巧變形 妙構(gòu)造*——利用導(dǎo)數(shù)證明不等式幾種構(gòu)造函數(shù)策略

福建省莆田第二中學(xué) (351131) 卓曉萍

福建教育學(xué)院基礎(chǔ)教育研究院數(shù)學(xué)教育研究所 (350025) 蔡海濤

縱觀近幾年的高考題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題多次出現(xiàn)，充分考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)，突出理性思維，彰顯選拔功能.在解決這類問題的過程中，欲證不等式f(x)>g(x)，常需要構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)、判斷單調(diào)性、求最值，學(xué)生解題的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造函數(shù).本文筆者以一道2021年廈門市高三質(zhì)檢題為例，歸納整理幾種構(gòu)造函數(shù)策略，與各位同仁交流．

一、題目呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=2ax-ln(x+1)+1，a∈R.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x>0，0f(x).

二、解法賞析

評析：本解題策略是更換主元，構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)最值證明不等式.由于不等式結(jié)構(gòu)中含有雙元a,x，F(xiàn)(a,x)=exa-2xa+ln(x+1)-1，可以看做關(guān)于變量“a”的函數(shù)，也可以看做關(guān)于變量“x”的函數(shù).若把函數(shù)F(a,x)中主元定為a，得F(a)=exa-2xa+ln(x+1)-1，F(xiàn)(a)是含有“ea，a”兩類結(jié)構(gòu)的超越函數(shù)，若把函數(shù)F(a,x)中主元定為x，F(xiàn)(x)=exa-2xa+ln(x+1)-1，h(x)是含有“ex，x，lnx”三類結(jié)構(gòu)的超越函數(shù)，相比之下F(a)結(jié)構(gòu)更為簡單易分析.

解法4：(巧妙放縮，構(gòu)造新函數(shù))由02ax-ln(ax+1)+1，即eax-ax>ax-ln(ax+1)+1=eln(ax+1)-ln(ax+1)+1，令h(x)=ex-x，只需證h(eax)>h(ln(ax+1))，有h′(x)=ex-1>0，得h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，只需證eax>ln(ax+1)，利用不等式ex>x+1(x>0)，x>ln(x+1)(x>0)，得eax>ax+1>ln(ax+1)+1.

評析：本解題策略是利用已知a的范圍02ax-ln(ax+1)+1，不等式中出現(xiàn)“et,t,lnt”的結(jié)構(gòu)，觀察“et-t,t-lnt”的結(jié)構(gòu)一致，構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-x，把問題轉(zhuǎn)化為h(eax)>h(ln(ax+1))，再結(jié)合h(x)單調(diào)性，進(jìn)一步簡化了命題，只需證eax>ln(ax+1)即可.

三、解法反思

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式構(gòu)造函數(shù)的思維切入點(diǎn)：

1.對不等式f(x)>0含有參數(shù)a的處理策略

(1)利用參數(shù)的范圍對原不等式進(jìn)行放縮，相應(yīng)構(gòu)造不含參函數(shù)，再進(jìn)行證明.

(2)比較含“a”的結(jié)構(gòu)與含“x”的結(jié)構(gòu)，考慮是否更換主元，構(gòu)造函數(shù)y=h(a)，轉(zhuǎn)化為證明h(a)>0.

(3)觀察“a”的結(jié)構(gòu)，是否可以對f(x)>0進(jìn)行分離參數(shù)，等價(jià)變形為g(a)>h(x)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)h(x)，把問題轉(zhuǎn)化為求h(x)的最值.

2.觀察不等式f(x)>0的結(jié)構(gòu)

(3)證明“x∈(m,n)，f(x)>0”，將區(qū)間端點(diǎn)m代入是否有f(m)=0，若是可以進(jìn)一步分析y=f(x)單調(diào)性，定出f(x)最值.

(4)若不等式中出現(xiàn)“et,t,lnt”的結(jié)構(gòu)，分析是否出現(xiàn)“tet與tlnt”、“tet與t+lnt”、““t+et與t+lnt”(tlnt=elntt，tet=et+lnt)的結(jié)構(gòu)，可以利用換元法化簡原不等式的結(jié)構(gòu).

四、同步訓(xùn)練

1.(龍巖市2021年高中畢業(yè)班第三次教學(xué)質(zhì)量檢測22題)已知函數(shù)f(x)=xex-sinx-1.

(1)證明：f(x)在區(qū)間(-1,+∞)存在唯一極小值點(diǎn)；(2)證明：lnx

分析：(1)略；(2)觀察到不等式中函數(shù)類型有三類，利用不等式x>0,x>sinx放縮，把問題轉(zhuǎn)化為證明x+lnx+1-xex<0，而新的不等式中出現(xiàn)了“xex與x+lnx”，因此利用換元法令t=x+lnx，把問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證明et≥t+1.

3．(2021年云南昆明市高三二模(文))已知函數(shù)f(x)=ax-sinx，x∈(0,+∞)(a∈R).

(1)若f(x)>0，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，證明：2f(x)+cosx>e-x.