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    關(guān)于高階線性復(fù)微分方程整函數(shù)解的Borel 方向

    2021-12-02 06:39:54黃志剛
    關(guān)鍵詞:角域高階測(cè)度

    王 正, 黃志剛

    (蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州 215009)

    1 引言及主要結(jié)果

    在該文中,假定讀者熟知Nevanlinna 理論以及復(fù)方程理論中的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)和基本內(nèi)容[1-2],下面介紹一些常用符號(hào)的定義。 設(shè)0<α<β<2π,則復(fù)平面上的扇形定義為

    此處n(Ω(θ-ε,θ+ε,r),f=0)表示f 在Ω(θ-ε,θ+ε,r)上零點(diǎn)的數(shù)量。

    1919 年,Julia 由Picard 定理提出了Julia 方向的相關(guān)內(nèi)容,并開(kāi)始了亞純函數(shù)奇異方向的研究,他證明了每一個(gè)超越整函數(shù)至少有一個(gè)Julia 方向。 而Valiron[3]根據(jù)Borel 定理,提出來(lái)Borel 方向的相關(guān)概念。

    定義1 設(shè)f(z)是一個(gè)級(jí)為ρ 的超越亞純函數(shù),若對(duì)于?ε>0,λθ,ε(f-a)=ρ 在C∪∞上至多有兩個(gè)例外值a,則稱射線arg z=θ 為f 的一個(gè)Borel 方向。

    自此,關(guān)于亞純函數(shù)Borel 方向的研究在近一個(gè)世紀(jì)里迎來(lái)較大發(fā)展。2005 年,伍勝健[4]首次研究二階線性微分方程解的Borel 方向的問(wèn)題。 這類方程的一般形式為

    其中A(z),B(z)和F(z)都是整函數(shù)。 2015 年,黃志剛等人[5]研究了該方程的解與自由項(xiàng)F(z)的Borel 方向之間的關(guān)系,同時(shí)也研究了齊次方程f″+B(z)f′+A(z)f=0 的解在ρθ=∞時(shí)的θ 集合的測(cè)度問(wèn)題,下面對(duì)這些定理的內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)要敘述。

    定理A 設(shè)A(z),B(z)為有限級(jí)整函數(shù),F(xiàn)(z)為超越整函數(shù)并且max{ρ(A),ρ(B)}<ρ(F)=∞,若arg z=θ是F 的Borel 方向,則它也是方程f″+B(z)f′+A(z)f=F 的每一個(gè)非平凡解的Borel 方向。

    定理B 設(shè)A(z),B(z)為整函數(shù)且μ(A)>ρ(B),若f(z)是方程f″+B(z)f′+A(z)f=0 的一個(gè)非平凡解,則mesI(f)≥min{2π,π/μ(A)},其中I(f)={θ∈[0,2π):ρθ(f)=∞}。

    文中將考慮高階微分方程,將定理A 和定理B 推廣至一般形式,并在定理B 推廣形式的基礎(chǔ)上,證明了f 的Borel 方向的測(cè)度也有類似的范圍。

    定理1 設(shè)A0,A1,…,An-1為有限級(jí)整函數(shù),F(xiàn)(z)為超越整函數(shù)且max{ρ(A0),ρ(A1),…,ρ(An-1)}<ρ(F)=∞,f(z)是方程

    的一個(gè)非平凡解,若arg z=θ 是F 的Borel 方向,則它也是f 的Borel 方向。

    定理2 設(shè)A0,A1,…,An-1為整函數(shù)且μ(A0)>max{ρ(A1),ρ(A2),…,ρ(An)},若f(z)是方程

    的一個(gè)非平凡解,則mesM(f)≥min{2π,π/μ(A)},其中M(f)為f 的Borel 方向集合。

    2 預(yù)備知識(shí)

    在文中,角域上的Nevanlinna 特征函數(shù)是一個(gè)很重要的工具。 若0<β-α≤2π,k=π/(β-α),f(x)是角域Ω(α,β)上的亞純函數(shù),則記

    其中bv=|bv|eiβv(v=1,2,…)是f(z)在Ω(α,β,r)上的極點(diǎn)。

    引理2[7]設(shè)f(z)為無(wú)窮級(jí)整函數(shù),則射線arg z=θ 是f 的無(wú)窮級(jí)Borel 方向當(dāng)且僅當(dāng)arg z=θ 是f′的無(wú)窮級(jí)Borel 方向。

    引理3[8-9]設(shè)z=rexp(iφ),r0+1<r,α≤φ≤β,其中0<β-α≤2π。 假設(shè)n(≥2)是一個(gè)整數(shù),f(z)在Ω(α,β,r0)

    其中E 是一個(gè)線性測(cè)度有限的集合。

    3 定理1 的證明

    顯然方程(1)的每個(gè)非平凡解f(z)一定滿足ρ(f)=∞,設(shè)arg z=θ∈[0,2π)是F(z)的一條Borel 方向,根據(jù)引理1,對(duì)于任意充分小的ε,有

    4 定理2 的證明

    再根據(jù)引理6,有

    由引理5 知,log+M(r,Ω(θ,ε),f)≤O(rd+k),所以ρθ(f)<∞,與條件矛盾,故若ρθ(f)=∞,則arg z=θ 為f 的Borel方向。

    設(shè)M(f)為f 的Borel 方向集合,顯然對(duì)于?θ∈I(f),有θ∈M(f),由式(12)知,

    故定理2 獲證。

    5 結(jié)語(yǔ)

    該文主要研究的是高階線性微分方程整函數(shù)解的Borel 方向的問(wèn)題,得到了一些相關(guān)結(jié)果,如一類方程的自由項(xiàng)與函數(shù)解的Borel 方向之間的關(guān)系,以及一類方程解的Borel 方向集合的測(cè)度的下界。 在此研究基礎(chǔ)上,可開(kāi)展更廣泛的研究工作,如非齊次微分方程的自由項(xiàng)為有窮級(jí)時(shí),它與函數(shù)解的Borel 方向之間的關(guān)系,以及自由項(xiàng)的Borel 方向與函數(shù)解的其他奇異方向之間的關(guān)系等。

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