基于圖像視角下極值點偏移問題的解法探究

江蘇省南京市棲霞中學(xué) (210046) 劉建國 胡黨琴

一、問題背景

極值點偏移問題多次出現(xiàn)在各地模擬題與高考中，只有深入了解這類問題的本質(zhì)，才能掌握此類問題的命題背景，進而對問題進行變式(如[1])，當(dāng)前也有很多文獻研究了此類問題的解題策略(如[2]).極值點偏移問題是函數(shù)不等式證明中常見的題型，這類問題通常以多變量甚至引入?yún)?shù)使得問題復(fù)雜而又難以處理，其本質(zhì)在于極值點兩側(cè)的增減速率不一致導(dǎo)致偏移現(xiàn)象，從而使得問題難度增加.學(xué)生對此往往束手無策，其原因是多方面的，從代數(shù)角度分析，學(xué)生不會對變量問題進行轉(zhuǎn)化，如何轉(zhuǎn)化，怎樣轉(zhuǎn)化是學(xué)生面臨的一個困難；從圖像角度分析，學(xué)生對函數(shù)的本質(zhì)問題沒有理清，不會畫圖，更不會用圖像去研究此類問題的本質(zhì).

二、圖像解法探究

圖1

圖2

例1 (2020兗州區(qū)高三網(wǎng)絡(luò)模擬22)已知函數(shù)f(x)=2lnx-ax，a∈R.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

(1)若f(x)≥0，求實數(shù)a的范圍；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個零點x1,x2，證明：x1x2<1.

注：含參的極值點偏移問題，往往兩個零點與參數(shù)的雜糅加大問題的難度，處理這類問題的根本思想就是消元思想，利用零點在函數(shù)中建立等式，消除參數(shù)，再利用對稱性的思想將兩個零點消元得到一元的問題，進而比較大小得出結(jié)果.

例3 (2021湛江一模22)已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=2ax+1.

(1)若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值集合；

分析：針對第(2)問根據(jù)前面的圖像分析，只需將圖像上零點x1關(guān)于極值點x0對稱到x0右側(cè)2x0-x1，將問題轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)值f(2x0-x1)-g(2x0-x1)與f(x2)-g(x2)的大小比較問題.

注：極值點含參數(shù)時，利用函數(shù)零點進行消參顯得繁瑣，不妨保留參數(shù)，對零點進行消元，構(gòu)造新的函數(shù)，對新函數(shù)通過求最值進行判斷符號，得出結(jié)果.

三、幾點思考

1.圖像是函數(shù)問題的本源.數(shù)形結(jié)合思想是解決函數(shù)問題的重要思想，從函數(shù)圖像上了解問題的根源，更好的把握問題內(nèi)在的規(guī)律性，因此教師在教學(xué)過程中處理這類問題時，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)圖像的畫法，教學(xué)生去畫圖，從圖像上探究問題的本源，這種思想在處理多變量問題時往往有意想不到的效果.

2.重視問題的源頭是解決問題方法的來源.當(dāng)前高三復(fù)習(xí)中，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中只重結(jié)果，以刷題為手段，答對為目的進行周而復(fù)始的題海戰(zhàn)術(shù)，機械刷題，套路題型，而不重視解題思想，使得在面對新題型時，往往束手無策.函數(shù)問題的命制往往來源于函數(shù)圖像，函數(shù)圖像是函數(shù)問題的源頭，圖像給學(xué)生以直觀感受，在觀察圖像中可以尋找到解題策略，函數(shù)的性質(zhì)只是解決問題的輔助工具，在觀察圖像基礎(chǔ)上，通過邏輯推理，從而解決問題.

3.倡導(dǎo)多題一解，注重對問題進行溯源.函數(shù)中除了極值點偏移問題外，參數(shù)范圍問題，恒成立問題，零點問題等都是較難的問題，教師在平時教學(xué)中，不能一味的以解題為目的，一個好的數(shù)學(xué)問題除了本身解法的之外，更應(yīng)該對問題進行溯源，探究其內(nèi)在的命題背景與命題方法，針對此類情況進行歸納總結(jié)，注重方法的合理性與可行性，做到一題解決一類題的教學(xué)目標(biāo).