Markov跳變系統(tǒng)的未知輸入觀測(cè)器設(shè)計(jì)

李碩 田中大

摘要：本文對(duì)離散時(shí)間非線性Markov跳變系統(tǒng)研究了未知輸入觀測(cè)器（UIO）設(shè)計(jì)問題。所提出的未知輸入觀測(cè)器具有較為新穎的結(jié)構(gòu)。在文中給出了基于Lyapunov函數(shù)的未知輸入觀測(cè)器設(shè)計(jì)的可行性條件，并將其轉(zhuǎn)化為一組線性矩陣不等式（LMI）條件，便于利用軟件的相關(guān)工具箱進(jìn)行參數(shù)求解。最后通過對(duì)車輛橫向動(dòng)力學(xué)模型的數(shù)值仿真，驗(yàn)證了該方法的有效性與實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：Markov 跳變系統(tǒng);離散時(shí)間;非線性;未知輸入觀測(cè)器;線性矩陣不等式

中圖分類號(hào)：TP273? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2021）25-0139-05

Abstract：The unknown input observer （UIO） design problem for discrete time nonlinear Markov jump systems is studied in this paper. The proposed unknown input observer has a relatively novel structure. In this paper， the feasibility conditions for the design of unknown input observer based on Lyapunov function are given， and the conditions are transformed into a set of linear matrix inequality （LMI） conditions， which can be easily solved by using the related toolbox of the software. Finally， the effectiveness and practicability of the proposed method are verified by numerical simulation of vehicle lateral dynamics model.

Key words： arkov jump system;discrete time;nonlinear;unknown input observer;linear matrix inequality

1 引言

對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的理論研究中，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行精確的建模直接地影響到研究結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際中的有效性。由于Markov跳變系統(tǒng)具有較強(qiáng)的模型構(gòu)建能力和廣泛的應(yīng)用潛力，過去的幾十年間，廣大的研究學(xué)者投入大量的時(shí)間和精力來研究Markov跳變系統(tǒng)并取得了豐碩的研究成果[1-2]。文獻(xiàn)[3]對(duì)部分轉(zhuǎn)移概率不可獲取的一類Markov跳變系統(tǒng)設(shè)計(jì)了觀測(cè)器，并基于觀測(cè)器提出了該系統(tǒng)的滑模控制方法。近些年來，由于連續(xù)時(shí)間Markov跳變系統(tǒng)相關(guān)的研究成果應(yīng)用在離散時(shí)間Markov跳變系統(tǒng)中難以獲得較好的控制效果，這就激起了廣大學(xué)者對(duì)離散時(shí)間Markov跳變系統(tǒng)研究的熱情。文獻(xiàn)[4]研究了在不可用狀態(tài)和部分未知的轉(zhuǎn)移概率下，離散時(shí)間馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的事件觸發(fā)滑?？刂茊栴}。具有馬爾可夫跳變規(guī)律和乘性噪聲的離散系統(tǒng)在成本函數(shù)中具有不確定狀態(tài)和控制權(quán)矩陣的最優(yōu)控制問題在文獻(xiàn)[5]中被研究。但是據(jù)我們所知，目前對(duì)于時(shí)間離散的Markov跳變系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題還沒有被充分研究，正是因此激發(fā)了我們當(dāng)前的研究。

在本文中我們針對(duì)離散時(shí)間非線性Markov跳變系統(tǒng)提出了一類形式較新的未知輸入觀測(cè)器。本文有如下幾項(xiàng)主要貢獻(xiàn)，1）考慮了一類離散時(shí)間非線性Markov跳變系統(tǒng)并通過T-S模糊模型方法轉(zhuǎn)化為一類T-S模糊系統(tǒng)，轉(zhuǎn)化后的系統(tǒng)可以看成是局部線性且全局非線性的形式，擴(kuò)展了文獻(xiàn)[6]結(jié)果的適用范圍。2）針對(duì)局部線性系統(tǒng)對(duì)其設(shè)計(jì)一類不同于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的較為新穎未知輸入觀測(cè)器，并對(duì)估計(jì)誤差系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，以及引入了松弛變量來降低所得結(jié)論的保守性。

文章剩余內(nèi)容安排如下，第二章給出了具有模糊輸出方程的非線性Markov模型以及其T-S模糊模型描述;第三章對(duì)變形后的非線性Markov跳變系統(tǒng)即T-S模糊系統(tǒng)設(shè)計(jì)了未知輸入觀測(cè)器，以及得到了估計(jì)誤差系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，并完成了相關(guān)定理的推導(dǎo)證明;第四章給出了數(shù)值算例及仿真，證實(shí)了定理的有效性;第五章對(duì)全文做出了總結(jié)。

概念：[Rn]和[Rn×m]分別表示[n]維歐幾里得空間和[n×m]實(shí)矩陣集。[0]和[I]分別表示具有適當(dāng)維度的零矩陣和單位矩陣。[||·||]表示[L2]范數(shù)。對(duì)于矩陣[A]，[AT]表示矩陣[A]的轉(zhuǎn)置矩陣。對(duì)于一個(gè)對(duì)稱矩陣[P]，[P>0（≥0）]和[P<0（≤0）]表示[P]是正（半）定和負(fù)（半）定矩陣。星號(hào)[*]代表對(duì)稱性產(chǎn)生的項(xiàng)。

2 問題描述

T-S模糊模型是用一組模糊規(guī)則，將非線性系統(tǒng)模型由一組局部線性系統(tǒng)模型來表示，這些局部線性模型通過模糊隸屬度函數(shù)平滑連接。模糊線性系統(tǒng)由IF-THEN規(guī)則描述。在全概率空間（Ω，F(xiàn)，P）中，我們考慮一類時(shí)間離散的非線性Markov跳變系統(tǒng)，該系統(tǒng)的全局模型可以用具有r條規(guī)則的T-S模糊模型表示，r表示If-Then規(guī)則的數(shù)量。T-S模糊模型的第i條規(guī)則如下：

為了合成未知輸入觀測(cè)器（6），我們提出如下定理。

注意到式（10）中的條件不能直接用于未知輸入觀測(cè)器設(shè)計(jì)。因此，我們提出以下的定理來將定理1中的條件轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI約束。

4 仿真分析

為驗(yàn)證以上所述方法的實(shí)用性，在本章給出實(shí)際例子對(duì)前文加以驗(yàn)證?？紤]文獻(xiàn)[7]所提出的車輛橫向動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其系統(tǒng)描述如下：

按著整車質(zhì)量的不同，考慮到車載質(zhì)量的變化，同時(shí)兼顧算例的簡(jiǎn)潔性，將模態(tài)[θk]劃分為兩種，即模態(tài)空間[S={1，2}]，模態(tài)1為[m1=991kg];模態(tài)2為[m2=1060kg]。兩規(guī)則（Rule）兩模態(tài)（Mode）的各參數(shù)矩陣分述如下（為了便于表示，用R1-M1表示規(guī)則1-模態(tài)1，其他情形以此類推）：