn)識(shí)函數(shù)，研究該函數(shù)的圖象與性質(zhì)，探索這種函數(shù)與相應(yīng)方程的聯(lián)系，運(yùn)用這種函數(shù)來解決實(shí)際問題”四個(gè)方面的內(nèi)容學(xué)習(xí);從函數(shù)學(xué)習(xí)方法的系統(tǒng)性來看，初中函數(shù)的學(xué)習(xí)要重視通過單元教學(xué)來設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程.

2. 重視概念理解，體驗(yàn)問題關(guān)聯(lián)，凸顯函數(shù)意義

初中函數(shù)的表示方法主要有圖象法、表格法、解析法三種. 在教學(xué)中，教師不僅要重視引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)函數(shù)三種形式的轉(zhuǎn)換表達(dá)，更要重視培養(yǎng)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念意義的理解. 本節(jié)課，在概念引入階段給出三個(gè)具有代表性的問題情境，通過具體實(shí)例，讓學(xué)生感受了更為豐富的函數(shù)問題背景，體驗(yàn)了一次函數(shù)與二次函數(shù)的區(qū)別，體驗(yàn)了函數(shù)中變量之間的依存關(guān)系，為抽象出二次函數(shù)做好鋪墊. 引導(dǎo)學(xué)生從中感受二次函數(shù)的意義，而不是使學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解僅停留在對(duì)函數(shù)解析式形式的認(rèn)識(shí)上.

3. 過程扶放有度，讓學(xué)生經(jīng)歷契合知識(shí)類型的活動(dòng)

在教學(xué)過程中，教師要設(shè)計(jì)符合知識(shí)類型的學(xué)習(xí)活動(dòng). 二次函數(shù)的概念屬于概念性知識(shí)，環(huán)節(jié)1“創(chuàng)設(shè)情境，引入概念”與環(huán)節(jié)2“概括特征，形成概念”中設(shè)計(jì)的活動(dòng)，符合概念性知識(shí)的學(xué)習(xí)流程，讓學(xué)生經(jīng)歷“體驗(yàn)—感悟—建構(gòu)函數(shù)概念”的學(xué)習(xí)過程. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式屬于程序性知識(shí)，通過師生共同歸納待定系數(shù)法的解題步驟、學(xué)生實(shí)踐操作等活動(dòng)來習(xí)得. 教學(xué)環(huán)節(jié)4對(duì)函數(shù)意義的理解屬于策略性知識(shí)，問題串的設(shè)計(jì)目的在于讓學(xué)生感悟二次函數(shù)解析式與取值范圍是不可分割的，同時(shí)為函數(shù)對(duì)稱性的研究埋下伏筆. 在實(shí)際教學(xué)過程中，要講究扶放有度，讓學(xué)生真正參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來，以提高課堂教學(xué)效率.

4. 關(guān)注思考過程，發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)在的育人力量

思維的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心任務(wù). 在進(jìn)行二次函數(shù)的教學(xué)時(shí)，在用實(shí)例引入函數(shù)概念的過程中，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的思想. 例2注重凸顯解析式與函數(shù)取值范圍的本質(zhì)關(guān)聯(lián)，在具體的幾何實(shí)例中，通過幾何畫板軟件展示圖形運(yùn)動(dòng)變化的過程，讓學(xué)生思考變化過程中變量之間的依存關(guān)系，感受和理解自變量的取值范圍是函數(shù)關(guān)系式的組成部分，充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化真正理解二次函數(shù)的意義. 同時(shí)，讓學(xué)生進(jìn)一步感受二次函數(shù)模型，以及運(yùn)用二次函數(shù)來解決實(shí)際問題體現(xiàn)的函數(shù)模型思想. 整節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生感受到雖然學(xué)習(xí)的函數(shù)模型在變，但是研究函數(shù)的方法不變，學(xué)習(xí)函數(shù)的思想方法不變. 充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的育人力量，以此來減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，切實(shí)提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的素養(yǎng)與能力.

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