求解極值點(diǎn)偏移問題的兩個(gè)技巧

申一鳴

所謂極值點(diǎn)偏移，是指函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)x0與區(qū)間（x1，x2）上的中點(diǎn)不相等.極值點(diǎn)偏移問題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、方程的根的判別式、韋達(dá)定理等.解答極值點(diǎn)偏移問題的關(guān)鍵在于，正確處理兩根之間的關(guān)系，確保不等式恒成立.解答此類問題主要有兩個(gè)技巧：差值代換和比值代換.下面，我們結(jié)合一道典型例題來進(jìn)行探討.

例題：已知函數(shù)f（x）=xe-x，若0<x1<x2，且f（x1）=f（x2），求證：3x1+x2>3.

題目中出現(xiàn)了兩個(gè)變量x1、x2，求解的難度較大.我們需根據(jù)已知條件建立關(guān)于x1、x2的關(guān)系式，靈活運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、方程的根的判別式、韋達(dá)定理等進(jìn)行推理、運(yùn)算，由已知條件逐步向目標(biāo)式靠近.我們可以運(yùn)用差值代換和比值代換兩個(gè)技巧來求解.

一、差值代換

運(yùn)用差值代換技巧求解極值點(diǎn)偏移問題，需首先令t=x2-x1，消去其中的一個(gè)變量x1或x2，將函數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)于變量t的式子，通過探討函數(shù)的單調(diào)性、極值，從而證明結(jié)論.在解答本題時(shí)，要先設(shè)t=x2-x1，而3x1+x2>3等價(jià)于，可構(gòu)造函數(shù)g（t）（t-3）et+3t+3，并運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法對(duì)其性質(zhì)和圖象進(jìn)行深入探討，從而證明結(jié)論成立.

解：∵0<x1<x2，且f（x1）=f（x2），

∴，，

令t=X2-X1，t=（et-1）X1

∴，，

∴3x1+x2>3等價(jià)于，

設(shè)g（t）=（t-3）et+3t+3（t>0）

∴g′（t）=（t-2）et+3，

令h（t）=（t-2）et+3，∴h′（t）=（t-1）et

當(dāng)0<t<1時(shí)，h′（t）<0，h（t）在（0，1）上單調(diào)遞減;當(dāng)t>1時(shí)，h′（t）>0，h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增;h（t）≥h（1）=3-e>0，

∴g′（t）>0，g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（t）>0，∴3x1+x2>3.

二、比值代換

所謂比值代換，是指通過引入變量，將極值點(diǎn)偏移問題轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于t的函數(shù)問題來求解的技巧.在研究f（t）時(shí)，可先對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，從而證明結(jié)論.對(duì)于本題，可先令，則、，而目標(biāo)式可等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，研究其導(dǎo)函數(shù)，便可確定g（t）的極值和單調(diào)性，進(jìn)而證明3x1+x2>3.

解：∵0<x1<x2，且f（x1）=f（x2）

∴，，

∴，設(shè)，

∴，，

∴3x1+x2>3等價(jià)于，

設(shè)，

∴，

令，

∴，

當(dāng)1<t<3時(shí)，h′（t）<0，h（t）在（1，3）上單調(diào)遞減;當(dāng)t>3時(shí)，h′（t）>0，h（t）在（3，+∞）上單調(diào)遞增;

∵h(yuǎn)（3）=4-4ln3<0，h（e2）>0，∴在（3，e2）上存在唯一零點(diǎn)t0使h（t0）=0，即，

當(dāng)1<t<t0時(shí)，g′（t）<0，g（t）在（1，t0）上單調(diào)遞減;當(dāng)t>t0時(shí)，g′（t）>0，g（t）在（t0，+∞）上單調(diào)遞增，，

∵t0>3，在（3，+∞）上單調(diào)遞增，

∴，∴3x1+x2>3.

比值代換、差值代換都是求解極值點(diǎn)偏移問題的常用技巧，也是同學(xué)們應(yīng)該學(xué)習(xí)和掌握的重要內(nèi)容.通過上述分析，我們不難發(fā)現(xiàn)解答極值點(diǎn)偏移問題，需靈活運(yùn)用換元、消參的技巧，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)問題，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法來求解.

（作者單位：陜西省渭南經(jīng)開區(qū)渭南中學(xué)）