一道解析幾何小題的多解與推廣

安徽省蕪湖市第一中學 (241000) 劉海濤

廣東省信宜市信宜中學 (525300) 何浩成

1 試題呈現(xiàn)與分析

(2021年全國“八省聯(lián)考”第7題)已知拋物線y2=2px上三點A(2,2)，B，C，直線AB,AC是⊙I：(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

分析：該題綜合性強、解法靈活，考查了拋物線與圓的簡單幾何性質(zhì)，方程的思想，直線與圓、拋物線的位置關(guān)系等知識，考查了學生分析問題、解決問題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng).試題看似簡單、明了，但內(nèi)涵豐富，本文嘗試對該題從不同的角度予以思考，給出不同的解法，揭示出問題的命題背景，探究出一般性結(jié)論，發(fā)揮該題的最大價值.

2 解法探究

圖1

評注：考慮到直線BC的方程受到直線AB,AC的制約，于是考慮將AB,AC兩條直線的方程同時和拋物線聯(lián)立，得到三個公共點A,B,C縱坐標同時滿足的方程，通過提取公因式舍去點A，得到關(guān)于B,C的方程3y2+12y+8=0，結(jié)合y2=2x得到直線BC的方程.該法過程簡潔，運算量小，不失為一種巧妙解法.

3 變式推廣，深入探究

數(shù)學家波利亞曾說：“解題就像采蘑菇一樣，當我們發(fā)現(xiàn)一個蘑菇時，它的周圍可能有一個蘑菇圈.”解答完本題后，筆者有如下變式探究：

探究1 已知⊙I：(x-2p)2+y2=r2(r>0)與拋物線y2=2px無公共點，拋物線上三點A(2p,2p)，B，C，滿足直線AB,AC是⊙I的兩條切線，求證直線BC的斜率為定值.

既然圓的半徑可以一般化，條件可簡化為kAB+kAC=0，由此，得到如下結(jié)論：

若點A為拋物線y2=2px任意一點(異于坐標原點O)，結(jié)論變不變呢？

由此，得到如下結(jié)論：

說明：特別地，結(jié)論2中的y0=2p，即為結(jié)論1.

橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線，三者之間有很多可類比的性質(zhì)，體現(xiàn)了圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一，于是筆者對橢圓與雙曲線進行了探究.

由此，得到如下結(jié)論：

類比可得雙曲線中的如下結(jié)論：

由于橢圓經(jīng)過伸縮變換，可以得到以坐標原點為圓心的圓，類比可得如下結(jié)論：

說明：限于篇幅，結(jié)論4,5的證明可參照結(jié)論3的證明.

考慮平移變換，對于圓心不為坐標原點的圓，容易得到如下結(jié)論：

基于上述討論，筆者猜想：若直線AB與AC無限靠近直至重合，則B,C兩點可以視做點A關(guān)于x軸的對稱點，根據(jù)對稱性，此時直線BC的斜率與曲線在點A處切線斜率互為相反數(shù).筆者利用幾何畫板分別在圓、橢圓、雙曲線、拋物線上探究，發(fā)現(xiàn)猜想正確，考慮將圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一為二次曲線方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，得到如下結(jié)論：

說明：限于篇幅，結(jié)論7的證明留給讀者思考.

4 反思總結(jié)

4.1 一題多解，提高解題能力

數(shù)學離不開解題，數(shù)學研究的過程就是解決問題的過程，掌握數(shù)學的一個重要標志就是善于解題[2].可見，解題是一名教者的必備技能，技能的形成并非一朝一夕，而在于日積月累.數(shù)學解題是鞏固基礎(chǔ)知識、落實基本技能、感悟思想方法、提升思維敏銳度的系統(tǒng)活動，所以對一道典型問題進行多角度的分析與解答是非常必要的.筆者從三個角度分析“八省聯(lián)考”的解幾小題，得到三種不同解法，第一種解法屬于最常用解法，先設(shè)線再求點，計算量大，過程復(fù)雜，第二種方法根據(jù)題目特點，先設(shè)點再求線，優(yōu)化了解題過程，簡化了計算，第三種解法抓住題目斜率和為定值的兩條相交弦的命題背景，采用雙直線法，巧妙自然，富有創(chuàng)意.

4.2 變式推廣，尋求多解歸一

“八省聯(lián)考”的數(shù)學試卷由教育部組織命制，每一道試題凝聚著命題人的心血與智慧，是命題者反復(fù)考量與打磨才成型的，對新高考的教學具有導(dǎo)向性與啟示性.對典型試題進行逆向探究、引申探究、類比探究等，往往可以得到很多有價值的東西，筆者將試題一般化處理，得到結(jié)論1和2，運用類比的思想方法，探究橢圓、雙曲線、圓，依次得到結(jié)論3、4、5和6，最后將四種曲線統(tǒng)一為二次曲線，得到結(jié)論7，體現(xiàn)了二次曲線內(nèi)在統(tǒng)一.教學中，教師若能合理運用上述方式，定能教會學生處理同類問題的通解通法，避免題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學生負擔，提高學習效率，達到多解歸一的目的[3].