冪級數(shù)和函數(shù)的求法

張海濤

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037009）

冪函數(shù)的和函數(shù)的計算在高等數(shù)學(xué)中是教學(xué)重點,也是學(xué)習(xí)的難點，而且在考研中也是常見的考點。文獻[1?3]總結(jié)了一些簡單的方法，而課本上關(guān)于和函數(shù)的求法，例題和習(xí)題中的類型較少，因此，學(xué)習(xí)起來有一定的困難,把和函數(shù)的求法分三類進行討論，給出了不同類型的級數(shù)計算的方法,希望對初學(xué)者在此部分的學(xué)習(xí)有引導(dǎo)作用。為了敘述簡便，在解題過程中忽略收斂域的問題，總假設(shè)所有的計算都是在收斂域的范圍內(nèi)進行。

1 利用和函數(shù)的定義進行計算

和函數(shù)的定義是前n項和的極限,這種類型，就是最常見的級數(shù)和的公式，它的典型特點是n只出現(xiàn)在指數(shù)上。所謂越基礎(chǔ)越重要,值得單獨列出來熟練掌握，要熟練到看到就能寫出，舉幾個例子：

在實際解題過程中，要注意符號的下標(biāo)，否則容易犯錯誤。比如:

簡單的方法就是看冪級數(shù)的第一項是什么，一般而言，基本型和式的分子就是第一項。

2 利用冪級數(shù)的逐項微分和逐項積分的性質(zhì)

冪級數(shù)的和函數(shù)有如下性質(zhì)

性質(zhì)1冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上I可積,并有逐項積分公式

逐項積分后所得到的級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑[4]。

性質(zhì)2冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間(?R，R)內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項求導(dǎo)公式

逐項求導(dǎo)后所得到的級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑[4]。

運用此類方法，或者先積分后求導(dǎo)，后者先求導(dǎo)后積分，或者求導(dǎo)求積分多次聯(lián)合并用。這種類型最為常見，主要特征就是含的式子是有理式，若出現(xiàn)在分母中，考慮求導(dǎo),若出現(xiàn)在分子中考慮積分。

3 利用冪級數(shù)展開式直接求和

常見的五大級數(shù)展開式

當(dāng)冪級數(shù)的一般項系數(shù)的分母為n的階乘時，常用此方法，一般是先找出與所給級數(shù)相近的某個初等基本函數(shù)的展開式，再進行嘗試。這類型的題目常需要特別的技巧，計算量也較大，要掌握其方法，需要從易到難逐步熟悉。

令x=1，就得到所求結(jié)果為

冪級數(shù)的和函數(shù)的求法是級數(shù)這部分內(nèi)容的重點和難點，在平時學(xué)習(xí)中要注重練好基本功，對于常見的方法要熟練掌握。除了文中的方法，還可以由已知冪級數(shù)建立關(guān)于和函數(shù)的微分方程求解，或者利用冪級數(shù)的下標(biāo)變換求和函數(shù)。對于一些求數(shù)列前n項之和的，也可以轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)的求和問題。這類題目，難度較大，綜合性較強。要通過勤加練習(xí)，加以鞏固。