期性分紅在有界紅利率對(duì)偶模型中的應(yīng)用研究①

陳喜林

(羅定職業(yè)技術(shù)學(xué)院；廣東 羅定 527200)

0 引 言

信息更迭加速了全球經(jīng)濟(jì)發(fā)展，多邊多元貿(mào)易拓展，全球金融投資領(lǐng)域的競(jìng)爭(zhēng)愈演愈烈。要保證投資公司的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，發(fā)行股票或基金是減少風(fēng)險(xiǎn)、獲得資金的重要方式，而資金的注入必然對(duì)資產(chǎn)運(yùn)作產(chǎn)生一定影響[1]。與此同時(shí)，股東分紅成為了不可忽視的問題，紅利分配大小直接決定了股東再注資態(tài)度。股東利益最大化和公司穩(wěn)定健康發(fā)展，兩者之間的權(quán)衡問題成為了諸多學(xué)者的研究焦點(diǎn)[2]。對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型獲得正收益的概率隨機(jī)，且以平均速度消耗運(yùn)營(yíng)成本，與實(shí)際的企業(yè)運(yùn)營(yíng)過程較為貼近。在實(shí)際生活中，周期性分紅問題十分普遍，企業(yè)進(jìn)行季度分紅或年度分紅更是常見[3]。有鑒于此，研究運(yùn)用對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型探討周期性紅利分配，具有較高的實(shí)踐性意義。

1 基本模型與假設(shè)

以u(píng)表示企業(yè)初始基本資金，c表示企業(yè)單位時(shí)間的花費(fèi)，S(t)表示企業(yè)至t時(shí)刻的隨機(jī)總收益，則企業(yè)在t時(shí)刻的盈余如式(1)所示。

U(t)=u-ct+S(t)c∈N+,u,t∈N

(1)

(2)

進(jìn)而可知，盈余模型為復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型，其模型詳細(xì)表述見式(3)。

(3)

研究在式(1)所述模型中討論最優(yōu)分紅問題，假定在t=0時(shí)刻考慮分紅，dt表示t時(shí)刻的分紅紅利，t∈N；用k表示周期長(zhǎng)，它為固定正整數(shù)，且滿足以下條件[4]。其一，僅在t=nk時(shí)刻考慮分紅，n∈N，其余時(shí)刻不予考慮；其二，在任何時(shí)刻，分紅均不能導(dǎo)致破產(chǎn)；其三，在任一時(shí)刻，紅利數(shù)量均為整數(shù)，且小于等于給定上界c0(c0∈N+)；其四，任一時(shí)刻的紅利dt關(guān)于Ft可料，F(xiàn)t是σ代數(shù)，它包含了t時(shí)刻已發(fā)生的所有信息。

盈余模型具有馬爾科夫性，因此研究?jī)H需討論一類可行策略，它是關(guān)于盈余x的函數(shù)[5]。這里用Φ表示該策略，在策略Φ的控制下，盈余過程可用式(4)表述。

UΦ(t)=

(4)

非歷史相依的可行策略以集合Λ表示，對(duì)于任意Φ(x)∈Λ，對(duì)應(yīng)的值函數(shù)以式(5)定義。

(5)

在式(5)中，UΦ(t-)表示貼現(xiàn)因子，且UΦ(t-)=UΦ(t-1)-c+Xtξt,r∈(0,1)；Eu表示初始盈余u下的條件期望；τ=inf{t>0;UΦ(t)<0}表示盈余第一次為負(fù)的時(shí)刻，即破產(chǎn)時(shí)刻。研究的優(yōu)化目標(biāo)是找到滿足式(6)的最優(yōu)值函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)策略Φ*。

(6)

在最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)下，V*(u)=VΦ*(u)。為避免混淆，這里用V(u)表示策略Φ的值函數(shù)，即VΦ(u)=V(u)。

2 周期性分紅的最優(yōu)值函數(shù)及最優(yōu)策略

對(duì)于任意Φ(x)∈Λ，運(yùn)用全概率公式建立相應(yīng)的值函數(shù)方程，見式(7)[6]。

V(u)=Φ(u)+qr[V(1)(u-c-Φ(u))]+

?u∈N

(7)

滿足式(8)和(9)所示的遞推關(guān)系。

V(t)(u)=qr[V(t+1)(u-c)]+

t=1,2,...k-2

(8)

V(k-1)(u)=qr[V(u-c)]+

(9)

當(dāng)u∈Z-時(shí)，規(guī)定V(u)=0和V(t)(u)=0,t=1,2,...,k-1。由此可知，V(t)(u)可以看作時(shí)刻t開始的新的盈余過程對(duì)應(yīng)的值函數(shù)。若Φ為最優(yōu)分紅策略，則式(7)可寫作式(10)所示的HJB方程。

{d+qrV(1)(u-c-d)+

(10)

通過貝爾曼遞歸算法計(jì)算方程(10)，可以得到最優(yōu)值函數(shù)V(u)和最優(yōu)策略[7]。對(duì)于任意Φ(x)∈Λ，以式(11)定義新函數(shù)W(u)。

W(u)=qrV(1)(u-c)+

(11)

當(dāng)u∈Z-時(shí)，W(u)=0。由此可得式(12)和(13)的關(guān)系式。

V(u)=Φ(u)+W(u-Φ(u))

(12)

V(k-1)(u)=

qr[W(u-c-Φ(u-c))+Φ(u-c)]+

Φ(u-c+x)]f(x),u∈N

(13)

在策略集Λ中，若存在一策略，其對(duì)應(yīng)的W(u)對(duì)?u∈N均為最大值，則稱函數(shù)W(u)在策略集Λ上最優(yōu)。

定理1：假設(shè)Φ(x)∈Λ，其值函數(shù)為V(u)，且W(u)滿足式(11)。若W(u)在策略集Λ上最優(yōu)，則有

?u∈N，有式(14)成立。

(14)

Φ為最優(yōu)分紅策略。

證明：(1)根據(jù)式(8)、(11)、(13)，由W(u)的最優(yōu)性和有界紅利率條件可得式(15)。

V(k-1)(u)=

(15)

比較式(15)和式(13)，有：

W(u-Φ(u))+Φ(u)=

(16)

由此易得：

Φ(u)=

(17)

式(14)與式(17)等價(jià)，證畢。

(2)根據(jù)式(12)，當(dāng)Φ(u)滿足式(17)時(shí)，其對(duì)應(yīng)值函數(shù)為最優(yōu)，因此Φ為最優(yōu)策略，證畢。

證明：根據(jù)式(13)有：

(18)

結(jié)合式(8)可得式(19)所述關(guān)系。

(19)

根據(jù)函數(shù)W(u)的定義式，式(20)成立。

(20)

定理3：設(shè)0

(21)

證明：

根據(jù)式(7)有

(22)

根據(jù)式(8)有

(23)

根據(jù)式(9)有

(24)

由式(22)、(23)、(24)可得以下關(guān)系式：

(25)

由式(23)、(24)有：

(26)

用S表示N中所有有界實(shí)值函數(shù)集合，定義?X,Y∈S，其距離滿足式(27)。

(27)

因此，S=(S,d)為完備度量空間[8]。

由于在任一時(shí)刻，紅利均小于等于給定上界(c0(c0∈N+))，因此對(duì)任意紅利策略Φ，其值函數(shù)滿足式(28)。

(28)

V(k-1)(u)=

qr[W(u-c-BW(u-c))+BW(u-c)]+

BW(u-c+x)]f(x)

(29)

定義集合

T=T0T1…Tk-1，Ti(i=0,1,...,k-1)

是S上的算子，且滿足TiV=Vi。則根據(jù)式(29)有式(30)所述關(guān)系。

W=TW

(30)

定理4：設(shè)0

證明：對(duì)于?X,Y∈S，有：

|X(u-c+x-BX(u-c+x))+BX(u-c+x)-(Y(u-c+x-BY(u-c+x))

-BY(u-c+x)|f(x)}

(31)

在式(31)中，?u∈Z-時(shí)，定義X(u)=Y(u)=0，BX(u)=BY(u)=0，不失一般性。設(shè)給定的u∈N，有：

X(u-BX(u))+BX(u)≥Y(u-BY(u))+BY(u)

容易得：

d(Tk-1X,Tk-1Y)≤qrd(X,Y)+

類似地，對(duì)于?X,Y∈S，有：

d(TX,TY)=d(T0T1…Tk-1X,T0T1…Tk-1Y)≤

rd(T1T2…Tk-1X,T1T2…Tk-1Y)≤…≤rkd(X,Y)

當(dāng)0

定理5：設(shè)Φ∈Λ，V(u)為值函數(shù)，對(duì)于?u∈N，若式(14)成立，則W(u)為最大。

根據(jù)定理4，由式(8)、(11)、(15)組成的方程組有唯一解，因此有定理5成立。

3 最優(yōu)紅利值算法

根據(jù)定理1可知，當(dāng)函數(shù)W(u)最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的為最優(yōu)策略；同時(shí)，對(duì)于?u∈N，該策略使得值函數(shù)V(u)最大。另外，定理4說明最優(yōu)策略必定存在。因此在有界紅利率條件下，求解最優(yōu)函數(shù)W*(u)=supΦ∈ΛW(u)，可以得到最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)策略。

研究以貝爾曼遞歸算法求解最優(yōu)函數(shù)，給定任一初始函數(shù)W0(u)，根據(jù)式(32)可計(jì)算函數(shù)序列{W1(u),W2(u),...}[10]。

Wn=TWn-1,n∈N+

(32)

(33)

在式(33)中，有式(34)、(35)所述遞推關(guān)系。

t=1,2,...,k-2

(34)

(35)

另外，同時(shí)考慮方程式(36)。

(36)

(37)

(38)

根據(jù)式(33)、(34)、(35)可得

W*(u)≥G2(u),G1(u)≥G2(u)

根據(jù)式(36)、(37)、(38)可得

故定理6得證。

定理7：任取0

(39)

因此可得式(40)。

(40)

推而廣之，當(dāng)t=0,1,2,...,k-2時(shí)，易得式(41)。

(41)

根據(jù)式(40)和式(41)可得式(42)。

(42)

根據(jù)式(42)，式(39)得證。

4 數(shù)值實(shí)例計(jì)算

研究列舉了一個(gè)應(yīng)用實(shí)例，并利用最優(yōu)紅利值算法求解最優(yōu)函數(shù)、最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)。設(shè)c0=10，p=0.7，k=3，收益額服從均值μ=25的幾何分布，概率函數(shù)如下：

(43)

當(dāng)貼現(xiàn)因子r=0.96,0.97,0.98時(shí)，可得表1所示的最優(yōu)紅利策略。設(shè)多門檻策略集合為{b1,b2,...,bm}，在分紅時(shí)刻，若盈余u∈[bi,bi+1)且bm+1=∞,i=1,2,...,m，則應(yīng)支付數(shù)量為(u-bi)＾c0的紅利；若盈余小于最低門檻b1，則股東不分紅。

表1 最優(yōu)紅利策略

由表1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可知，最優(yōu)紅利策略為多門檻策略。當(dāng)貼現(xiàn)因子r=0.96時(shí)，最優(yōu)分紅策略的門檻值為0,10,20；當(dāng)貼現(xiàn)因子r=0.97時(shí)，最優(yōu)分紅策略的門檻值為22,30；當(dāng)貼現(xiàn)因子r=0.98時(shí)，最優(yōu)分紅策略的門檻值為37,40。因此，在固定分紅決策周期下，隨著貼現(xiàn)因子r值逐漸增加，最小門檻值b1也在增加。

令分紅周期間隔為k=1,2,3,4，當(dāng)貼現(xiàn)因子r=0.98時(shí)，最優(yōu)分紅策略和最優(yōu)策略對(duì)應(yīng)的值函數(shù)圖像分別見表2和圖1。從表2的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，在固定貼現(xiàn)因子下，隨著分紅決策周期k逐漸增加，最優(yōu)決策的最小門檻值b1逐漸減小。

表2 當(dāng)r=0.98且k=1,2,3,4時(shí)的最優(yōu)分紅策略

與此同時(shí)，觀察圖1所示的值函數(shù)圖像。從圖1可以看出，隨著分紅決策周期k逐漸增加，值函數(shù)V*(u)逐漸減小。由此推測(cè)，當(dāng)時(shí)間區(qū)間將趨近于0，此時(shí)將得到一個(gè)連續(xù)時(shí)間模型，且最優(yōu)紅利策略也可能成為連續(xù)支付紅利策略。

圖1 當(dāng)r=0.98且k=1,2,3,4時(shí)的值函數(shù)V*(u)圖像

5 結(jié) 論

研究在有界紅利率條件下，討論了復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型的周期性分紅問題，運(yùn)用貝爾曼遞歸算法和壓縮映射原理證明了最優(yōu)分紅策略存在且擁有唯一解，并通過逼近最優(yōu)值函數(shù)的上下界，得到了其求解算法。數(shù)值實(shí)例的結(jié)果表明，在固定分紅決策周期下，最小門檻值b1與貼現(xiàn)因子r值呈正相關(guān)；在固定貼現(xiàn)因子下，隨著分紅決策周期k逐漸增加，對(duì)應(yīng)的值函數(shù)V*(u)和最小門檻值b1逐漸減小。除此之外，當(dāng)時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)趨于0時(shí)，復(fù)合二項(xiàng)對(duì)偶模型將成為連續(xù)時(shí)間模型，進(jìn)而最優(yōu)紅利策略可能成為連續(xù)支付紅利策略。雖然研究得到了較好的結(jié)論，但在今后的工作中，還需要進(jìn)一步繼續(xù)嘗試，討論無界紅利條件、單位時(shí)間支付費(fèi)用隨機(jī)、分紅貼現(xiàn)利率隨機(jī)變化等情況下的對(duì)偶模型周期性分紅問題。