J-正則模與J-正則環(huán)

向躍明， 萬欣

（懷化學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南懷化418000）

1 引言

在本文中，R是有單位元的結(jié)合環(huán)，所有的模都是酉模.除非另外提到，M表示一個左R-模，M*=HomR（M，R）.映射都記在右邊.如果M是一個R-模，則M的根rad（M）為M的所有極大子模的交.若M沒有極大子模，則rad（M）=M.J（R）表示R的Jacobson根.我們用N＜M表示N是M的多余子模.對于通常的符號，請讀者參考文獻[1-3].

元素a∈R是（von Neumann）正則元[2]，如果存在元素x∈R使得a=xax.如果一個環(huán)R的每個元素都是正則的，那么它稱為正則環(huán).類似于von Neumann正則環(huán)的元素定義，Zelmanowitz[4]稱R-模M正則，如果對任何x∈M存在α∈M*使得（xα）x=x.元素a∈R稱為半正則[5]，如果存在b∈R使得bab=b，并且ab∈J（R）.環(huán)R稱為半正則環(huán)，如果環(huán)R的每個元素都是半正則的.例子包括所有的正則環(huán)，半完全環(huán)和右連續(xù)環(huán)等.此外，Nicholson還引入了一類半正則模，用以推廣正則模和半完全模.一個R-模M的元素x稱為半正則的，如果存在α∈M*使得（xα）2=（xα）并且x-（xα）x∈rad（M）.其給出了這些模的一些刻畫，并證明了一個結(jié)構(gòu)定理.在[6]中，如果R/J（R）是正則的，那么R就稱為J-正則的.這里證明了如果R是J-正則的，則：（1）R是右n-內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)R的n-生成的多余右理想到R的任意同態(tài)可以擴張到R到R的同態(tài)；（2）R是右FP-內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是右（J，R）-FP-內(nèi)射，一些已知的結(jié)果得以改善.

設(shè)R是環(huán)，M是R-模.在本文的第二節(jié)，我們稱M的一個元素x為J-正則，如果存在α∈M*使得x-（xα）x∈rad（M）.如果模M的每個元素都是J-正則的，則稱其為J-正則模.這類模是半正則模和半局部模的推廣.我們討論了J-正則模的一些性質(zhì).第三節(jié)專門研究了J-正則環(huán)的一些性質(zhì).證明了環(huán)R是J-正則的當(dāng)且僅當(dāng)每一個左R-模是J-正則的.設(shè)M是有限生成的J-正則的投射模，我們證明了其自同態(tài)環(huán)EndR（M）也是J-正則的.在第四節(jié)中，我們研究環(huán)的幾個擴張，如Morita Context和群環(huán).相應(yīng)的結(jié)論成為推論.

2 J-正則模

定義2.1設(shè)M為R-模，rad（M）為M的根.元素x∈M叫做J-正則的，如果存在一個α∈M*使得x-（xα）x∈rad（M）.如果模M的每個元素都是J-正則的，則稱其為J-正則模.

根據(jù)定義，半正則模是J-正則模.

引理2.2設(shè)M為R-模，且x，y∈M.如果x是J-正則的，y∈rad（M），則x+y是J-正則的.

證明：由假設(shè)，存在一個α∈M*使得x-（xα）x∈rad（M）.于是

因此，x+y是J-正則的.

引理2.3設(shè)M為R-模，x∈M.如果α∈M*使得x-（xα）x是J-正則的，則x是J-正則的.

證明：因為x-（xα）x是J-正則的，則存在β∈M*使得

（x-（xα）x）-（x-（xα）x）β（x-（xα）x）∈rad（M）.

于是x-（xα+xβ-（xα）（xβ）-（（xα）x）β+（（（xα）x）β）（xα））x∈rad（M）.

令γ=α+β-α（xβ）-β（xα）+α（xβ）（xα）.容易驗證γ∈M*以及x-（xγ）x∈rad（M），這證明了x是J-正則的.

根據(jù)文獻[7]，M的一個子模N在M中有一個弱補L，如果N+L=M并且N∩L＜M.

定理2.4設(shè)R是環(huán)，M是R-模.如果rad（M）＜M，則下述等價.

（1）M是J-正則的；

（2）M/rad（M）是正則的；

（3）M的每個有限生成子模都有一個弱補；

（4）M的每個循環(huán)子模都有一個弱補.

證明：（3）?（4）是顯而易見的.為了方便，我們設(shè)∶=M/rad（M）.

（4）?（1）令x∈M.由假設(shè)，Rx有一個弱補，即存在一個子模L使得Rx+L=M并且Rx∩L＜M.因此，我們有（xα）x+y=x，這里α∈M*，y∈L.于是，x-（xα）x=y∈Rx∩L＜M，進而x-（xα）x∈rad（M）.這證明了M是J-正則的.

例2.5（1）沒有極大子模的模是J-正則模.

（2）若M/rad（M）是半單模，則M是半局部模[7].由上述定理，半局部模是J-正則的.

命題2.6如果M＝○i∈IMi是R-模的直和，則M是J-正則的當(dāng)且僅當(dāng)對于每個i∈I，Mi是J-正則的.

證明：必要性是顯而易見的.對于充分性只需證明兩個直和項的情況.因此令M=N○K.

考慮任意x+y∈M，這里x∈N，y∈K.因為N是J-正則的，選擇α∈M*使得x-（xα）x∈rad（N）?rad（M）.擴充α至M，Kα=0.于是（x+y）α=xα，進而（x+y）-（（x+y）α）（x+y）=（x-（xα）x）+（y-（xα）y）.

由假設(shè)，y-（xα）y在K中是J-正則的.注意到x-（xα）x∈rad（M），由引理2.2，（x+y）-（（x+y）α）（x+y）在M中是J-正則的.由引理2.3，x+y是J-正則的.

3 J-正則環(huán)

定義3.1如果R作為R-模是J-正則的，那么環(huán)R就是J-正則的，也就是說，對于R的每個元素x，存在y∈R使得x-xyx∈J（R）.根據(jù)定理2.4，環(huán)R是J-正則的當(dāng)且僅當(dāng)R/J（R）是正則的.

例3.2（1）環(huán)R稱為半正則的，如果R/J（R）是正則的，并且冪等元模J（R）提升.故半正則環(huán)是J-正則環(huán).

（2）根據(jù)文獻[8]，如果R/J（R）是布爾環(huán)，則稱R為J-布爾環(huán).因為布爾環(huán)是正則的，J-布爾環(huán)是J-正則的.

（3）如果R/J（R）是半單環(huán)，則環(huán)R是半局部的.那么半局部環(huán)就是J-正則的.

例3.3（1）令k=Z2，k〈x，y〉是非交換變量x，y的自由代數(shù).設(shè)R=k〈x，y〉/yx是k〈x，y〉的商環(huán).再令RΣ是R的泛局部化[9].于是RΣ/J（RΣ）≌k×k是布爾環(huán).所以RΣ是J-布爾環(huán)，進而是J-正則的.然而，其冪等元并不模J（R）提升.因此RΣ不是半正則環(huán).

下列結(jié)論是J-正則環(huán)的一些基本性質(zhì)，其部分結(jié)論來源于文獻[6].環(huán)R稱為半本原環(huán)，如果J（R）=0.

引理3.4設(shè)是一個環(huán).則下列結(jié)論成立.

（1）R是正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是J-正則，半本原環(huán).

（2）R是半正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是J-正則環(huán)且冪等元模J（R）提升.

（3）J-正則環(huán)的同態(tài)像仍是J-正則環(huán).

（4）環(huán)的直積R=∏i∈IRi是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Ri是J-正則環(huán).

（5）如果R是J-正則環(huán)，則eRe也是J-正則環(huán)，這里e2=e∈R.

（6）如果R是J-正則環(huán)，則Mn（R）也是J-正則環(huán)（n≥1）.

例3.5設(shè)R=Z2×Z4×Z8×…，則R是J-正則環(huán)但不是半局部環(huán).

命題3.6設(shè)R是J-正則環(huán)，則：

（1）對R的任意理想I，J（R/I）=（J（R）+I）/I.

（2）如果f∶R→S是滿環(huán)同態(tài)，則（J（R））f=J（S）.

證明：（1）顯然（J（R）+I）/I?（R/I）.于是我們有

因為R/J（R）+I是正則環(huán)R/J（R）的商環(huán)，其也是正則環(huán)，故

于是，我們有J（R/I）=（J（R）+I）/I.

（2）是（1）的立即結(jié)論.

通常地，對任意同態(tài)f∶M→N，我們得到（rad（M））f?rad（Mf）.R-模M稱為good模[3]，如果（rad（M））f=rad（Mf）.由命題3.6，J-正則環(huán)是左good環(huán).

命題3.7設(shè)I是R的理想，I∈J（R），則R是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/I是J-正則環(huán).

證明：必要性由引理3.4（3）可得.現(xiàn)證充分性，假設(shè)R/I是J-正則環(huán)，我們有

因為J-正則環(huán)是正則的.于是，正則的即是J-正則環(huán).

推論3.8設(shè)I是環(huán)R的詣零理想，則R是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R/I是J-正則環(huán).

命題3.9設(shè)I是環(huán)R的理想，則下述等價：

（1）R/I是J-正則環(huán)；

（2）對所有自然數(shù)n，R/In是J-正則環(huán)；

（3）對某些自然數(shù)n，R/In是J-正則環(huán).

證明：（2）?（3）是顯然的.

（1）?（2）設(shè)R/I是J-正則環(huán).易證明對任意自然數(shù)n，（I/In）n=0.注意到R/I≌（R/In）/（I/In），根據(jù)推論3.18，R/In是J-正則環(huán).

（3）?（1）若對某些自然數(shù)n，R/In是J-正則環(huán).我們定義映射φ∶R/In→R/I.容易證明其是定義良好的環(huán)同態(tài).于是根據(jù)引理3.4，結(jié)論成立.

命題3.10對環(huán)R，下述等價：

（1）R是J-正則環(huán)；

（2）每個R-模是J-正則.

證明：（2）?（1）是平凡的.

（1）?（2）對任意R-模M，存在集合Λ和滿同態(tài)R（Λ）→M.因為

故有滿同態(tài)f∶（R/rad（R））（Λ）→M/rad（M）.根據(jù)假設(shè)和文獻[4]中定理2.8，（R/rad（R））（Λ）是正則的，進而M/rad（M）正則的.再根據(jù)定理2.4，M是J-正則的.

命題3.11設(shè)M是投射R-模.如果M是有限生成J-正則的，則自同態(tài)環(huán)EndR（M）是J-正則環(huán).

證明：由假設(shè)，M/rad（M）是正則的且rad（M）＜M.根據(jù)文獻[3]中22.2，

因為M/rad（M）是有限生成正則模，根據(jù)文獻[10]中的定理3.6，EndR（M/rad（M））是正則環(huán).故EndR（M）/J（EndR（M））是正則的，進而EndR（M）是J-正則環(huán).

現(xiàn)在，文獻[6]中的定理8可以作為我們結(jié)論的推論.

推論3.12設(shè)R是J-正則環(huán)，M是有限生成投射R-模，則自同態(tài)環(huán)EndR（M）是J-正則環(huán).

4 環(huán)擴張

本節(jié)中，我們考慮J-正則環(huán)的一些擴張.

Morita Context包含二個環(huán)A，B，二個雙模AMB，BNA和一對雙模同態(tài)φ∶M○B(yǎng)N→A和ψ∶N○AM→B，滿足條件φ（m○n）m′=mψ（n○m′）和ψ（n○m）n′=nφ（m○n′），這里m，m′∈M，n，n′∈N.其例子包含所有2×2矩陣環(huán)和所有的上三角矩陣環(huán).

命題4.1設(shè)是Morita Context，其中MN?J（A），NM?J（B）.則T是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)A，B都是J-正則環(huán).

證明：由文獻[11]中的命題2.6，

注意到MN?J（A），NM?J（B），于是T/J（T）≌A/J（A）×B/J（B）.故T是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)A，B都是J-正則環(huán).

推論4.2設(shè)R是環(huán).上三角矩陣環(huán)Tn（R）（n∈N）是J-正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是J-正則環(huán).

設(shè)R是環(huán)，G是群，RG表示群環(huán).我們有環(huán)同態(tài)ε∶RG→R，Σrgg→Σrg，叫做RG的增廣映射，其核記作△（RG），△（RG）={Σg∈Gag（1-g）∶1≠g，ag∈R}.容易驗證RG/△（RG）≌R.群G稱為局部有限的，如果G的任意有限生成子群是有限的.下列引理可以在文獻[12]中找到.

引理4.3設(shè)R是環(huán)，G是群.群環(huán)RG是正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)是R正則的，G是局部有限的且G的任意有限子群的階在R中可逆.

注4.4上述結(jié)果不能推廣到半正則環(huán).例如，設(shè)群G的階為3.由文獻[5]的例2.14的討論，群環(huán)RG不是半局部環(huán).但是，對于J-正則環(huán)我們有如下一些結(jié)論.

命題4.5設(shè)R是環(huán)，G是群.如果下述條款成立

（1）R是J-正則環(huán)；

（2）G是局部有限群；

（3）G的任意有限子群的階在R中可逆.

則群環(huán)RG是J-正則環(huán).

證明：為方便表示，記=R/J（R）.因為G是局部有限群，根據(jù)文獻[13]的引理4，J（R）G≌J（RG），故J（RG/J（R）G）=J（RG）/J（R）G.于是，我們有

因為G的任意有限子群的階在R中可逆，則G的任意有限子群的階在R中可逆.注意到仍是正則的，根據(jù)引理4.3，RG是正則的，因此RG/J（RG），故RG/J（RG）是正則的，即RG是J-正則環(huán).

命題4.6設(shè)R是交換環(huán)，G是Abel群.如果群環(huán)RG是J-正則環(huán)，則

（1）R是J-正則環(huán)；

（2）G是局部有限群；

（3）G的任意有限子群的階在R中可逆.

證明：因為RG/△（RG）≌R，由引理3.4，R是J-正則環(huán).類似地作為RG的同態(tài)像也是J-正則環(huán).現(xiàn)設(shè)n是G的有限子群的階.對任意x?J（R），nx?J（R），故n不是的零因子.再根據(jù)文獻[14]中的定理6，J（G）=0G是正則環(huán).再由引理4.3，（2）成立.最后因為n在中可逆，其在R中也是可逆的.命題得證.