一道三角最值問題的解法探究*

江蘇省南京市金陵中學 (210005) 郭建華

求解與解三角形有關的最值問題時，正弦定理和余弦定理是解題的關鍵，基本不等式和導數(shù)是解題的工具．下面，筆者以一道三角最值問題為例，從題目條件表征的多個維度探尋解題的突破口．以此讓學生體會解決該類問題方法的多樣性和靈活性．

題目在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知acosB=6，c=4，則C的最大值為．

要解決這個題目，可以讓學生作如下思考：它是一個什么問題?它要求的是什么?現(xiàn)在有哪些材料?有哪些工具?還需要哪些條件?還缺少哪些條件?能否從現(xiàn)有的條件中尋找?如何用這些條件和結(jié)論?是否還有其它條件可有利用?如何利用?等等．

本文給出以下四種解題思路，并簡要分析每種解題思路中條件表征的形式和解法的獲得．

思略1整體代換

評注：結(jié)合題設條件和求解的目標，很容易想到利用余弦定理進行邊角互化．為求角C的最小值，先用余弦定理將cosB代換，得邊a，b滿足的關系式，再利用減元思想將cosC表示為關于邊b的一元函數(shù)，最后結(jié)合基本不等式求cosC的最小值即可．

評注：對a2-b2=32，巧妙利用c=4的代換，探尋邊a，b，c之間的關系，通過減元思想，將cosC表示成關于邊a，b的二元函數(shù)，再利用基本不等式求cosC的最小值即可．

思路2射影定理

評注：由acosB聯(lián)想到三角形中的射影定理acosB+bcosA=c，挖掘其隱含的條件bcosA=-2，再結(jié)合條件的結(jié)構形式，便可迅速找到解題的突破口．

思路3化斜為直

圖1

評注：由bcosA=-2，得線段AC在直線AB上的投影長為2，將斜△ABC補成Rt△BDC，即化斜三角形為直角三角形，更容易表達目標∠ACB=∠BCD-∠ACD，再結(jié)合兩角和差的正切公式和基本不等式求解．

思路4夾角公式

圖2

評注：充分整合條件acosB=6，c=4，聯(lián)想數(shù)量積公式，通過建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担骄縿狱cC的軌跡(為一條定直線l)，再結(jié)合向量的夾角公式求解．

只有深刻理解題意，才能充分整合題設條件，準確表征條件，并挖掘其隱含條件，多維度探究解決問題的突破口，將學生所學的知識融會貫通．利用一題多解，深化學生對理解基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展．