探析2020年全國高中數(shù)學聯(lián)賽浙江初賽導數(shù)題

浙江省衢州第二中學 (324000) 廖如舟

(Ⅰ)若f(x)=0恰有三個根，求實數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的情形下，設f(x)=0的三個根為x1,x2,x3，且x1

1 試題分析

本題以絕對值函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)導數(shù)、不等式、絕對值等基礎知識，其核心是通過導數(shù)分析函數(shù)的單調性，結合局部判斷等手段得到函數(shù)的大致圖像．浙江省初賽導數(shù)題設計的特點是規(guī)避題海、綜合性強、注重區(qū)分．第(Ⅱ)小題判斷方程的根之間的不等關系，考查學生推理論證、分類討論、轉化化歸等分析解決問題的能力．促進學生邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據分析等數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

2 解法探究

命題組給出了如下的參考答案：

圖1

圖2

3 命制源流

從命題組提供的解答中能夠感受到命題者對于題目設計的精巧之處，追本溯源可以發(fā)現(xiàn)在《數(shù)學分析中的典型問題與方法》一書中有一題與本題函數(shù)模型類似：

圖3

圖4

4 拓展延伸

可以肯定的是很少會有學生按照參考答案的思路解題，而是會采用分析法利用函數(shù)單調性證明不等式，思路清晰，過程簡單，筆者在考后的第一時間完成本題，用的是如下解法：

通過分析證明的過程發(fā)現(xiàn)只用到了一個不等式ex≤x-1．從這個角度出發(fā)再改進一下本題證明：

5 教學啟示

導數(shù)是用來研究函數(shù)局部性質的一種重要的工具，是微積分中重要的基礎概念，其核心是用導數(shù)來研究連續(xù)函數(shù)的單調性，主要培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據分析等數(shù)學核心素養(yǎng)．

從知識點看，本題涉及的內容大都是學生熟悉的知識點，大部分學生做不出本題的原因有：(1)題目的新穎，比較少見的導數(shù)處理絕對值的問題，且還是絕對值函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的乘積形式；(2)容易與極值點偏移聯(lián)系在一起，在處理多變量不等式轉化的時候，運算分析能力不夠，同時沒有在合適的地方使用切線不等式放縮；(3)缺乏對解決問題的路徑進行規(guī)劃和試題命制背景的探究，缺少對于尋找同性態(tài)函數(shù)的勇氣，存在著循規(guī)蹈矩的思想，大部分學生不敢想、不會想，這個是當前教學亟待解決的問題．

基于以上分析，從發(fā)展學生核心素養(yǎng)角度審視導數(shù)教學，我們認為要培養(yǎng)學生三個方面的能力[1]．

第一，培養(yǎng)“敢想”的能力．在教學中，注重知識的發(fā)生、發(fā)展過程，引領學生認識導數(shù)的整體結構、本質，夯實基礎知識，選擇一些典型或者新穎的導數(shù)題進行教學，幫助學生建立方法體系，如學會用導數(shù)去分析函數(shù)的性質，進而刻畫函數(shù)的圖象，注意函數(shù)變化過程的增幅和趨勢，通過一題多解，比較各種解法的優(yōu)劣，培養(yǎng)學生的數(shù)學理性思維，發(fā)展學生數(shù)學直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．

第二，指導“強算”的能力．為了突破導數(shù)問題的“運算關”，在導數(shù)教學中，選擇一些優(yōu)秀的解法的推理演算過程，通過剖析展示運算錯誤的原因，指導學生明晰運算對象的基礎上，采用估算、口算、整體運算等方法，預判運算實施的可能性，養(yǎng)成在腦中建立思維過程的習慣，提升運算素養(yǎng)．

第三，引導“鉆研”的能力．在導數(shù)的教學中，常常要考慮從命題者的角度去剖析思考問題，培養(yǎng)學生對問題的分析態(tài)度，養(yǎng)成探究的習慣，對于課堂的問題加以延伸和推廣，實現(xiàn)有意義的深度學習．