次分數(shù)跳擴散過程下亞式期權(quán)的保險精算定價

胡 攀

(四川文理學院 數(shù)學學院,四川 達州 635000)

亞式期權(quán)作為一種強路徑依賴性新型期權(quán),其價格取決于期權(quán)到期前一段時間內(nèi)或整個有效期內(nèi)的平均值[1]. 相比于普通期權(quán),亞式期權(quán)的波動較小, 能較好地規(guī)避投資風險,深受投資者喜愛.亞式期權(quán),按照合同中買賣標的資產(chǎn)來劃分可分為看漲和看跌兩種; 按照其平均值的不同計算方式可分為算術(shù)平均和幾何平均兩種; 按照其執(zhí)行價格又可分為固定執(zhí)行價格和浮動執(zhí)行價格兩類.

基于經(jīng)典BS模型的亞式期權(quán)定價[2—3], 假設標的資產(chǎn)價格是一個連續(xù)擴散過程,且利率和波動率均為常數(shù), 由此得到的定價結(jié)果與真實值之間存在較大偏差.對此許多學者做了大量的改進研究, 主要體現(xiàn)在以下3個方面：①對利率和波動率的改進模型[4—5];②在連續(xù)擴散模型基礎上考慮存在 “跳躍”的情況[6]; ③對連續(xù)擴散項的改進, 主要考慮股票價格遵循分數(shù)布朗運動、雙分數(shù)布朗運動以及混合分數(shù)布朗運動的亞式期權(quán)定價問題[7—8]. 2004年Bojdecki[9]等建立了比分數(shù)布朗運動更一般的中心高斯過程——次分數(shù)布朗運動. 2007年Tudor[10]研究發(fā)現(xiàn)次分數(shù)布朗運動的退化速度優(yōu)于分數(shù)布朗運動, 能更好地刻畫標的資產(chǎn)的長記憶性. 基于次分數(shù)布朗運動模型下的期權(quán)定價問題參見文獻[11—12]. 2019年胡攀[13]在次分數(shù)Ho-Lee隨機利率模型假設下,利用△對沖原理，建立了次分數(shù)跳-擴散過程下帶有紅利支付和交易成本的幾何平均亞式期權(quán)的偏微分方程模型，并利用有限差分法和復合梯形法給出了定價模型的數(shù)值解.最后,通過數(shù)值模擬驗證了解法的有效性.

1998年, Bladt和Rydberg[14]提出了將期權(quán)定價轉(zhuǎn)化為公平保費確定問題的保險精算法. 由于該方法不僅對完備、均衡和無套利的市場有效, 而且對不完備、非均衡和有套利的市場也有效. 因此, 自從該方法被提出以后, 已然成為一種高效的期權(quán)定價方法. 基于保險精算法的期權(quán)定價問題參見文獻[15—16].

本文考慮具有浮動執(zhí)行價格和固定執(zhí)行價格的幾何平均亞式期權(quán)的定價問題, 在次分數(shù)跳擴散機制下, 利用保險精算法給出看漲、看跌期權(quán)的定價公式及二者之間的平價關(guān)系.最后，以次分數(shù)跳擴散過程下具有固定執(zhí)行價格的幾何平均亞式期權(quán)為例,通過數(shù)值模擬討論模型參數(shù)對期權(quán)價值的影響.

1 預備知識

cov[WH(t),WH(s)]=

(1)

假設金融市場無摩擦, 其中有兩種資產(chǎn): 一種是無風險債券, 其價格過程Pt滿足

dPt=rPtdt；

(2)

另一種是風險資產(chǎn)(如股票), 其價格過程{St，t≥0}遵循如下次分數(shù)跳-擴散過程：

dSt=

St[(μ-q-λθ)dt+σ0dWH(t)+JtdNt],

(3)

定義1[13]標的資產(chǎn)價格{Su，u≥0}在[0,t]時間段內(nèi)的期望收益率βu定義為

即風險資產(chǎn)在[0,t]的期望收益率定義為風險資產(chǎn)期末價格的期望與初始價格之比.

C(Gt,St,t)=

(4)

P(Gt,St,t)=

(5)

定義3固定執(zhí)行價格為K的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在任意時刻t∈[0,T]的保險精算價格定義為

C(Gt,St,t)=

(6)

P(Gt,St,t)=

(7)

定義2與定義3中期權(quán)的保險精算價格定義為風險資產(chǎn)價格按期望收益率折現(xiàn)，無風險資產(chǎn)價格按無風險利率折現(xiàn)的期望收益.

引理1標的資產(chǎn)價格{St，t≥0}滿足(3)式, 其解為

(8)

證明假設標的資產(chǎn)價格{St，t≥0}在隨機時間t1,t2,…,tn,…處發(fā)生跳躍,對應的跳躍高度分別為J1,J2,…,Jn,…, 在相鄰的兩次跳ti，ti+1之間,St遵循次分數(shù)BS模型.跳躍時間tn服從參數(shù)為λ的Poisson過程. 在[ti,ti+1)上有

dSt=St[(μ-q-λθ)dt+σ0dWH(t)].

對?t∈[t1,t2)有

從而

重復上述迭代過程, 并考慮在[0,t]內(nèi)股票價格沒有發(fā)生跳躍的情況即可得引理結(jié)論.

證明由于Jt與WH(t)相互獨立, 根據(jù)(8)式可得

又

(9)

(10)

從而

由定義1即得結(jié)論.

引理3[17]設隨機變量Y1,Y2∈N(0,1) , 且cov(Y1,Y2)=ρ，則

(11)

其中N(·)為標準正態(tài)分布函數(shù).

2 幾何平均亞式期權(quán)的保險精算定價

定理1次分數(shù)跳擴散過程下, 到期時間為T,具有浮動執(zhí)行價格的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在時刻t∈[0,T]的價格為

C(Gt,St,t)=

(12)

P(Gt,St,t)=

(13)

其中

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

ξt=-λ(θ+1)(T-t)-

(20)

(21)

證明記Nt,T=NT-Nt，根據(jù)(8)式可得

由定義2得

C(Gt,St,t)=

(22)

記

顯然,在給定Nt,T=Nt,u=n的條件下，

由A=exp{-β(T-t)}ST≥exp{-r(T-t)}GT,兩邊取對數(shù)得X1-X2≥k，其中

ρ=

利用引理3的結(jié)果可得

記

ξt=-λ(θ+1)(T-t)-

即得(12)式的第一部分.同理可得

I2=

其中d2，ζt見(19)、(21)兩式.將I1,I2的結(jié)果代入(22)式可得看漲期權(quán)的定價公式.

看跌期權(quán)的定價公式可類似證明.

定理2次分數(shù)跳擴散過程下, 到期時間為T,具有浮動執(zhí)行價格的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在時刻t∈[0,T]的平價關(guān)系為

C(Gt,St,t)-P(Gt,St,t)=

(23)

證明利用累積標準正態(tài)分布的對稱性N(-x)=1-N(x), 對公式(13)進行化簡即得定理結(jié)論.

類似定理1和定理2的證明,可證固定執(zhí)行價格幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的定價公式和平價關(guān)系.

定理3次分數(shù)跳擴散過程下, 到期時間為T,執(zhí)行價格為K的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在時刻t∈[0,T]的價格為

C(t,Gt,K)=

(24)

P(t,Gt,K)=exp{-(r+λ)(T-t)}×

N(-d3)，

(25)

定理4次分數(shù)跳擴散過程下, 到期時間為T,執(zhí)行價格為K的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)在時刻t∈[0,T]的平價關(guān)系為

C(t,Gt,K)-P(t,Gt,K)=

exp{-(r+λ)(T-t)}K.

(26)

3 數(shù)值模擬

本節(jié)以次分數(shù)跳擴散模型下具有固定執(zhí)行價格的幾何平均亞式期權(quán)為例，通過數(shù)值模擬討論Hurst指數(shù)H,跳躍強度λ和到期時間T對期權(quán)價格的影響.

3.1 數(shù)值模擬的基本步驟

第一步：由(24)～(25)式可知，固定執(zhí)行價格幾何平均亞式期權(quán)的定價模型均為數(shù)項級數(shù)的代數(shù)和，利用優(yōu)級數(shù)判別法和比值判別法，容易驗證兩個模型均收斂；

第二步：置n=0，并設定模型中除Hurst指數(shù)H,跳躍強度λ和到期時間T外的其他參數(shù)；

第三步：對Hurst指數(shù)H,跳躍強度λ和到期時間T分別取不同值，代入(24)～(25)式，計算與級數(shù)前n項和前n+1項對應的期權(quán)價格；

第四步：以10-5為絕對誤差限，若第三步中計算出的期權(quán)價格的絕對誤差小于10-5，則停止迭代，輸出期權(quán)價格、收斂項數(shù)和絕對收斂誤差，否則，令n=n+1，返回第三步.

3.2 數(shù)值模擬結(jié)果

設置模型中的相應參數(shù)如下：t=0,S0=10,σ0=0.4,r=0.05,q=0.01,μ=0.06,θ=0.3,σJ=0.2,K=10.Hurst指數(shù)H，跳躍強度λ和到期時間T的取值及期權(quán)價格的計算結(jié)果見表1.

表1給出了次分數(shù)條件下，具有固定執(zhí)行價格的幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的價格計算結(jié)果，及絕對誤差限為10-5時，期權(quán)價格收斂的項數(shù)和收斂誤差.計算結(jié)果表明：

表1 次分數(shù)跳擴散過程下亞式看漲、看跌期權(quán)的數(shù)值模擬結(jié)果

(ⅰ)在參數(shù)給定的條件下，次分數(shù)跳擴散過程下具有固定執(zhí)行價格的幾何平均亞式看漲期權(quán)的價格要高于看跌期權(quán)的價格，價格高出的部分可由期權(quán)的平價關(guān)系式(26)給出合理解釋，即看漲期權(quán)價格高出看跌期權(quán)價格的部分為

Kexp{-(r+λ)(T-t)}.

(ⅱ)在其他參數(shù)固定的情況下,亞式看漲、看跌期權(quán)的價格隨著Hurst指數(shù)H的增加而減小,這表明幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)價格是Hurst指數(shù)H的減函數(shù).

(ⅲ)給定其余參數(shù)的條件下，標的資產(chǎn)價格的跳躍強度λ增加，看漲期權(quán)的價格增加，看跌期權(quán)的價格降低. 這是因為：一方面，當Hurst指數(shù)H=0.7∈(0.5,1)時，標的資產(chǎn)價格具有持久性和自相似性.持久性表現(xiàn)為:若前一階段股價走高，則下一階段也走高，反之亦然.當標的資產(chǎn)價格由于持久性持續(xù)升高時，看漲期權(quán)的價格升高，看跌期權(quán)的價格反而降低;另一方面，標的資產(chǎn)的跳躍強度λ增大，標的資產(chǎn)的波動就增加，由于標的資產(chǎn)的收益率μ=0.06>0，所以標的資產(chǎn)的這種波動不會影響其價格的大致走勢，盡管投資者面臨的風險在變大，但是亞式期權(quán)的價格變化主要依賴于標的資產(chǎn)價格的走勢.因此，幾何平均看漲期權(quán)的價格升高，看跌期權(quán)的價格反而降低.

(ⅳ)在其余參數(shù)固定的條件下，幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的價格隨著到期時間T的增加而增加.這是因為期權(quán)作為一種合約，是有時間價格的，隨著期權(quán)剩余時間的增加，期權(quán)價格也增加.

(ⅴ)幾何平均亞式看漲看跌期權(quán)的收斂性和收斂誤差與模型中的參數(shù)密切相關(guān).

4 小結(jié)

在市場無摩擦且Hurst指數(shù)H∈(0,1)的假設下, 在標的資產(chǎn)價格服從次分數(shù)跳擴散過程時, 利用保險精算法建立了帶有紅利支付的浮動執(zhí)行價格和固定執(zhí)行價格幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的定價公式, 并給出了看漲、看跌期權(quán)的平價關(guān)系.數(shù)值模擬的結(jié)果顯示, 在其他參數(shù)固定的情況下,幾何平均亞式看漲、看跌期權(quán)的價值與Hurst指數(shù)H呈反變關(guān)系,與到期時間T均成正變關(guān)系，看漲期權(quán)價格與跳躍強度λ成正比，看跌期權(quán)價格與跳躍強度λ成反比,期權(quán)價格的收斂項數(shù)與絕對收斂誤差和模型參數(shù)有關(guān).次分數(shù)跳擴散過程下幾何平均亞式期權(quán)的定價模型是跳擴散過程下定價模型的推廣. 定價模型中將無風險利率和標的資產(chǎn)的波動率視為常數(shù)并不符合實際金融市場的特點, 建立利率和波動率的改進模型是后續(xù)研究的主要內(nèi)容.