基于三維Copula函數的蝕坑預測模型

喻宣瑞，姚國文，蔣一星，李喬依

（重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074）

在氯鹽環(huán)境下，由于氯離子對拉索中鋼絞線的侵蝕，使得鋼絞線發(fā)生腐蝕，是索承式橋梁破壞的重要原因.考慮荷載和環(huán)境對鋼絞線的耦合作用，研究鋼絞線的腐蝕機制，對于延緩鋼絞線的腐蝕、提高索承式橋梁在惡劣環(huán)境下服役的耐久性，具有重要的理論意義和實際工程價值［1］.

從宏觀層面上看，鋼絞線是由高強鋼絲經過淬火、鉸鏈等工藝制作而成，是纜索結構的重要組成部分.鋼絞線的出現(xiàn)推動了大跨徑橋梁的發(fā)展，同時也暴露出了相應的缺陷.其中一個最為致命的問題就是氯鹽對鋼絞線的腐蝕效應，即氯鹽在潮濕環(huán)境下易與鋼絞線發(fā)生電化學反應［1?2］.

Rebak等［3］、朱勁松等［4］、Faber等［5］將鋼絞線的腐蝕情況主要分為2種：吸氫腐蝕和吸氧腐蝕.在酸性環(huán)境下，易發(fā)生吸氫腐蝕；在堿性或者中性環(huán)境下，更容易發(fā)生吸氧腐蝕.Sun等［6］、Frankel等［7］、Vermaas等［8］發(fā)現(xiàn)，蝕坑是影響鋼絞線腐蝕疲勞壽命的重要因素.在高應力作用下，蝕坑處會形成較為明顯的應力集中，使鋼絞線的疲勞壽命急劇下降，且下降幅度與蝕坑尺寸相關.如何精確預測蝕坑的分布規(guī)律，量化鋼絞線的腐蝕壽命就顯得尤為重要.為此，Tian等［9］、謝民滇等［10］從概率角度出發(fā)，假設蝕坑長度、寬度和深度之間互不影響，發(fā)現(xiàn)蝕坑深度服從Gumbel極值分布，并利用線性回歸的方法得到了蝕坑深度與應力集中系數的關系.Valor等［11］通過機械學習法建立了馬爾可夫鏈模型，考慮腐蝕時間和應力幅對蝕坑發(fā)展的影響，發(fā)現(xiàn)腐蝕時間和應力幅對蝕坑的腐蝕速率影響顯著，但對蝕坑的分布規(guī)律影響較小，即可以認為不同時段下的蝕坑分布形式基本相同.

由上述研究可知，無論是物理模型試驗還是具體工程案例，都表明蝕坑對鋼絞線的腐蝕疲勞壽命影響顯著.然而，絕大多數研究僅僅關注蝕坑深度這一單一方向，或分別考慮長度、寬度和深度對鋼絞線力學性能的影響，忽視了三者之間的相互關聯(lián).蝕坑的發(fā)展是一個三維演變過程，即蝕坑深度變化的同時，其長度、寬度也會衍生，三者共同變化，應視為一個有機的整體.僅從某一方面研究其分布規(guī)律，不能客觀反映蝕坑的發(fā)展規(guī)律.鑒于此，本文通過鹽霧腐蝕試驗來模擬鋼絞線的腐蝕情況，得到蝕坑長度、寬度和深度三者的獨立分布形式.并基于三維Copula函數得到其聯(lián)合概率分布函數，建立三維蝕坑預測模型，同時應用Kolmogorov?Smirnov檢驗（K?S檢驗）等方法來驗證該模型的合理性，以期為精確預測鋼絞線的疲勞壽命奠定基礎.

1 試驗

通過YC?200型鹽霧腐蝕試驗箱來模擬鋼絞線的腐蝕過程，考慮荷載和環(huán)境二者的耦合作用，鹽霧噴射速率為250 mL/（m2·h）.鋼絞線由碳素鋼混合其他金屬材料制作而成，除Fe元素外，主要化學元素含量（質量分數，文中涉及的含量等除特別說明外均為質量分數或質量比）為：0.83%~0.86% C，0.62%~0.84% Mn，0.12%~0.20% Si.鋼絞線由7根高強鋼絲組成，直徑為15.2 mm，抗拉強度為1 860 MPa，二級松弛率，單根鋼絞線鍍鋅層質量不低于110 g/m2.鋼絞線兩端借助千斤頂和反力墻施加交變荷載，應力幅（Δσ）分別為100、200、300 MPa，荷載最大值為744 MPa［12］，即0.4fptk（fptk為鋼絞線極限強度標準值）.拉伸試驗采用WAW?1000型萬能試驗機，每2 h實現(xiàn)鋼絞線應力上下限轉換，4 h為1個加載周期.

拉伸試驗完成后采用KYKY?2008B型工業(yè)電子顯微鏡（SEM）觀測鋼絞線的腐蝕形態(tài)，得到3種應力幅下的蝕坑尺寸，以便定量分析蝕坑的分布規(guī)律.

綜合考慮溫度、濕度等因素的影響，參考文獻［13］和ASTIM G85—94《Standard practice for modified salt spray（fog）testing》，鹽霧溶液由NaCl、冰醋酸、CuCl2·2H2O及蒸餾水組成，其中CuCl2·2H2O濃度為（0.26±0.02）g/L，最終濃度控制在（50±5）g/L；加入冰醋酸是為了保證鹽霧溶液的pH值在3.1~3.3之間；溫度設定為25℃.鹽霧腐蝕試驗完成后，在80℃下用鉻酸溶液清洗鋼絞線.為防止殘留氯離子對鋼絞線的腐蝕，可采用AgNO3溶液進行中和，再用自來水沖洗，冷風吹干靜置.

2 結果與分析

腐蝕時間和應力幅是影響鋼絞線力學性能的重要因素.為探究腐蝕時間對鋼絞線力學性能的影響，以應力幅Δσ=200 MPa為例，分別在鹽霧腐蝕試驗進行120、360、600、720 h時，測量鋼絞線的抗拉強度（fT）和延伸率（A）.將鋼絞線進行切割，每段長約1 m.考慮到擴張力會對夾持在鋼絞線上的引伸計造成損壞，本試驗不采用夾持引伸計進行測量，而是用油缸位移代替引伸計伸長量.在預加載階段，采用2 mm/min的速率，達到目標荷載2 kN后，采用1 kN/s的加載速率進行定向拉伸，直至破斷.6根鋼絞線部分時段的靜態(tài)拉伸曲線如圖1所示.由圖1可見，隨著鋼絞線在鹽霧環(huán)境中暴露時間的延長，其抗拉強度出現(xiàn)了明顯下降.

圖1 鋼絞線的應力-應變曲線Fig.1 Stress?strain curves of steel strands

鋼絞線的腐蝕特征參數如表1所示.由表1可見：（1）當鹽霧腐蝕試驗進行到70 h時，鋼絲由于鍍鋅層的保護，幾乎未被腐蝕.鋼絞線兩端施加荷載約28 kN時，鋼絞線的抗拉強度為1 850~1 890 MPa，延伸率（包括鋼絞線的彈性變形）大于5.5%.（2）當鹽霧腐蝕試驗進行到120 h時，鋼絲鍍鋅層腐蝕，出現(xiàn)大量白銹，同時有極少量紅銹出現(xiàn)，腐蝕失重為10~150 g/m2，鋼絞線的基體開始出現(xiàn)腐蝕.當荷載加載至27 kN時，其抗拉強度為1 710~1 860 MPa，延伸率為5.0%~5.5%.（3）當鹽霧腐蝕試驗進行到360 h時，鋼絲出現(xiàn)大量紅銹，去除腐蝕產物后可見少量蝕坑，腐蝕失重為150~300 g/m2.鋼絞線兩端施加荷載為25 kN時，其抗拉強度和延伸率開始出現(xiàn)明顯下降.（4）當鹽霧腐蝕試驗進行到600 h時，鋼絲出現(xiàn)較多銹蝕或損壞，部分截面出現(xiàn)削弱，去除腐蝕產物后可見密集蝕坑，腐蝕失重為300~400 g/m2.鋼絞線兩端施加荷載為21 kN時，其抗拉強度為1 350~1 550 MPa，延 伸 率 為3.2%~4.2%.（5）當鹽霧腐蝕試驗進行到720 h時，鋼絲出現(xiàn)大量嚴重銹蝕，鋼絞線兩端施加荷載為19 kN時，肉眼可見銹蝕空洞，小蝕坑之間相互貫穿形成較大蝕坑.去除腐蝕產物后可見大面積蝕坑，截面嚴重削弱，刮取少量腐蝕產物溶解于鹽酸溶液中，再滴入KSCN溶液，發(fā)現(xiàn)溶液呈現(xiàn)血紅色（Fe（SCN）3），說明該腐蝕產物含有大量Fe3+.

表1 鋼絞線腐蝕特征參數Table 1 Corrosion parameters of steel strand

為直觀反映應力幅對鋼絞線腐蝕程度的影響，在鹽霧腐蝕試驗進行到720 h時將試件取出，通過SEM來觀察鋼絞線的腐蝕形態(tài)，結果如圖2所示.由圖2可見：應力幅為100 MPa時，鋼絞線表面較為平整，蝕坑深度較小，密度較大，個別蝕坑直徑約為40μm，部分鍍鋅層仍在；應力幅為200 MPa時，鋼絞線表面出現(xiàn)大量蝕坑，且蝕坑深度明顯比應力幅為100 MPa時大，個別蝕坑直徑約為55μm，部分蝕坑已聯(lián)合貫通，形成裂紋；應力幅為300 MPa時，鋼絞線表面出現(xiàn)大面積腐蝕，鍍鋅層已經被完全破壞，大量小蝕坑已聯(lián)合貫通形成較大蝕坑，個別蝕坑的直徑約為75μm，蝕坑位置處產生明顯裂紋，部分裂紋已經開始衍生，鋼絞線壽命將受到嚴重影響.

圖2 鋼絞線的腐蝕形態(tài)Fig.2 Corrosion patterns of steel strand

3 蝕坑的分布規(guī)律

通過Valor等［11］的研究發(fā)現(xiàn)，應力幅和腐蝕時間對蝕坑的分布形式不會產生顯著的影響，即在不同應力幅和不同時段下，蝕坑分布規(guī)律具有統(tǒng)一性.為便于測量蝕坑的尺寸，待鹽霧腐蝕試驗結束后（即鹽霧腐蝕試驗進行720 h），對所有試件表面的蝕坑尺寸進行統(tǒng)計.蝕坑的寬度、長度可采用SEM進行標記，如圖3所示.蝕坑深度可采用Bruker臺階儀進行測量，具體可參照文獻［14］.分別采用不同的分布形式對蝕坑的長度、寬度、深度進行分析，并利用K?S檢驗，得到各種分布的誤差值（D），殘差值（RMSE）和赤城信號值（CAI），將各分布模型檢驗結果匯于表2.

圖3 蝕坑的散點分布Fig.3 Distribution of scattered points of erosion pit

由表2可見，蝕坑長度和深度的分布形式更符合Gumbel極值分布，寬度的分布形式更符合對數正態(tài)分布.圖4為概率模型的參數分布.

圖4 概率模型的參數分布Fig.4 Parameter distribution of probability model

表2 檢驗參數表Table 2 Inspection parameters

Copula函數是不限定變量的邊際分布函數，通過Copula函數可以將任意K個獨立分布的邊際函數聯(lián)系起來，得到一個多變量聯(lián)合概率分布模型，能夠更為客觀地反映蝕坑分布規(guī)律.

4 三維Copula函數理論

迄今為止，Copula函數種類繁多，其主要類型大致分為3種：橢圓型、阿基米德族和二次型.其中，阿基米德族Copula函數結構簡單，計算簡便，可以構造出形式多樣、適應性強的多變量聯(lián)合分布函數，在實際中應用較多.阿基米德族Copula函數族是通過算子?（又稱生成函數，一個完全單調的函數）構造而成［15］，n維阿基米德族Copula函數定義如下：

本文以三維隨機變量為例，當n=3時，其表達式為：

式中：C(u1，u2，u3)為多維Copula函數，表示隨機變量X1，X2，X3…Xn之 間 的 關 系ui=F(Xi)；i=(1，2，3，…，n)，表示單個隨機變量概率分布函數；?是一個連續(xù)、嚴格的遞減凸函數，滿足?(0)=+∞，?(1)=0；?-1(1)為?的逆函數，仍為一個單調遞減，且 連 續(xù) 的 反 函 數，滿 足?-1(∞)=0，?-1(0)=1.Copula函數的具體證明過程可參考文獻［16］.

4.1 Copula函數

從式（1）、（3）中不難看出，通過求解算子式，進而可知Copula函數相應表達形式，不同算子式對應不同Copula函數.下面介紹幾種常見的Copula函數：

稱為Frank Copula：

（2）算子式?θ(t)=(-lnt)θ的Copula函數稱為 Gumbel?Hougard Copula：

（3）算子式?θ(t)=t-θ-1的Copula函數稱為 Clayton Copula：

4.2 參數估計

采用參數估計法中的IFM法（極大似然法）對θ值進行求解［15］，該過程由以下2步完成：

（1）采用IFM法估計邊際分布中的參數a1、a2、a3.

（2）采用IFM方法估計Copula中的參數θ.

4.3 Copula函數運用流程

（1）確定各參數適合的分布形式，通過K?S檢驗、均方根誤差等方式找到各參數的獨立分布形式.

（2）判斷各參數之間的相關性，通過IFM方法確定適宜的Copula函數，明確Copula函數具體形式.

（3）通過擬合優(yōu)度檢驗，從眾多Copula函數模型中確定出最為合理的Copula函數.

5 檢驗分析

各種Copula函數模型的線性相關性檢驗結果如表3所示.其中R為Pearson古典相關系數，S為Spearman相關系數，τ為Kendall’s秩相關系數.由表3可見，長度與寬度的相關性較高，而長度與深度、寬度與深度的相關性較低.根據阿基米德族Copula函數的結構特征，Clayton、Franck和Gumbel函數對線性相關檢驗結果更為適合.對這3種函數做優(yōu)度檢驗，得到其RMSE、CAI、D和θ值，如表4所示.由表4可見，Clayton Copula函數的RMSE、D和CAI值最小，對樣本的擬合效果最佳.

表3 線性相關系數Table 3 Linear correlation coefficient

表4 優(yōu)度檢驗參數Table 4 Goodness test parameters

將Clayton Copula函數計算結果與經驗公式（式（10））計算結果作對比，結果如圖5所示，圖中的散點值為Clayton Copula函數計算結果.由圖5可見，各散點值都均勻分布在y=x這條斜線的兩側，在一定程度上說明了Clayton Copula函數計算結果的精確性.

圖5 Clayton Copula函數計算值與經驗公式計算值對比Fig.5 Comparison between the calculated value of Clayton Copula function and the calculated value of empirical formula

式中：X為蝕坑長度，mm；Y為蝕坑寬度，mm；Z為蝕坑深度，mm.

為直觀反映蝕坑的三維預測結果，用xi，yi，zi這3個變量來描述蝕坑的長度、寬度、深度，得到當[P(xi,yi,zi)=P(X≤xi)=75%P(xi,yi,zi)=P(Y≤yi)=75%]時的各聯(lián)合概率分布，如圖6所示.從圖6中可以較為直觀地看出蝕坑長度、寬度和深度的分布規(guī)律，能夠較為精確地預測不同蝕坑尺寸發(fā)生的概率，為預測鋼絞線的腐蝕疲勞壽命提供參考.

圖6 條件聯(lián)合概率分布值Fig.6 Conditional joint probability distribution

6 結論

（1）蝕坑長度和深度的分布形式符合Gumbel極值分布，寬度的分布形式符合對數正態(tài)分布.

（2）Clayton Copula函數對實測數據的擬合效果最佳，其精度較經驗公式更高.

（3）蝕坑三維預測模型的建立，可以更為客觀地反映蝕坑長度、寬度和深度的變化規(guī)律，大致預測不同蝕坑尺寸發(fā)生的概率，為進一步探究鋼絞線的腐蝕疲勞壽命提供參考.