解答二面角問(wèn)題的兩種途徑

華恩亨

二面角問(wèn)題是高中立體幾何中的一類(lèi)常見(jiàn)題目.雖然此類(lèi)問(wèn)題的命題方式多種多樣，但解題的方法卻是大同小異.因此在解答二面角問(wèn)題時(shí)，我們要學(xué)會(huì)“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，牢牢抓住題目的特點(diǎn)，選擇合適的解題方法和思路進(jìn)行求解.本文主要介紹以下兩個(gè)求解二面角的辦法.

一、構(gòu)造三垂線(xiàn)

在解題時(shí)，我們常根據(jù)二面角的平面角的定義來(lái)添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造三垂線(xiàn)，利用三垂線(xiàn)定理來(lái)解題.如圖1所示，已知平面α、平面β和線(xiàn)段l，假設(shè)α-l-β為銳二面角，過(guò)平面α內(nèi)一點(diǎn)P作一條垂直于面β的垂線(xiàn)PA交平面β于A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作線(xiàn)段l的垂線(xiàn)AB交線(xiàn)段l于B點(diǎn)，連接P、B就可以得到一個(gè)直角三角形PAB，根據(jù)三垂線(xiàn)定理可知，線(xiàn)段PB⊥l，那么∠PAB就是銳二面角α-l-β的平面角.通過(guò)解直角三角形PAB，便可求得∠PAB的大小.

例1.已知一個(gè)棱長(zhǎng)都等于4的正三棱柱ABC-A1B1C1，BC的中點(diǎn)是E點(diǎn)，側(cè)棱CC1上有一動(dòng)點(diǎn)F，且不會(huì)與C點(diǎn)重合.假設(shè)二面角C-AF-E的大小是θ，求二面角的正切的最小值.

解：如圖2所示，過(guò)E作EN⊥AC于點(diǎn)N，過(guò)N作MN⊥AF于M，連接M，E.

由正三棱柱的性質(zhì)可得EN⊥側(cè)面A1C，由三垂線(xiàn)定理可知EM⊥AF，因此∠EMN是二面角C-AF-E的平面角，即∠EMN=θ.

設(shè)∠CAF=α，那么0°<α≤45°，

在Rt△CNE中，??? .

在Rt△AMN中，MN=AN·sinα=3sinα，

因此??? .

又因?yàn)?°<α≤45°，所以，

因此當(dāng)時(shí)，tanθ的最小值為??? .

解答本題主要根據(jù)二面角的平面角的定義構(gòu)造出三垂線(xiàn)，然后運(yùn)用三垂線(xiàn)定理證明∠EMN是二面角C-AF-E的平面角.在構(gòu)造三垂線(xiàn)時(shí)，要注意抓住幾何體的特點(diǎn)和幾何圖形中的垂直關(guān)系.

二、構(gòu)造垂面

構(gòu)造二面角棱的垂面也是解答二面角問(wèn)題的常用辦法.有些二面角的平面角借助二面角棱的垂面更加方便作出.作二面角棱的一個(gè)垂面，需過(guò)棱上一點(diǎn)分別作兩個(gè)半平面的垂線(xiàn)，將兩個(gè)垂足和已知點(diǎn)連接起來(lái)所形成的平面就是垂直于二面角棱的一個(gè)垂面.然后在垂面內(nèi)運(yùn)用平面幾何知識(shí)就可求得二面角的大小.

例2.空間中有一點(diǎn)P到二面角α-l-β中的兩個(gè)半平面α，β和棱l的距離分別是4，3，，求二面角α-l-β的大小.

解：如圖3所示，分別作平面α，β的垂線(xiàn)PA垂直于平面α交于A點(diǎn)，PB垂直于平面β交于B點(diǎn)，連接P，A，B，則l⊥平面PAB，設(shè)l與平面PAB相交于點(diǎn)C，連接P，C，可得l⊥PC.

在直角三角形PAC，PBC中，，PA=4，PB=3，

那么，??? .

因?yàn)镻，A，C，B四點(diǎn)共圓，則PC是直徑，

設(shè)PC=2R，二面角α-l-β的大小是θ.

根據(jù)余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosθ=PA2+PB2-2PA·PB·cos（π-θ），解得，θ=120°，

因此二面角α-l-β的大小是120°.

我們通過(guò)作二面角的兩個(gè)半平面的垂線(xiàn)，構(gòu)造出二面角平面角的垂面PABC，再在平面PABC內(nèi)，運(yùn)用直角三角形和圓的性質(zhì)，以及余弦定理求得二面角α-l-β的大小.

解答二面角問(wèn)題的辦法，還有很多如采用面積法、投影法等.一般來(lái)講，求解二面角問(wèn)題主要有三個(gè)步驟，即先作出二面角的平面角，然后證明這個(gè)角為二面角的平面角，最后求出這個(gè)平面角的大小.在這三個(gè)步驟里面，前面兩個(gè)步驟是解題的關(guān)鍵，只要做好這兩步，就能輕松解題.

（作者單位：安徽省碭山第二中學(xué)）