同構(gòu)視域下求解線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

福建省晉江市紫峰中學(xué)(362200) 王萍鈺

一、問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)明確提出:“立德樹人,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”.《標(biāo)準(zhǔn)》中指出數(shù)列是一類特殊的函數(shù),是數(shù)學(xué)中重要的研究對象,是研究其他類型函數(shù)的基本工具,是反映自然界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型. 從思想方法上看,數(shù)列融計(jì)算、推理、猜想、歸納于一體,具有很強(qiáng)的靈活性與綜合性,代數(shù)的美在數(shù)列中得到了淋漓盡致的體現(xiàn). 數(shù)列知識作為高考的必考知識,能全面考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力,同時(shí)考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

數(shù)列的呈現(xiàn)方式主要有兩種: 通項(xiàng)公式和遞推關(guān)系. 用通項(xiàng)公式來呈現(xiàn)數(shù)列,每一項(xiàng)的值清楚直白,但項(xiàng)與項(xiàng)之間的內(nèi)在關(guān)系并不是那么明確. 用遞推關(guān)系來呈現(xiàn)數(shù)列,則給出了項(xiàng)與項(xiàng)之間的內(nèi)在關(guān)系,給出了數(shù)列的變化規(guī)律和構(gòu)造過程. 可以說,遞推是數(shù)列的靈魂. 其中,線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求解在高考中屢見不鮮,其豐富的內(nèi)涵對培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性具有較高的價(jià)值. 然而,這也是數(shù)列的一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容. 如何幫助學(xué)生清晰地理解此類題型解題方法的共性成為筆者考慮的問題.

二、同構(gòu)思想求解通項(xiàng)公式的緣由

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞對數(shù)學(xué)解題的過程進(jìn)行了深入的研究,認(rèn)為整個(gè)解題過程分為四個(gè)階段,即: 弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、反思回顧,并給出了具有啟發(fā)性的“怎樣解題”表. 波利亞把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識和新技能的學(xué)習(xí)過程. 他的目標(biāo)不是找出可以機(jī)械地用于解決一切問題的“萬能方法”,而是希望通過對于解題過程的深入分析,特別是由已有的成功實(shí)踐,總結(jié)出一般的方法或模式,使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用.[1]

在抽象代數(shù)中,同構(gòu)(isomorphism)指的是具有保持結(jié)構(gòu)的雙射(bijection),換句話說,是描述具有不同表現(xiàn)形式的同一結(jié)構(gòu).[2]簡而言之,同構(gòu)的兩個(gè)特征: 一個(gè)是一個(gè)式子中出現(xiàn)兩個(gè)變量;另一個(gè)是適當(dāng)變形后,兩邊式子結(jié)構(gòu)相同. 線性遞推數(shù)列正符合同構(gòu)的特征. 因此,筆者嘗試在此類問題上引入同構(gòu)思想,求解線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式.

三、同構(gòu)視域下求解線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式

(一) 一階線性遞推數(shù)列an+1 = Aan +f(n) (A(A-1)/=0)的通項(xiàng)公式

例1已知數(shù)列{an}滿足a1= 1,an+1= 3an+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析遞推式構(gòu)造的類型關(guān)鍵看“長相”,即后面長什么樣,我們就在遞推式左右兩邊構(gòu)造成什么樣. 本題遞推式中右邊既含有an又含有常數(shù),可看成是an與常數(shù)的混合,因此在遞推關(guān)系式的左邊也構(gòu)造此結(jié)構(gòu),即an+1與常數(shù)的混合.

解析構(gòu)造an+1+λ= 3(an+λ) (λ /= 0), 即an+1= 3an+ 2λ, 對照已知遞推關(guān)系式可得λ= 1, 所以有an+1+1 = 3(an+1),即數(shù)列{an+1}是以2 為首項(xiàng),3 為公比的等比數(shù)列,則an=2×3n-1-1.

點(diǎn)評數(shù)列遞推的變形,需要讓遞推式具有和諧美感. 當(dāng)遞推關(guān)系式為an+1=Aan+B(AB(A-1)/=0)型可化為an+1+λ=A(an+λ) (λA(A-1)/= 0),構(gòu)造新的等比數(shù)列. 當(dāng)然,本題還可用作差法構(gòu)造{an+1-an}為等比數(shù)列,本文不再贅述.

變式1已知數(shù)列{an}滿足a1=-1,an+1=2an+4×3n-1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析本題遞推關(guān)系式中右邊可看成是an與關(guān)于n指數(shù)式的混合,因此在遞推關(guān)系式的左邊也構(gòu)造此結(jié)構(gòu),值得注意的是基于同構(gòu)思想,遞推關(guān)系式左邊an+1需與n+1 的指數(shù)式混合,即考慮到變量n的動(dòng)態(tài)性,也即變量要具有一致性.

解析構(gòu)造an+1+λ·3n+1= 2(an+λ·3n)(λ /= 0),即an+1=2an-λ·3n,對照已知遞推式可得λ=所以有an+1-×3n),即an+1-4×3n=2(an-4×3n-1),則數(shù)列{an-4×3n-1}是以-5 為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則an=4×3n-1-5×2n-1.

點(diǎn)評當(dāng)遞推關(guān)系式為an+1=Aan+B · Cn(ABC(A-1)(C-1)/=0)型可化為an+1+λ·Cn+1=A(an+λ·Cn)(λAC(A-1)(C-1)/=0),構(gòu)造新的等比數(shù)列. 當(dāng)然,本題還可對遞推關(guān)系式用同除法,化指數(shù)干擾項(xiàng)為常數(shù)干擾項(xiàng)來求解通項(xiàng)公式,本文均不再贅述.

變式2已知數(shù)列{an}滿足a1=2an+1- an=6n-3,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

分析本題遞推式中f(n)為關(guān)于n的一次函數(shù),我們只需構(gòu)造一次函數(shù)λn+μ(λ/=0)即可,同時(shí)要注意n的動(dòng)態(tài)性.

解析由2an+1- an= 6n -3 變形得2an+1=an+6n-3,構(gòu)造2[an+1+λ(n+1)+μ]=an+λn+μ即2an+1=an -λn-2λ-μ,對照已知遞推式可得λ=-6,μ=15,所以2[an+1-6(n+1)+15]=an-6n+15,即數(shù)列{an-6n+15}是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,則an=21×+6n-15.

點(diǎn)評形如an+1=Aan+Bn+C(AB(A-1)/=0)型可化為an+1+λ(n+1)+μ=A(an+λn+μ)(λA(A-1)/=0),構(gòu)造新的等比數(shù)列.

明代理學(xué)家朱熹在《朱子全書·論學(xué)》中曾提出要“小立課程,大作功夫”.“小立課程”,指的是交給學(xué)生的知識不宜過多,要盡可能地簡明、扼要. 教學(xué)中,我們可以讓學(xué)生自編題目,改變an+1=Aan+f(n)(A(A-1)/=0)中的f(n),讓學(xué)生“大作功夫”,在實(shí)現(xiàn)多題歸一的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

(二) 二階線性遞推數(shù)列an+2 = Aan+1 +Ban(AB /=0)的通項(xiàng)公式

例2(2021年八省聯(lián)考數(shù)學(xué)第17 題)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+2=2an+1+3an

(1)略;(2)若a1= 12,求{an}的通項(xiàng)公式.

分析由an+2= 2an+1+3an, 構(gòu)造an+2+λan+1=(2 +λ)(an+1+λan) (λ(λ+ 2)/= 0), 整理比較系數(shù)得λ2+2λ=3,則λ=1 或λ=-3.

解法1若λ= 1 時(shí),則an+2+an+1= 3(an+1+an).此時(shí){an+1+an}是以2 為首項(xiàng), 3 為公比的等比數(shù)列, 則an+1+an=2×3n-1. 此時(shí)遞推式為一階線性遞推式,用變式1 的方法解得an+1-1×3n-1). 又因則×3n-1.

解法2若λ=-3 時(shí), 則an+2-3an+1=-(an+1-3an). 又因a2-3a1=0,得an+1-3an=0,即=3,則{an}是以為首項(xiàng),3 為公比的等比數(shù)列. 故an=×3n-1.

點(diǎn)評該題遞推關(guān)系式為二階線性遞推關(guān)系an+2=Aan+1+Ban(AB /= 0), 通過拆分中間項(xiàng)可看成是左右兩邊各是一階線性遞推關(guān)系式, 即an+2+λan+1=(A+λ)(an+1+λan) (λ(A+λ)/= 0). 整理比較系數(shù)得(A+λ)λ=B,解出λ,將二階線性遞推數(shù)列通項(xiàng)公式問題轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題. 這里需指出,如果求得λ有兩個(gè)值,即存在兩種組合,任選其中一種組合方式即可. 本文僅僅從二階遞推出發(fā)解決此題,其他解法本文均不贅述.

四、結(jié)束語

已知數(shù)列遞推式求通項(xiàng)公式的方法多,需要教師在教學(xué)的過程中從不同的問題中滲透同一思想,幫助學(xué)生體會知識的生成過程,并通過反思與總結(jié)讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法更加系統(tǒng)化,使學(xué)生的解題思路更加開闊,從浩瀚的題海中解脫出來,選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}策略,有的放矢,進(jìn)而收到良好的教學(xué)效果,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

以上是筆者對線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的一些粗淺認(rèn)識和思考. 需要特別強(qiáng)調(diào)的是數(shù)列問題思想性、綜合性強(qiáng),限于篇幅,筆者在此僅拋磚引玉,不當(dāng)之處,敬請各位讀者批評指正.