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    關(guān)于整函數(shù)的周期性研究

    2021-12-02 06:39:58孫桂榮
    關(guān)鍵詞:亞純周期性正整數(shù)

    趙 瑩, 孫桂榮

    (蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州 215009)

    1 引言及主要結(jié)果

    假設(shè)讀者熟悉亞純函數(shù)Nevanlinna 值分布理論的基本內(nèi)容和相關(guān)符號[1-3]。 特別地,ρ(f)表示整函數(shù)f(z)的級,當(dāng)ρ(f)<∞時,稱f(z)為有窮級整函數(shù)。

    在復(fù)域微分方程方面,有很多學(xué)者研究了微分方程解的增長性、零點分布等[4-5],而Eremenkot[6]發(fā)現(xiàn)周期性對Kuramoto Sivashinsky 方程的亞純函數(shù)解表示有重要作用。這些都說明研究亞純函數(shù)的周期性問題具有重要意義。然而,針對熟知亞純函數(shù)與整函數(shù)之間的關(guān)系,筆者主要研究的是整函數(shù)的周期性。1978 年,日本學(xué)家Ozawa[7]就證明了存在大量周期整函數(shù)。

    眾所周知,任何以c 為周期的周期整函數(shù)f(z)都可以寫成一個處處收斂的級數(shù)

    Baker[8]證明了如果f(z)是一個非常數(shù)的整函數(shù),而p(z)是一個多項式,且deg p(z)≥3,那么f(p(z))不是周期函數(shù)。 最近,關(guān)于整函數(shù)的周期性問題,有部分學(xué)者圍繞著楊重駿提出的一個猜想進(jìn)行了研究。

    猜想1[9]假設(shè)f(z)是超越整函數(shù),對某個正整數(shù)k,如果f(z)f(k)(z)是周期函數(shù),則f(z)也為周期函數(shù)。

    2018 年,王培和扈培礎(chǔ)[9]證明了k=1 時猜想是正確的。

    定理1 假設(shè)f(z)是超越整函數(shù),對某個正整數(shù)k,如果(f2(z))(k)是周期函數(shù),則f(z)也是周期函數(shù)。

    隨后,劉凱等人[10]研究了當(dāng)f(z)有非零Picard 例外值時,猜想1 是正確的。

    定理2 假設(shè)f(z)是超越整函數(shù),d≠0 是f(z)的一個Picard 例外值,對某個正整數(shù)k,如果f(z)f(k)(z)是周期函數(shù),則f(z)也為周期函數(shù)。

    思考 猜想1 中研究的整函數(shù)f(z)f(k)(z)的形式與Hayman 猜想的其中一種形式f(k)(z)fn(z)相似,能在一定條件下得到f(z)是周期函數(shù),故筆者想到Hayman 猜想的另一種形式f′(z)-afn(z),那么在一定條件下,是否也能推出f(z)是周期函數(shù)呢?

    定理3 假設(shè)f(z)是有窮級超越整函數(shù),0 為f(z)的一個Picard 例外值,如果f′(z)-afn(z)(n≥2)是周期為c 的函數(shù),則f(z)=eaz+b,其中a,b≠0,并且eac=1,即f(z)是以c 為周期的周期函數(shù)。

    問題1 如果f(z)有非零Picard 例外值,那么,定理3 的結(jié)論是否成立?

    對這個問題進(jìn)行了進(jìn)一步的討論,得到以下結(jié)論。

    定理4 假設(shè)f(z)是有窮級超越整函數(shù),d 為f(z)的一個非零Picard 例外值,如果f′(z)-afn(z)(n≥2)是周期為c 的函數(shù),則f(z)=eaz+b,其中a,b≠0,并且eac=1,即f(z)是以c 為周期的周期函數(shù)。

    2 引理

    (2)當(dāng)1≤k<j≤n 時,gj(z)-gk(z)不恒為常數(shù);

    (3)當(dāng)1≤j≤n,1≤h<k≤n 時,T(r,fj)=o{T(r,exp(gh-gk))}(r→∞,r?E),其中E?(1,∞)是有窮的對數(shù)測度。

    3 定理3 的證明

    由于0 是f(z)的一個Picard 例外值,且f(z)是有窮級超越整函數(shù),因此存在多項式p(z),使得f(z)=ep(z)且T(r,p(z))=S(r,f)。

    因為f′(z)-afn(z)是周期函數(shù),且周期為c,則

    接下來,由引理1 對(2)式進(jìn)行兩種情況討論。

    情形1 deg p(z)≥2

    由于e(n-1)(az+b),e(n-1)(az+b)+na都不為常數(shù),由引理1 知,eac=1。

    即f(z)是以c 為周期的周期函數(shù)。

    定理3 得證。

    4 定理4 的證明

    由于d 是f(z)的一個非零Picard 例外值,且f(z)是有窮級超越整函數(shù),因此存在多項式p(z),使得f(z)=ep(z)+d 且T(r,p(z))=S(r,f)。

    因為f′(z)-afn(z)是周期函數(shù),且周期為c,則

    故ac=0。 f(z+c)=ea(z+c)+b+d=eaz+ac+b+d=eaz+b+d=f(z)。

    即f(z)是以c 為周期的周期函數(shù)。

    定理4 得證。

    5 結(jié)語

    文中主要研究的是形如Hayman 猜想形式的整函數(shù)的周期性,得到了一些相關(guān)結(jié)果,證明了超越整函數(shù)f(z)在有Picard 例外值時(包含零和非零兩種情況),如果f′(z)-afn(z)(n≥2)是周期函數(shù),則f(z)也為周期函數(shù)。 在文中的研究基礎(chǔ)上,可開展更廣泛的研究工作,可以探討如果f(z)沒有例外值,或者是更一般的形式,此結(jié)論是否成立。

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