• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    利用對(duì)數(shù)恒等式解題

    2021-11-19 12:56:32安徽省合肥市第四中學(xué)230000錢兆云
    關(guān)鍵詞:恒等式證法對(duì)數(shù)

    安徽省合肥市第四中學(xué)(230000) 鄭 良 錢兆云

    根據(jù)對(duì)數(shù)的定義有: (1)logaab=b(a >0 且a /= 1);(2)alogaN=N(a >0 且a /= 1,N >0). 大家常常把兩個(gè)公式叫做對(duì)數(shù)恒等式.[1]以上兩個(gè)等式從左向右為式子的化簡(jiǎn),可視為正用,學(xué)生一般不會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題;從右到左,由(1)可知任意實(shí)數(shù)均可寫成對(duì)數(shù)的形式,由(2)可知任意正數(shù)均可寫成指數(shù)的形式.它需要根據(jù)所要求解與求證問(wèn)題的結(jié)構(gòu)調(diào)整,可視為逆用,具有一定的靈活性.對(duì)于由指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)等構(gòu)成的特殊問(wèn)題,若能合理借助上述對(duì)數(shù)恒等式(主要指逆用),往往使問(wèn)題迎刃而解或解題(證明)過(guò)程得到優(yōu)化.

    一、真題呈現(xiàn)

    1 借助同構(gòu)構(gòu)建函數(shù)

    同構(gòu)式是指變量不同、結(jié)構(gòu)相同的表達(dá)式,多表現(xiàn)為函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用.[2]若已知函數(shù)f(x)的解析式,正向代入容易得到f(x1),f(x2),反過(guò)來(lái),若給出f(x1),f(x2)及變形形式,逆向抽象(構(gòu)造)出函數(shù)f(x)則相對(duì)困難,它需要解題者根據(jù)結(jié)構(gòu)的相似性進(jìn)行(不斷地)調(diào)適,實(shí)現(xiàn)相同結(jié)構(gòu)形式的還原與配湊.

    例1(自編題)已知函數(shù)f(x) =xex(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),g(x) =xlnx,若f(x1) =g(x2) =t,其中t >0,則的取值范圍是____.

    解法1x1ex1=x2lnx2=t,由t >0,得x1>0,x2>1,所以lnx2>0,由對(duì)數(shù)恒等式(2)得x2lnx2=lnx2elnx2=t,由f′(x) = (x+1)ex,函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增. 由f(x1) =g(x2) 知f(x1) =f(lnx2), 又x1>0,lnx2>0,得x1=lnx2. 所以

    設(shè)h(t) =則h′(t) =當(dāng)t ∈(0,e) 時(shí),h′(t)>0,函數(shù)h(t)單調(diào)遞增,當(dāng)t ∈(e,+∞)時(shí),h′(t)<0,函數(shù)h(t) 單調(diào)遞減, 故h(t) ≤h(e) =當(dāng)t →0 時(shí),h(t)→-∞;當(dāng)t →+∞時(shí),h(t)→0,所以的取值范圍是

    解法2由對(duì)數(shù)恒等式(1) 得f(x) =xex= exlnex,由x1ex1=x2lnx2=t, 由t >0, 得x1>0,x2>1, 所以x2>1.g(x) =xlnx,g′(x) = lnx+1, 則函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增. 由ex1lnex1=x2lnx2=t, 即g(ex1) =g(x2),而ex1,x2∈(1,+∞),所以ex1=x2. 所以下同解法1.

    點(diǎn)評(píng)求解目標(biāo)中含有相互關(guān)聯(lián)的三個(gè)量x1,x2,t, 消元是解題的基本方向, 是局部消元(如直接建構(gòu)x1與x1分別關(guān)于t的函數(shù))還是整體消元(x1x2整體關(guān)于t的函數(shù))? 通過(guò)對(duì)條件的結(jié)構(gòu)分析,配湊相同的結(jié)構(gòu)形式,利用函數(shù)f(x)(或g(x))的單調(diào)性將x1x2整體用t表示,進(jìn)而求函數(shù)y=的值域. 題設(shè)條件一定,所以x1與x2的關(guān)系確定(解法1 與解法2 中分別以x1=lnx2,ex1=x2的等價(jià)形式呈現(xiàn)),解法1 與解法2 分別以y=f(x),y=g(x)的結(jié)構(gòu)形式為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行配湊.

    例2(自編題)已知函數(shù)f(x) =x+ln(x-1),g(x) =xlnx,若f(x1) = 1+2 lnt,g(x2) =t2,則(x1x2-x2)lnt的最小值為( ).

    解由題意f(x1) =x1+ ln(x1-1) = 1 + 2 lnt,即x1-1 + ln(x1-1) = lnt2, 由對(duì)數(shù)恒等式(1) 得lnt2=ln ex1-1+ln(x1-1)=ln[ex1-1(x1-1)],所以

    由對(duì)數(shù)恒等式(2)得

    其中t2>0.

    又函數(shù)y=xex在[0,+∞)上單調(diào)遞增,故由①②可得x1-1=lnx2,故(x1x2-x2)lnt=x2lnx2lnt=t2lnt. 記h(t)=t2lnt(t >0),則h′(t)=2tlnt+t,令h′(t)>0,得令h′(t)<0,得0<t <,故h(t)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增, 故當(dāng)x=時(shí),即(x1x2-x2)lnt的最小值為所以選C.

    點(diǎn)評(píng)相比例1,例2 中的變量間關(guān)系更加隱性,對(duì)學(xué)生的變形化歸能力要求更高.一旦建構(gòu)起關(guān)于t的函數(shù),問(wèn)題迎刃而解.

    2 求參數(shù)范圍

    含參不等式恒成立、存在性問(wèn)題是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)問(wèn)題.如何求含參不等式恒成立問(wèn)題中的參數(shù)范圍,一般常有四種方法: (1)函數(shù)最值法;(2)分離參數(shù)法;(3)圖像法;(4)必要性策略法.其中分離參數(shù)法只需研究分離后得到的新函數(shù)的最值,與新函數(shù)的凹凸性無(wú)關(guān);圖像法往往分離出一次函數(shù)(圖像為直線),與函數(shù)的凹凸性有關(guān); 必要性策略利用特殊與一般的關(guān)系,先利用特殊對(duì)象確定結(jié)論的必要條件.

    例3(自編題) 已知函數(shù)f(x) =x ·ex - alnx - ax(a ∈R,e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). 若對(duì)任意x >0 恒有不等式f(x)≥1 成立,求實(shí)數(shù)a的值.

    解法1當(dāng)a <0 時(shí),f(x) 單調(diào)遞增,f(x) 的值域?yàn)镽, 不滿足題意; 當(dāng)a= 0 時(shí),f(x) =x ·ex(x >0),不滿足題意.

    當(dāng)a >0 時(shí),f′(x)=(x+1)(ex-),其中在(0,+∞) 上單調(diào)遞增, 可知f′(x) = 0 有唯一解x0, 此時(shí)x0ex0=a, 即x0+lnx0= lna. 因此f(x)的最小值為f(x0)=a-alnx0-ax0=a-alna. 記g(a)=a-alna(a >0),則g′(a) =-lna,函數(shù)g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞) 上單調(diào)遞減, 當(dāng)a= 1 時(shí),g(a) 取得最大值為g(1)=1,因此g(a)≥1 的解集為{1}. 所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍是{1}.

    解法2對(duì)任意x >0 恒有f(x) ≥1, 由對(duì)數(shù)恒等式(2) 即得elnx+x - a(lnx+x) ≥1, 令x+ lnx=t, 則t ∈R,即et-at-1 ≥0. 記m(t) = et -at-1. 當(dāng)a≤0時(shí),m(t) 單調(diào)遞增,m(-1) = e-1+a-1<0; 當(dāng)a >0時(shí),m′(t)=et-a,所以m(t)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,所以m(t)≥m(lna)=a-alna-1,只需a-alna-1 ≥0,下同解法1.

    解法3et - at -1 ≥ 0 對(duì)任意t ∈R 恒成立.當(dāng)t= 0 時(shí),a ∈R; 當(dāng)t >0 時(shí), 由et -1 ≥at得a≤當(dāng)t <0 時(shí), 由et -1 ≥at得a≥記n(t) =則n′(t) =記φ(t) =et(t-1) + 1, 則φ′(t) =tet, 當(dāng)t >0 時(shí),φ′(t)>0,φ(t) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞增, 則φ(t)>0,n(t) 單調(diào)遞增, 所以= 1(洛 必達(dá)法則), 所以a≤1; 當(dāng)t <0 時(shí),φ′(t)<0,φ(t) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞減, 則φ(t)>0,n(t) 單調(diào)遞增, 所以= 1(洛必達(dá)法則),所以a≥1. 綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是{1}.

    點(diǎn)評(píng)解法1 以參數(shù)a為分類標(biāo)準(zhǔn),對(duì)于參數(shù)a的每一個(gè)取值均考慮任意x ∈(0,+∞),只需求各類情況下的參數(shù)a取值集合的并集. 對(duì)于a >0,涉及f′(x)的“隱零點(diǎn)”,進(jìn)而解關(guān)于a的不等式; 解法2 利用對(duì)數(shù)恒等式, 使m(t)與f(x)-1 形式更簡(jiǎn)潔. 解法3 以自變量t為分類標(biāo)準(zhǔn),需求三類情況下參數(shù)a取值集合的交集. 解法2 與解法3 中,根據(jù)et≥at+1 對(duì)任意t ∈R 恒成立,從幾何背景可直接得到a=1.

    例4(自編題)已知函數(shù)f(x)=+lnx-x(a ∈R,e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若x ∈[1,+∞)時(shí),不等式f(x)≥-1恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

    解法1f(x) ≥-1, 即a≥對(duì)任意x ∈[1,+∞)恒成立.

    記g(x) =,x ∈[1,+∞), 則a≥[g(x)]max. 由 于g′(x) =·(lnx - x+ 2), 令h(x) = lnx - x+ 2,x ∈[1,+∞),h′(x) =≤0 ,所以h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,而h(3) = ln 3-1>0,h(4) = ln 4-2<0,所以存在唯一的實(shí)數(shù)x0∈(3,4)使得h(x0)=0,即lnx0-x0+2= 0. 因此,函數(shù)g(x)在[1,x0]上單調(diào)遞增,在(x0,+∞)上單調(diào)遞減,故當(dāng)x=x0時(shí),g(x)取得最大值為g(x0)=

    由lnx0-x0+2 = 0,得x0-lnx0= 2,又得lnx0=x0-2,則x0= ex0-2. 所以g(x0) =所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為

    解法2f(x) ≥-1, 即a≥對(duì)任意x ∈[1,+∞)恒成立.

    記g(x) =,x ∈[1,+∞), 則a≥[g(x)]max. 由對(duì)數(shù)恒等式(2)得g(x)=令t(x) =x -lnx -1,x ∈[1,+∞),則t′(x) = 1-≥ 0, 所以t(x) ≥t(1) = 0, 因此g(x) =m(t) =其中t≥0,m′(t) =所以函數(shù)m(t)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,故當(dāng)t= 1 時(shí),m(t)取得最大值為所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為

    解法3f(x) ≥-1, 即a≥對(duì)任意x ∈[1,+∞) 恒成立. 記g(x) =x ∈[1,+∞), 則g(x) ≥0. 由對(duì)數(shù)恒等式(2) 得g(x) =當(dāng)且僅當(dāng)x-lnx-2=0 時(shí)等號(hào)成立.

    解法 4f(x) =+ lnx - x,f′(x) =當(dāng)a≤0 時(shí),f′(x) ≤0,f(x)在[1,+∞)單調(diào)遞減,而當(dāng)x ∈(1,+∞)時(shí),有f(x)<f(1)=ae-1 ≤-1, 矛盾; 當(dāng)a >0 時(shí), 記h(x) =aex -x,x ∈[1,+∞).h′(x)=aex-1,令h′(x)<0,得x <-lna,令h′(x)>0,得x >-lna.

    當(dāng)-lna >1, 即a ∈函數(shù)h(x) 在[1,-lna]上單調(diào)遞減, 在(-lna,+∞) 上單調(diào)遞增, 且h(-lna) =1 + lna <0, 而h(1) =ae-1<0, 當(dāng)x →+∞時(shí),h(x)→+∞,所以存在x1∈(-lna,+∞)使得h(x1) = 0,即aex1- x1= 0. 因此, 函數(shù)f(x) 在[1,x1] 上單調(diào)遞減, 在(x1,+∞) 上單調(diào)遞增, 當(dāng)x=x1時(shí),f(x) 取得最小值f(x1) =+ lnx1- x1. 由aex1- x1= 0, 得=1;又得lna+x1-lnx1=0,即lnx1-x1=lna. 所以f(x1)=1+lna≥-1,得a≥

    當(dāng)-lna≤1, 即+∞), 函數(shù)h(x) 在[1,+∞)上單調(diào)遞增, 而h(1) =ae-1 ≥ 0, 從而f′(x) ≥ 0在[1,+∞) 恒成立, 函數(shù)f(x) 在[1,+∞) 上單調(diào)遞增, 則f(1)=ae-1 ≥-1 滿足題意,所以

    綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為

    點(diǎn)評(píng)解法1、解法2 與解法3 均為分離參數(shù)法,只需求g(x)的最大值. 其中解法1 用“隱零點(diǎn)”實(shí)現(xiàn)“設(shè)而不求”(實(shí)際上也無(wú)法求出g′(x)的零點(diǎn)x0的值),根據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)x0所滿足的關(guān)系式“l(fā)nx0-x0+2=0”變形整理得出g(x0)的值(函數(shù)g(x)的最大值);解法2 利用對(duì)數(shù)恒等式,調(diào)整g(x)的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)而整體換元(t(x)=x-lnx-1)使目標(biāo)函數(shù)的形式更簡(jiǎn)潔. 其最值點(diǎn)x0滿足t(x0) = 1,即lnx0-x0+2 = 0. 本質(zhì)上與解法1 為同一種方法, 通過(guò)換元法將目標(biāo)形式簡(jiǎn)化, 對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)化隱為顯. 解法3仍用對(duì)數(shù)恒等式, 根據(jù)最值的定義巧妙變形, 用常見(jiàn)不等式ex≥x+ 1 進(jìn)行放縮. 解法4 為函數(shù)最值法, 其中當(dāng)時(shí), 需要用h(x) 的“隱零點(diǎn)”牽線搭橋, 通過(guò)對(duì)“隱零點(diǎn)”所滿足的條件式的適當(dāng)變形實(shí)現(xiàn)對(duì)f(x1)值的求解. 若用由x ∈[1,+∞)可知更容易確定參數(shù)a的分類標(biāo)準(zhǔn).

    例5(自編題) 設(shè)f(x) =ax+ lnx+ 1, 若對(duì)?x >0,f(x)≤xe2x恒成立,求a的范圍.

    解法1?x >0,f(x) ≤xe2x,即a≤e2x-對(duì)任意x ∈(0,+∞)恒成立. 記g(x)=e2x-,由對(duì)數(shù)恒等式(2)得g(x) =·(2x+lnx+1-lnx-1)=2,當(dāng)且僅當(dāng)2x+lnx=0 時(shí)等號(hào)成立. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].

    解法2?x >0,f(x) ≤xe2x, 即a≤e2x -對(duì)任意x ∈(0,+∞) 恒成立. 記g(x) = e2x -則g′(x) = 2e2x+記h(x) =2x2e2x+ lnx, 則h(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞增,h(1) =存在x0∈使得=0. 因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時(shí),g(x)取得最小值g(x0)=e2x0-

    由2e2x0+=0,得2x0e2x0=由對(duì)數(shù)恒等式(2)得,而函數(shù)y=tet在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以2x0=即2x0=-lnx0,所以g(x0) =所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].

    解法3?x >0,f(x)≤xe2x,即ax≤xe2x-lnx-1 對(duì)任意x ∈(0,+∞)恒成立. 記m(x)=xe2x-lnx-1,x >0.m′(x)=(2x+1)e2x-所以函數(shù)m(x)為(0,+∞)的下凸函數(shù).m′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 由>0, 存在唯一x2∈使得m′(x2) = 0,所以函數(shù)m(x)在(0,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.

    設(shè)P(x1,x1e2x1-lnx1-1) 為m(x) 圖象上的任意一點(diǎn), 則該點(diǎn)處的切線方程為y -(x1e2x1-lnx1-1) =[(2x1+1)e2x1-](x-x1),代入(0,0)整理得-lnx1=2x21e2x1, 由對(duì)數(shù)恒等式(2) 得2x1e2x1=而函數(shù)y=tet在(0,+∞) 上單調(diào)遞增, 所以2x1=即2x1e2x1+e2x1-= 2x1e2x1= 2. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].

    解法4?x >0,f(x) ≤xe2x, 即xe2x -ax-lnx-1 ≥ 0 恒成立. 記n(x) =xe2x - ax -lnx -1, 則n′(x) = (2x+1)e2x - a -則n′(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞增, 且當(dāng)x →0+時(shí),n′(x)→-∞; 當(dāng)x →+∞時(shí),n′(x)→+∞,所以存在唯一的正數(shù)x3使得n′(x3) = 0,即a= (2x3+1)e2x3-因此函數(shù)n(x)在(0,x3)上單調(diào)遞減,在(x3,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)x=x3時(shí),n(x)取得最小值為n(x3)=x3e2x3-ax3-lnx3-1.

    由a= (2x3+1)e2x3-得ax3= 2x23e2x3+x3e2x3-1,所以n(x3) =-2x23e2x3-lnx3,由n(x3) ≥0,得2x23e2x3≤-lnx3, 由對(duì)數(shù)恒等式(2) 得2x3e2x3≤∈(1,+∞), 而y=xex在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以2x3≤因此a≤=2,當(dāng)且僅當(dāng)2x3+lnx3=0 時(shí)等號(hào)成立.

    點(diǎn)評(píng)解法1 與解法2 均為分離參數(shù)法, 解法1 聚焦函數(shù)最值的定義, 對(duì)照g(x) 的分母x利用常用不等式ex≥x+1 放縮求解. 解法2 直接對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo), 然后對(duì)函數(shù)g′(x)的“隱零點(diǎn)”所滿足的條件式變形化簡(jiǎn)得到函數(shù)g(x)的最小值. 若沒(méi)有解法1 的鋪墊, 多數(shù)學(xué)生難以將“2e2x0+= 0”簡(jiǎn)化為“2x0=-lnx0”,導(dǎo)致解法2 的無(wú)疾而終. 解法3 為圖像法,利用函數(shù)m(x)為先減后增的下凸函數(shù),根據(jù)其幾何意義先求參數(shù)a的臨界值. 解法4 為函數(shù)最值法,即用n(x3) ≥0,通過(guò)n′(x3)的“隱零點(diǎn)”不易將n(x3)用a表示進(jìn)而求解關(guān)于a的不等式,此處以退為進(jìn)先建立關(guān)于x3的不等關(guān)系,再利用a與x3的函數(shù)關(guān)系確定參數(shù)a的取值范圍. 由于x0,x1分別對(duì)應(yīng)于參數(shù)a的邊界值2,故x0=x1.

    3 證明不等式

    含參不等式求參數(shù)的取值范圍本質(zhì)是找使不等式成立的參數(shù)a的取值集合,即找到使不等式成立的充要條件,而含參不等式證明中給出的參數(shù)的取值范圍只是使不等式成立的參數(shù)a的取值集合的子集,即使不等式成立的充分條件.因此可選擇直接證明,也可以求出使不等式成立的參數(shù)的取值范圍,再判定它與條件中給出的參數(shù)的取值范圍之間的子集關(guān)系.

    例6(合肥市2021年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題(理科)第21 題)已知函數(shù)f(x)=a(x+2)ex-(x+3)2(a ∈R,e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

    (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

    (2)當(dāng)a >時(shí),證明:f(x-2)>lnx-x2-x-3.

    解(1)從略. 以下考慮(2)的證明.

    證法1當(dāng)a >時(shí),要證f(x-2)>lnx-x2-x-3,即要證axex-2>lnx+x -2, 也即證a >(x >0). 記g(x) =(x >0), 則g′(x) =記φ(x) = 3-lnx-x,則φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,φ(1) = 2>0,φ(3) =-ln 3<0,所以存在x0∈(1,3),使得

    當(dāng)x ∈(0,x0) 時(shí),g′(x)>0; 當(dāng)x ∈(x0,+∞) 時(shí),g′(x)<0. 所以g(x) ≤g(x0) =由(*) 知lnx0= 3- x0, 得e3-x0=x0, 所以g(x0) =所以g(x) ≤<a. 所以當(dāng)時(shí),f(x-2)>lnx-x2-x-3.

    證法2當(dāng)a >時(shí),要證f(x-2)>lnx-x2-x-3,即要證a >(x >0), 由對(duì)數(shù)恒等式(2) 得g(x) =記t(x)=lnx+x-2,則t(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),t(x)∈R,則g(x) =m(t) =則m′(t) =所以函數(shù)m(t)在(-∞,1) 上單調(diào)遞增, 在(1,+∞) 上單調(diào)遞減, 所以當(dāng)t= 1 時(shí),m(t) 取得最大值為所以當(dāng)a >時(shí),f(x-2)>lnx-x2-x-3.

    證法3同解法2,由對(duì)數(shù)恒等式(2)得

    當(dāng)且僅當(dāng)lnx+x-3=0 時(shí)等號(hào)成立.

    證法4當(dāng)a >時(shí),要證f(x-2)>lnx-x2-x-3,即要證axex-2>lnx+x-2. 記h(x)=axex-2-lnx-x+2,x >0),h′(x)=(x+1)(aex-2-

    記n(x) =aex-2-,x >0), 則n(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞增, 當(dāng)x →0+時(shí),n(x)→ -∞; 當(dāng)x →+∞時(shí),n(x)→+∞. 存在x1∈(0,+∞) 使得n(x1) = 0, 即aex1-2-= 0. 所以h(x) 在(0,x1) 上單調(diào)遞減,在(x1,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x) ≥h(x1) =ax1ex1-2-lnx1-x1+2=-lnx1-x1+3.

    由aex1-2-=0,得ax1ex1-2=1,即lna+lnx1+x1-2 = 0,得lnx1+x1= 2-lna,所以h(x) ≥h(x1) =1+lna >0.

    證法5當(dāng)a >時(shí),要證f(x-2)>lnx-x2-x-3,即要證axex-2>lnx+x-2,只需證xex-3≥lnx+x-2對(duì)任意x ∈(0,+∞)恒成立,即證xex-3-lnx-x+2 ≥0.證明過(guò)程與證法4 類似(或直接利用ex≥x+1 放縮).

    點(diǎn)評(píng)證法1(命題組給出的參考答案) 為分離參數(shù)法,根據(jù)函數(shù)g′(x) 的“隱零點(diǎn)”實(shí)施過(guò)渡; 證法2 應(yīng)用對(duì)數(shù)恒等式并換元使m(t)比g(x)的形式更簡(jiǎn)潔; 證法3 應(yīng)用對(duì)數(shù)恒等式后用常見(jiàn)不等式ex≥x+1 放縮; 證法4 直接對(duì)求證目標(biāo)移項(xiàng)作差求函數(shù)h(x) 的最小值, 也需用到函數(shù)h′(x)的“隱零點(diǎn)”實(shí)施過(guò)渡; 證法5 根據(jù)a >利用邊界值對(duì)函數(shù)進(jìn)行放縮,再利用不等式的傳遞性;事實(shí)上,原問(wèn)題等價(jià)于ax-,x >0)恒成立,若記p(x)=ax-,x >0),則函數(shù)p′′(x)不含參數(shù),其“隱零點(diǎn)”范圍能夠確定,而p′(x)的“隱零點(diǎn)”與參數(shù)a有關(guān),其相對(duì)精確的范圍不易確定. 證法2(或證法1)通過(guò)對(duì)m(t) (g(x))的研究了解函數(shù)m(t) (g(x))的全貌,而證法3 只是驗(yàn)證了m(t) (g(x))最大值的取得.

    二、幾點(diǎn)思考

    1 夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí),構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

    數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一定要夯實(shí)基礎(chǔ), 把最基礎(chǔ)的內(nèi)容作為知識(shí)、思想方法的生長(zhǎng)點(diǎn). 基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)本身就是數(shù)學(xué)模型, 只有深刻理解才能將其內(nèi)化為能力與素養(yǎng). 如對(duì)數(shù)的基本功能是化復(fù)雜為簡(jiǎn)單, 如logaMN=logaM+logaN=logaM -logaN)化乘(除)為和(差),logaMn=nlogaM化乘方為倍數(shù). 恒等變形是基本功,命題時(shí)往往從基礎(chǔ)開(kāi)始不斷變形,最終將試題以與基本出發(fā)點(diǎn)面目全非的形式呈現(xiàn),需要學(xué)生具備一定的觀察與抽象能力將其還原并識(shí)別出來(lái). 如例1 與例2 中的y=xex,例4 解法3 與例5 解法1 中的ex≥x+1,例4 解法2 與例6 解法2 中m(t) =根據(jù)最值的概念明確變形的方向容易得到例5 的解法1.

    2 多方對(duì)比切入,深化問(wèn)題理解

    解題不能滿足于看懂答案, 應(yīng)著眼于數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟, 方法的創(chuàng)新, 理解的突破. 解題過(guò)程中, 若能不斷地比對(duì)特殊與一般, 局部與整體, 則會(huì)更有利于理解與揭示問(wèn)題本質(zhì). 如應(yīng)用對(duì)數(shù)恒等式轉(zhuǎn)化的條件(正數(shù)才能寫成指數(shù)的形式) 及能帶來(lái)方便的原因(整體換元) 等.如例3 中可得et -1 ≥at對(duì)任意t ∈R 恒成立, 若用et -1 ≥t≥at對(duì)任意t ∈R 恒成立, 得到a= 1 則不符合邏輯. 又如含參不等式的參數(shù)范圍與含參不等式(給出參數(shù)范圍) 的證明之間的邏輯關(guān)系. 如例3 可改為“當(dāng)a= 1 時(shí), 證明: 對(duì)任意x >0,xex -alnx-ax≥1”(即xex -ln-x≥1),例4 可改為“當(dāng)a≥時(shí),證明: 對(duì)任意x≥1,xex-alnx-ax≥1”,也可調(diào)整為“當(dāng)a≥時(shí),證明: 對(duì)任意x≥1,xex-alnx-ax≥1”.

    3 理解學(xué)生現(xiàn)實(shí),謀劃穩(wěn)步推進(jìn)

    “題海戰(zhàn)術(shù)”高耗低效,教與學(xué)中盡可能以學(xué)定教,做到精準(zhǔn). 解題前要預(yù)計(jì)各種方法的可行性? 可行方法的優(yōu)劣?解題中要根據(jù)思維受阻的情況及時(shí)調(diào)整. 解題后要加強(qiáng)反思,如方法為什么不行或可行? 方法優(yōu)或劣在哪里? 有沒(méi)有更為順暢的思維與解題策略等,力爭(zhēng)“做幾題,通一類”. 教師要根據(jù)學(xué)情,教學(xué)時(shí)適時(shí)鋪墊,分步實(shí)施. 如在以上解答中,還可嘗試讓學(xué)生將隱零點(diǎn)所在的范圍用有窮區(qū)間來(lái)表示等.

    猜你喜歡
    恒等式證法對(duì)數(shù)
    一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽題的另證與推廣
    活躍在高考中的一個(gè)恒等式
    民族文匯(2022年23期)2022-06-10 00:52:23
    含有對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)Kirchhoff方程多解的存在性
    指數(shù)與對(duì)數(shù)
    指數(shù)與對(duì)數(shù)
    一道數(shù)列不等式題的多種證法
    R.Steriner定理的三角證法
    一類新的m重Rogers-Ramanujan恒等式及應(yīng)用
    對(duì)數(shù)簡(jiǎn)史
    Weideman公式的證明
    免费少妇av软件| 满18在线观看网站| 国产精品国产三级专区第一集| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图 | 午夜久久久在线观看| 免费观看无遮挡的男女| 999精品在线视频| 亚洲精品一二三| 中文字幕人妻丝袜制服| 99热网站在线观看| xxxhd国产人妻xxx| 少妇熟女欧美另类| 日韩一区二区视频免费看| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 日本wwww免费看| 国产av国产精品国产| 亚洲五月色婷婷综合| 如何舔出高潮| 色婷婷久久久亚洲欧美| 欧美精品一区二区大全| 大陆偷拍与自拍| 高清黄色对白视频在线免费看| 我的老师免费观看完整版| 寂寞人妻少妇视频99o| 日本黄大片高清| 欧美日韩成人在线一区二区| 成人国产麻豆网| 精品久久蜜臀av无| 在线观看国产h片| 丰满乱子伦码专区| 亚洲精品av麻豆狂野| 免费观看性生交大片5| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 街头女战士在线观看网站| 男女边摸边吃奶| 亚洲精品日韩av片在线观看| 亚洲国产精品专区欧美| a级毛片免费高清观看在线播放| 好男人视频免费观看在线| 校园人妻丝袜中文字幕| av又黄又爽大尺度在线免费看| 777米奇影视久久| 多毛熟女@视频| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 免费日韩欧美在线观看| 国产精品久久久久久精品古装| 欧美成人午夜免费资源| 国产色婷婷99| 亚洲在久久综合| 免费观看av网站的网址| 只有这里有精品99| 色吧在线观看| 日韩强制内射视频| 精品久久久精品久久久| 性色av一级| 欧美精品高潮呻吟av久久| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 国产av码专区亚洲av| 欧美日韩成人在线一区二区| 成人毛片a级毛片在线播放| 五月伊人婷婷丁香| 午夜久久久在线观看| 99久久综合免费| 99久久人妻综合| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 一区二区av电影网| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 亚洲av不卡在线观看| 女性生殖器流出的白浆| 七月丁香在线播放| 亚洲精品日本国产第一区| 青春草视频在线免费观看| 亚洲av欧美aⅴ国产| 夫妻午夜视频| 免费看av在线观看网站| 欧美激情国产日韩精品一区| www.色视频.com| 一级毛片我不卡| 精品亚洲成a人片在线观看| 在线天堂最新版资源| 国产一区亚洲一区在线观看| 美女国产高潮福利片在线看| 国产精品人妻久久久久久| 国产黄色免费在线视频| 人人澡人人妻人| 飞空精品影院首页| 99精国产麻豆久久婷婷| 少妇的逼好多水| 国产 精品1| 国产不卡av网站在线观看| 免费高清在线观看视频在线观看| 免费观看无遮挡的男女| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 天堂中文最新版在线下载| 国产男人的电影天堂91| 99热这里只有是精品在线观看| 99re6热这里在线精品视频| 欧美日韩精品成人综合77777| 日日摸夜夜添夜夜爱| 久久精品国产亚洲av天美| 大陆偷拍与自拍| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 国产成人aa在线观看| 日韩在线高清观看一区二区三区| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 国产极品粉嫩免费观看在线 | 日本欧美国产在线视频| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 精品国产乱码久久久久久小说| 亚洲精品久久午夜乱码| a级毛色黄片| 夜夜爽夜夜爽视频| 天堂中文最新版在线下载| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 最近手机中文字幕大全| 丁香六月天网| 不卡视频在线观看欧美| 成人手机av| 制服人妻中文乱码| 一级毛片我不卡| 男女啪啪激烈高潮av片| 国产黄色免费在线视频| 欧美另类一区| 少妇人妻精品综合一区二区| 一级毛片aaaaaa免费看小| 国产熟女欧美一区二区| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 色婷婷av一区二区三区视频| 久久国产亚洲av麻豆专区| 九色亚洲精品在线播放| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 午夜91福利影院| 国产精品一二三区在线看| 日本欧美视频一区| 亚洲成人av在线免费| 最新的欧美精品一区二区| 爱豆传媒免费全集在线观看| 日韩伦理黄色片| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 日韩强制内射视频| 色婷婷久久久亚洲欧美| 天天操日日干夜夜撸| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 久久久久视频综合| 国产高清有码在线观看视频| 久久久久国产精品人妻一区二区| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 女性生殖器流出的白浆| 最新中文字幕久久久久| 久久午夜综合久久蜜桃| 人妻少妇偷人精品九色| 一个人免费看片子| 老司机影院毛片| 欧美bdsm另类| 中文字幕av电影在线播放| 欧美3d第一页| 人妻一区二区av| 2022亚洲国产成人精品| 多毛熟女@视频| 简卡轻食公司| 国产一区有黄有色的免费视频| 国产av精品麻豆| 国产极品粉嫩免费观看在线 | 人妻少妇偷人精品九色| 精品久久久噜噜| 欧美日韩成人在线一区二区| 亚洲高清免费不卡视频| 国产精品国产av在线观看| av免费观看日本| av电影中文网址| 考比视频在线观看| 极品人妻少妇av视频| 美女国产高潮福利片在线看| 欧美人与善性xxx| 女人精品久久久久毛片| 超碰97精品在线观看| 九九在线视频观看精品| 亚洲国产精品一区三区| 在线观看一区二区三区激情| 婷婷色麻豆天堂久久| 亚洲色图综合在线观看| 久久这里有精品视频免费| 婷婷色综合大香蕉| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 精品午夜福利在线看| 韩国高清视频一区二区三区| 国产免费一级a男人的天堂| 在线观看美女被高潮喷水网站| 亚洲av在线观看美女高潮| 人成视频在线观看免费观看| 亚洲精品av麻豆狂野| 欧美97在线视频| 街头女战士在线观看网站| 性色avwww在线观看| 赤兔流量卡办理| 亚洲怡红院男人天堂| 国产成人aa在线观看| 伦理电影大哥的女人| 一级片'在线观看视频| 欧美 日韩 精品 国产| 高清黄色对白视频在线免费看| 日韩成人av中文字幕在线观看| 丁香六月天网| 少妇丰满av| 美女国产高潮福利片在线看| 99视频精品全部免费 在线| a级毛片免费高清观看在线播放| 熟妇人妻不卡中文字幕| 国产精品国产三级专区第一集| av国产久精品久网站免费入址| 成人午夜精彩视频在线观看| 日韩大片免费观看网站| 国产精品久久久久久精品古装| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 国产精品女同一区二区软件| 91成人精品电影| 日本与韩国留学比较| 高清欧美精品videossex| 国产成人一区二区在线| 五月玫瑰六月丁香| 亚洲不卡免费看| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 丝袜美足系列| 免费看光身美女| 大片电影免费在线观看免费| 高清在线视频一区二区三区| 在线观看免费日韩欧美大片 | 永久免费av网站大全| 一二三四中文在线观看免费高清| 午夜福利,免费看| 国产精品人妻久久久影院| 欧美 日韩 精品 国产| av网站免费在线观看视频| 美女福利国产在线| 99re6热这里在线精品视频| 在线观看三级黄色| 黑人巨大精品欧美一区二区蜜桃 | 男女国产视频网站| 少妇精品久久久久久久| 又大又黄又爽视频免费| 韩国高清视频一区二区三区| 91午夜精品亚洲一区二区三区| av国产久精品久网站免费入址| 午夜福利,免费看| 国产精品人妻久久久影院| 纯流量卡能插随身wifi吗| 国产永久视频网站| 国产亚洲精品久久久com| 九草在线视频观看| 9色porny在线观看| 精品人妻在线不人妻| 亚洲怡红院男人天堂| 久久久精品区二区三区| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 一区二区三区乱码不卡18| 国产伦理片在线播放av一区| 亚洲丝袜综合中文字幕| 亚洲成色77777| 特大巨黑吊av在线直播| 国产一区二区三区综合在线观看 | 少妇丰满av| 久久久久网色| kizo精华| 草草在线视频免费看| 曰老女人黄片| 久久久久久久久久成人| 日韩中字成人| 日日爽夜夜爽网站| 国产亚洲精品第一综合不卡 | 桃花免费在线播放| 大香蕉97超碰在线| 国产精品人妻久久久久久| 欧美日韩成人在线一区二区| 久久午夜综合久久蜜桃| 青春草国产在线视频| 日韩在线高清观看一区二区三区| 免费观看a级毛片全部| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 精品亚洲成a人片在线观看| 寂寞人妻少妇视频99o| 免费av中文字幕在线| 超碰97精品在线观看| 久久久国产精品麻豆| xxx大片免费视频| 国产日韩欧美视频二区| 久久鲁丝午夜福利片| 极品人妻少妇av视频| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 午夜福利,免费看| 精品国产一区二区久久| 国产亚洲精品久久久com| 少妇被粗大的猛进出69影院 | 久久精品国产自在天天线| av一本久久久久| 天堂俺去俺来也www色官网| 一本一本久久a久久精品综合妖精 国产伦在线观看视频一区 | 久久久a久久爽久久v久久| 国产熟女午夜一区二区三区 | 成人国产麻豆网| 超碰97精品在线观看| 亚洲av中文av极速乱| 久久久久网色| 人成视频在线观看免费观看| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 久久99热这里只频精品6学生| 欧美变态另类bdsm刘玥| 黑人猛操日本美女一级片| 精品一区二区三卡| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 国产乱人偷精品视频| 国产一区二区在线观看日韩| 飞空精品影院首页| 精品久久久久久久久亚洲| 韩国av在线不卡| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 在线 av 中文字幕| 高清午夜精品一区二区三区| 丝袜美足系列| 亚洲成人av在线免费| 91精品国产国语对白视频| 国产成人一区二区在线| 天美传媒精品一区二区| 99国产精品免费福利视频| 国产高清国产精品国产三级| 蜜桃在线观看..| 高清av免费在线| 一个人免费看片子| xxx大片免费视频| tube8黄色片| 国产成人91sexporn| 成年av动漫网址| 国产精品无大码| 国产亚洲一区二区精品| 在线观看免费日韩欧美大片 | 一区二区av电影网| 久久精品国产鲁丝片午夜精品| 最新中文字幕久久久久| 亚洲av在线观看美女高潮| 日韩精品有码人妻一区| 飞空精品影院首页| 久久久久久久久久久久大奶| 国产成人精品无人区| 中文字幕人妻丝袜制服| 青青草视频在线视频观看| 精品亚洲成a人片在线观看| 交换朋友夫妻互换小说| 视频中文字幕在线观看| 精品亚洲成a人片在线观看| 日本与韩国留学比较| 亚洲综合精品二区| 国产成人一区二区在线| 亚洲精品色激情综合| 国产一级毛片在线| 高清黄色对白视频在线免费看| 久久精品久久精品一区二区三区| 国产高清三级在线| 91国产中文字幕| 国产亚洲精品久久久com| 伊人久久精品亚洲午夜| 在线观看三级黄色| 国产精品蜜桃在线观看| 母亲3免费完整高清在线观看 | 男女无遮挡免费网站观看| 99热国产这里只有精品6| 亚洲精品日本国产第一区| 久久av网站| 日韩大片免费观看网站| 国产视频内射| 日本黄色日本黄色录像| 插逼视频在线观看| 一级片'在线观看视频| 精品一区二区三区视频在线| 全区人妻精品视频| 热re99久久国产66热| 99国产精品免费福利视频| 一级毛片电影观看| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 亚洲国产av新网站| 亚洲五月色婷婷综合| 成年美女黄网站色视频大全免费 | 欧美一级a爱片免费观看看| 美女主播在线视频| 日本黄色片子视频| 午夜日本视频在线| 男人爽女人下面视频在线观看| 在线天堂最新版资源| 91久久精品国产一区二区成人| 久久精品国产亚洲av涩爱| 久久久精品94久久精品| 国产色爽女视频免费观看| 亚洲伊人久久精品综合| 91精品国产九色| 一级,二级,三级黄色视频| 春色校园在线视频观看| 国产精品一区二区在线观看99| 青青草视频在线视频观看| 91精品一卡2卡3卡4卡| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 国产精品蜜桃在线观看| 国产永久视频网站| 国产精品久久久久久av不卡| 亚洲精品美女久久av网站| 国产成人av激情在线播放 | 少妇人妻久久综合中文| 亚洲人与动物交配视频| 久久人妻熟女aⅴ| 美女福利国产在线| 久久av网站| 国产男女内射视频| 日本91视频免费播放| 在线观看免费日韩欧美大片 | 日韩av在线免费看完整版不卡| 能在线免费看毛片的网站| 亚洲,欧美,日韩| a级毛片免费高清观看在线播放| 亚洲欧美色中文字幕在线| 26uuu在线亚洲综合色| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 亚洲av日韩在线播放| 久久韩国三级中文字幕| 国产探花极品一区二区| 国产精品免费大片| 日本欧美视频一区| 日韩大片免费观看网站| av线在线观看网站| 最新中文字幕久久久久| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 少妇人妻 视频| 内地一区二区视频在线| 亚洲精品日韩av片在线观看| 最近2019中文字幕mv第一页| 人体艺术视频欧美日本| 国产高清有码在线观看视频| 在线播放无遮挡| 久久久国产一区二区| 欧美精品高潮呻吟av久久| 久久久久久久久大av| 久久国产精品男人的天堂亚洲 | 久久人人爽人人片av| 如日韩欧美国产精品一区二区三区 | 亚洲精品aⅴ在线观看| 街头女战士在线观看网站| 国产精品99久久99久久久不卡 | 你懂的网址亚洲精品在线观看| 国产免费视频播放在线视频| 色哟哟·www| 在线亚洲精品国产二区图片欧美 | 欧美亚洲日本最大视频资源| 亚洲欧洲国产日韩| 黄色欧美视频在线观看| 黑人欧美特级aaaaaa片| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 最后的刺客免费高清国语| 寂寞人妻少妇视频99o| 亚洲精品第二区| 美女主播在线视频| 久久久久久久亚洲中文字幕| 成人影院久久| 看十八女毛片水多多多| 精品一区二区三区视频在线| 如日韩欧美国产精品一区二区三区 | 国产一区二区三区综合在线观看 | 久久久久久久亚洲中文字幕| 国产精品一区二区在线不卡| 看十八女毛片水多多多| 亚洲国产精品成人久久小说| 国产 一区精品| 国产在线一区二区三区精| 国产国拍精品亚洲av在线观看| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片| 国产精品久久久久久av不卡| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 国产精品久久久久久精品古装| 亚洲伊人久久精品综合| 国产av一区二区精品久久| 2018国产大陆天天弄谢| 黄色欧美视频在线观看| 97超视频在线观看视频| 又黄又爽又刺激的免费视频.| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 18禁观看日本| 欧美日韩视频精品一区| 国产乱来视频区| 成人毛片a级毛片在线播放| 国产亚洲精品久久久com| 欧美日韩综合久久久久久| 久久韩国三级中文字幕| 黄色配什么色好看| 观看美女的网站| 久久亚洲国产成人精品v| 男女国产视频网站| 成人午夜精彩视频在线观看| 久久久国产一区二区| 亚洲第一av免费看| 日韩三级伦理在线观看| 少妇精品久久久久久久| 爱豆传媒免费全集在线观看| 在线观看一区二区三区激情| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 久久久久久人妻| 视频区图区小说| 亚洲精品一区蜜桃| av免费在线看不卡| 国产色爽女视频免费观看| 国产精品人妻久久久影院| 国产色婷婷99| 色视频在线一区二区三区| 全区人妻精品视频| 性色av一级| av免费在线看不卡| 久久av网站| 亚洲综合精品二区| av播播在线观看一区| 伊人久久国产一区二区| 国产高清国产精品国产三级| 黑丝袜美女国产一区| 国内精品宾馆在线| 哪个播放器可以免费观看大片| 免费黄频网站在线观看国产| 欧美性感艳星| av.在线天堂| 妹子高潮喷水视频| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 中国美白少妇内射xxxbb| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 男女啪啪激烈高潮av片| 亚洲av在线观看美女高潮| 男女国产视频网站| 亚洲人成77777在线视频| 九色亚洲精品在线播放| 日本wwww免费看| 热99久久久久精品小说推荐| 午夜91福利影院| 蜜臀久久99精品久久宅男| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 老司机影院毛片| 亚洲精品成人av观看孕妇| 亚洲综合色惰| 欧美激情 高清一区二区三区| 一区二区三区乱码不卡18| 一区二区三区精品91| 丝袜喷水一区| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 免费观看av网站的网址| 香蕉精品网在线| 大片电影免费在线观看免费| av有码第一页| 在线免费观看不下载黄p国产| 色婷婷av一区二区三区视频| 久久亚洲国产成人精品v| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 国产精品一国产av| 日韩电影二区| 中文字幕av电影在线播放| 成人毛片a级毛片在线播放| 九九爱精品视频在线观看| 男女国产视频网站| 国产有黄有色有爽视频| 婷婷色av中文字幕| 2018国产大陆天天弄谢| 久久精品人人爽人人爽视色| 久久久久国产精品人妻一区二区| 99热网站在线观看| 在线精品无人区一区二区三| 在线 av 中文字幕| 亚洲欧洲国产日韩| a级片在线免费高清观看视频| 一级毛片我不卡| 国产一区二区三区av在线| 男女无遮挡免费网站观看| 国产精品久久久久久av不卡| 2022亚洲国产成人精品| 亚洲欧美色中文字幕在线| 亚洲,一卡二卡三卡| 一级,二级,三级黄色视频| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| 视频中文字幕在线观看| 欧美精品一区二区大全| 香蕉精品网在线| 欧美少妇被猛烈插入视频| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 蜜桃国产av成人99| 国产亚洲午夜精品一区二区久久| 黑丝袜美女国产一区| 婷婷色av中文字幕| 精品久久国产蜜桃| 九草在线视频观看| 国产精品久久久久久精品电影小说| 日本wwww免费看| 麻豆成人av视频| 下体分泌物呈黄色| 国产一区二区在线观看av| 高清视频免费观看一区二区| 国产精品久久久久久精品电影小说| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 欧美+日韩+精品| 欧美日韩av久久| 我的女老师完整版在线观看| 亚洲国产日韩一区二区| 亚洲欧美一区二区三区国产| 成人国语在线视频| 大香蕉久久网| 久久99热6这里只有精品| xxx大片免费视频| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 欧美丝袜亚洲另类| 高清av免费在线| 99国产综合亚洲精品| 亚洲av不卡在线观看|