注重由“形”構(gòu)“型” 解法水到渠成

戴承惠

摘? 要：文章以2020年中考浙江金華卷第10題為例，通過多角度、多方位的剖析，注重對(duì)基本圖形的挖掘與構(gòu)造，借助“形”的聯(lián)想，通過一題多解豐富問題解決策略，補(bǔ)“型”揭示多解歸一的核心，一題多變展現(xiàn)思維深度，體現(xiàn)試題的育人價(jià)值.

關(guān)鍵詞：基本圖形;由形構(gòu)型;解題教學(xué)

波利亞曾說，一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師，能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域. 筆者認(rèn)為，幾何教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)已知條件，分析整體圖形的結(jié)構(gòu)，挖掘隱藏在局部的基本圖形或不完整的基本圖形，將整體圖形拆分成幾個(gè)基本圖形，消除整體圖形的干擾，凸顯“化難為易”與“化陌生為熟悉”的轉(zhuǎn)化思想. 基于此，筆者以一道中考試題為例，給出試題的解法、變式，以及筆者的一點(diǎn)思考.

一、試題呈現(xiàn)

題目的命制秉承“源于教材，高于教材”的原則，以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“2.7 探索勾股定理”的“合作學(xué)習(xí)”中的弦圖作為命題素材. 試題借用富有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化背景的“趙爽弦圖”，考查了正方形、直角三角形、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、相似三角形等初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)，簡約而不簡單，體現(xiàn)了試題的難度與效度，彰顯了試題的選拔功能. 試題圖形美觀，滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，使考試成為數(shù)學(xué)文化的傳播過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)試題的育人價(jià)值. 本文以基本圖形為載體，以一題多解為導(dǎo)向，歸納問題解決的通性、通法，使學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

二、解法賞析

由已知條件，梳理整體圖形中基本圖形的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系如下.

1. 局部挖“形”，巧妙構(gòu)“型”

2. 整體觀“形”，提煉模型

三、拓展延伸

1.“整體觀形”視角

2.“局部挖形”視角

3.“綜合變化”視角

四、教學(xué)導(dǎo)向

1.“形”的挖掘，是生成一題多解的基石

由上述19種解法可知，解法的多樣性取決于學(xué)生對(duì)每個(gè)基本圖形的特征、應(yīng)用條件和應(yīng)用方法的熟悉程度，也反映了學(xué)生對(duì)基本模型的積累程度. 在日常教學(xué)中，首先，教師要對(duì)教材例、習(xí)題中隱藏的基本圖形適當(dāng)提煉和總結(jié). 例如，聯(lián)想“三線合一”“角平分線 + 平行”構(gòu)造等腰三角形，以及“A”型與“X”型相似等，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)，了解基本圖形應(yīng)用的條件和方法. 其次，采用運(yùn)動(dòng)變換和類比探究的觀點(diǎn)，分析、比較和歸納基本圖形. 例如，對(duì)于兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形與共頂點(diǎn)的相似三角形，嘗試探索兩者之間類似的結(jié)論和探究方法的通性，幫助學(xué)生感悟其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，內(nèi)化知識(shí)體系，提高解題能力. 最后，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“形”的挖掘，培養(yǎng)學(xué)生從復(fù)雜圖形中剖析基本圖形的意識(shí)和能力，這樣一題多解也就自然生成了.

2.“型”的構(gòu)圖，是促成多解歸一的核心

結(jié)合此題的解法分析，作為教師，應(yīng)該在教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生思考“為什么構(gòu)造圖形？構(gòu)造什么圖形？怎樣構(gòu)造圖形？”等問題，讓學(xué)生真正做到知其然，更知其所以然，最終達(dá)到靈活應(yīng)用、適度創(chuàng)新的目的. 例如，在頂角為[45°]的等腰三角形中，無法直接應(yīng)用基本圖形的性質(zhì)，則需要添加輔助線. 基于學(xué)生的認(rèn)知，學(xué)生容易聯(lián)想到等腰直角三角形或正方形，則構(gòu)造等腰直角三角形或正方形成為優(yōu)先選擇，解決了“構(gòu)造什么圖形”的困惑. 添加輔助線本質(zhì)上是補(bǔ)“型”的問題，是“基本型”完整化的思維過程，詮釋了“怎樣構(gòu)造圖形”的核心問題. 筆者認(rèn)為，在教學(xué)中要分析已知條件，引導(dǎo)學(xué)生從“形”入手，借助“形”的聯(lián)想，揭示分析方法的一般性;基于學(xué)生的思維特點(diǎn)和已有經(jīng)驗(yàn)，在日常教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生由“形”構(gòu)“型”的思維意識(shí)，滲透建模和轉(zhuǎn)化思想，揭示添加輔助線的規(guī)律，讓學(xué)生真正體會(huì)無招勝有招的“歸一”境界.

3.“題”的變式，是達(dá)成思維深刻的關(guān)鍵

解題教學(xué)是幫助學(xué)生深化基礎(chǔ)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練思維能力的過程. 在日常教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注一題多解，也要重視對(duì)基本模型的歸類，更要滲透試題的變式拓展研究. 當(dāng)然，變式并不是隨意改編，要基于原題的背景、圖形、數(shù)據(jù)、條件、結(jié)論等方面進(jìn)行變換，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)與解題方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，起到“做一題、會(huì)一類、通一片”的效果. 同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生探索變式的方法和途徑，讓學(xué)生自己提出問題、分析問題、解決問題和反思問題，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造，以及教與學(xué)的統(tǒng)一. 拓展延伸1從中心對(duì)稱的角度改編試題，PG=2HP，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)IF是△BGP的中位線（設(shè)AF與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)I），更多體現(xiàn)“整體觀形”視角;拓展延伸2，由原題目可以推出PG=CG，?改編成CG=3/2PG，更多體現(xiàn)在“局部挖形”視角;拓展延伸1和拓展延伸2條件不同，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角解題，結(jié)果卻相同，讓學(xué)生體會(huì)異曲同工之妙. 拓展延伸3從解直角三角的角度變化、條件結(jié)論互換等綜合視角改編試題，讓學(xué)生感悟解三角形的通性、通法，更好地突出解決問題的轉(zhuǎn)化思想. 通過上述拓展，能夠讓學(xué)生更深刻地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]王淼生，葉志娟. 構(gòu)造圖形是求“非特殊角”三角函數(shù)值利器[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（6）：47-49.