交超格上的素超理想定理

趙雪欣, 謝祥云

(1.五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院， 廣東 江門 529020; 2.江門職業(yè)技術(shù)學(xué)院 教育系， 廣東 江門 529030)

超結(jié)構(gòu)理論最初是由F.Marty在1934年第八屆數(shù)學(xué)家代表大會上提出的[1].從那以后,超代數(shù)系統(tǒng)理論被應(yīng)用到很多方面.例如,文獻(xiàn)[2]研究了超群,文獻(xiàn)[3]對超環(huán)進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[4]提出了超BCK-代數(shù).超結(jié)構(gòu)理論在純應(yīng)用科學(xué)的許多領(lǐng)域都有應(yīng)用,包括幾何學(xué)、圖論、模糊集、粗糙集、自動機(jī)和碼等[5].

超格理論是由Konstantinidou和J.Mittas在1977年提出的[6].隨后文獻(xiàn)[7]研究了超格和子超格理論，文獻(xiàn)[8—9]研究了分配超格與超格中的理想，文獻(xiàn)[10]研究了超格的直積.此外,文獻(xiàn)[11]討論了分配超格上的素理想定理，文獻(xiàn)[12]討論了超格上的素濾子以及理想與濾子的等價刻畫，文獻(xiàn)[13]探討了強(qiáng)交超格上的理想和超濾子,并研究了強(qiáng)交超格上的素超濾子定理.

本文介紹交超格上超理想的概念并研究超理想的相關(guān)性質(zhì),然后探討帶“*”條件的交超格并在此基礎(chǔ)上給出素超理想定理.

1 預(yù)備知識

本節(jié)給出需要用到的交超格的一些性質(zhì).

定義 1[1]設(shè)Δ是一個非空集合,P(Δ)表示非空集合Δ的冪集,P*(Δ)=P(Δ)-?.映射f:Δ×Δ→P*(Δ)稱為Δ上的超運(yùn)算.

定義 2[13]設(shè)L是一個非空集合,“∧”和“∨”分別是L上的超運(yùn)算和普通二元運(yùn)算.若對任意的a,b,c∈L,滿足

(ⅰ)a∈a∧a,a=a∨a，

(ⅱ)a∧b=b∧a,a∨b=b∨a，

(ⅲ)(a∧b)∧c=a∧(b∧c),(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，

(ⅳ)a∈[a∧(a∨b)]∩[a∨(a∧b)]，

則稱L為交超格.進(jìn)一步,若再滿足

(ⅴ)a∈a∧b?a∨b=b，

則稱交超格L為強(qiáng)交超格.

對任意的A,B∈P*(L),記A∧B=∪{a∧b|a∈A,b∈B},A∨B={a∨b|a∈A,b∈B},特別地,若B=,則A∧B記為A∧b.

由定義2知,若a,b∈L且a=a∨b,則

b∈[b∧(a∨b)]∩[b∨(a∧b)]=

(a∧b)∩[b∨(a∧b)],

因此b∈a∧b.

進(jìn)一步地,我們在L上定義二元關(guān)系“≤”:

(?a,b∈L)a≤b?b=a∨b.

容易證明,“≤”為L上的一個偏序關(guān)系.在(L,≤)中,若存在最小元,則記為0;若存在最大元,則記為1.

若存在0,1∈L,即(?x∈L)0≤x≤1，則稱交超格L為有界的.

定義 3[13]設(shè)L為交超格,

(ⅰ)若對于任意的a,b,c∈L,

a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c),

則稱交超格L為分配的.

(ⅱ)若對于任意的a,b,c∈L,

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c),

則稱交超格L為對偶分配的.

引理1設(shè)(L,∧,∨)是一個交超格,則下列命題成立:

(ⅰ)對任意的a,b∈L,存在a1,b1∈a∧b,使得a1≤a,b1≤b，

(ⅱ)若L是強(qiáng)交超格且a∧b=L,則a=b，

(ⅲ)若a∧b={1},則a=b=1，

進(jìn)一步地,若L是分配的且有最大元1,則

(ⅳ)1∧1={1}，

(ⅴ)對任意的a∈L,a是a∧a中的極小元.

證明(ⅰ)～(ⅲ)的證明見文獻(xiàn)[13].

(ⅳ)因?yàn)?是最大元,所以有

{1}=1∨(a∧b)=(1∨a)∧(1∨b)=1∧1.

(ⅴ)設(shè)a∈L,且x∈a∧a使得x≤a,則

x∨a=a,

(x∨a)∧(a∨a)=a∧a=(x∧a)∨a.

因此，存在y∈x∧a,使得x=y∨a≥a,故x=a.

2 主要結(jié)果

本節(jié)主要給出交超格上的素超理想定理.

定義4設(shè)I是交超格L上的一個非空子集,若

(ⅰ)(?x,y∈I)x∨y∈I,

(ⅱ)(?x∈I,y∈L)x∧y?I且(?a∈x∧y)a≤x,

則稱I為超理想.若對任意的a∈x∧y,a≤x,則記為x∧y≤x.若超理想I滿足

(?x,y∈L)x∧y?I?x∈I或y∈I,

則稱超理想I為素的.

性質(zhì)1設(shè)I是交超格L上的一個超理想,若x∈I,y∈L且y≤x,則y∈I.

證明由定義2知

y∈[y∧(x∨y)]∩[y∨(x∧y)]=

(x∧y)∩[y∨(x∧y)],

因此y∈x∧y?I.

定義5[13]設(shè)F是交超格L上的一個非空子集,若

(ⅰ)?x,y∈F?x∧y?F,

(ⅱ)?x∈F,y∈L,x≤y?y∈F,

則稱F為超濾子.對于超濾子F,若(?x,y∈L)x∨y∈F?x∈F或y∈F,則稱超濾子F為素的.

例1設(shè)L={0,a,1},定義L上的∧-超運(yùn)算和∨-運(yùn)算(表1～表2),則(L,∧,∨)是一個有界的交超格,{0,a}是L上的超理想.

表1 L上的∧-超運(yùn)算(例1)

表2 L上的∨-運(yùn)算(例1)

例2設(shè)L={0,a,b,1},定義L上的∧-超運(yùn)算和∨-運(yùn)算(表3～表4),則(L,∧,∨)是一個交超格.{0,a}是L上的素超理想,由a∧b={0}和a,b?{0}知{0}是超理想但不是素的;{b,1}既不是超理想也不是超濾子;{1}是L上的超濾子但不是素的.

表3 L上的∧-超運(yùn)算(例2)

表4 L上的∨-運(yùn)算(例2)

例3設(shè)L={0,a,b,c,1},定義L上的∧-超運(yùn)算和∨-運(yùn)算(表5～表6),則(L,∧,∨)是一個交超格.{0,b,c}是L上的素超理想,{0,c}是超理想但不是素的;{a,1}是L上的素超濾子,{1}是超濾子但不是素的.

表5 L上的∧-超運(yùn)算(例3)

表6 L上的∨-運(yùn)算(例3)

定理2設(shè)I和J是L的超理想,則I∪J是L的超理想當(dāng)且僅當(dāng)I?J或者J?I.

證明″?″.若I?J或J?I,則有I∪J=J或I.因此I∪J是L的一個超理想.

″?″.若I∪J是L的一個超理想,則有I?J或J?I.事實(shí)上,若I?J且J?I,則存在a∈IJ,b∈JI.由假設(shè)知a,b∈I∪J且a∨b∈I∪J,若a∨b∈I,則b≤a∨b∈I,從而b∈b∧(a∨b)?I,矛盾;若a∨b∈J,則a≤a∨b∈J,因此a∈a∧(a∨b)?J,矛盾.

定理3設(shè)L是一個對偶分配交超格,I和J是L的超理想,定義

I∨J={x∈L|(?a∈I)(?b∈J)x=

a∨b},

則I∨J是L的超理想.

證明若x,y∈I∨J,則存在a1,a2∈I,b1,b2∈J使得x=a1∨b1,y=a2∨b2.因此

x∨y=(a1∨b1)∨(a2∨b2)=

(a1∨a2)∨(b1∨b2).

因?yàn)镮和J是L的超理想,從而a1∨a2∈I和b1∨b2∈J,所以x∨y∈I∨J.

若x∈I∨J,y∈L,則存在a1∈I,b1∈J使得x=a1∨b1.因此

x∧y=(a1∨b1)∧y=(a1∧y)∨(b1∧y),

從而對任意t∈x∧y,存在t1∈a1∧y,t2∈b1∧y使得t=t1∨t2.因?yàn)閍1∈I,b1∈J,從而a1∧y?I,b1∧y?J,所以t1∈I,t2∈J,因此t∈I∨J,x∧y?I∨J.

另一方面,因?yàn)閠=t1∨t2,t1∈a1∧y,a1∈I,所以t1≤a1.類似地,由t2∈b1∧y可得t2≤b1,因此t=t1∨t2≤a1∨b1=x,即x∧y≤x.

定義6設(shè)L是一個交超格,若

(?x,y∈L)?t∈x∧y?t≤x,t≤y,

(*)

則稱L為一個滿足條件“*”的交超格.

特別地,若L是一個格,則L是一個帶“*”條件的交超格.進(jìn)一步地,若(L,∨,∧)是一個∧-超格,其中L上的∧-超運(yùn)算定義為a∧b={x∈L|x≤a,x≤b},則(L,∨,∧)是一個帶“*”條件的交超格,inf{a,b}是a∧b的最大元.顯然例1～例3都是一個帶“*”條件的交超格.

定理4設(shè)L是一個帶“*”條件的交超格,則I={x∈L|x≤a}是L上的一個超理想,記為I(a).

證明對任意x,y∈I,x≤a,y≤a,有x∨a=a,y∨a=a.于是

x∨a∨y∨a=x∨y∨a=a∨a=a.

因此x∨y≤a,x∨y∈I.

另一方面,對任意的x∈I,y∈L,有x≤a.由定義6知,對任意的t∈x∧y,t≤x≤a,因此t∈I,x∧y?I且x∧y≤x.

定理5設(shè)L是一個帶有最小元0的交超格,I是L的一個超理想,則0∈I.

證明因?yàn)镮是L的一個超理想,所以對任意的a∈I,由性質(zhì)1知0≤a,從而0∈I.

引理2設(shè)L是一個滿足條件“*”且?guī)в凶钚≡?的對偶分配交超格,若I是L的超理想,且a∈L但a?I,則I∨I(a)是一個超理想且I?(I∨I(a)).

證明根據(jù)定理4可知I(a)是L的一個超理想,再由定理3知我們只需證明I?(I∨I(a)).

事實(shí)上,?x∈I,x=x∨0∈(I∨I(a)),所以I?(I∨I(a)).但a?I且a=0∨a,由定理5知0∈I且a∈I(a),所以a∈(I∨I(a)).

最后給出下列素超理想定理.

定理6設(shè)(L,∧,∨)是一個帶有最小元0的對偶分配交超格,且滿足條件“*”.若I和F分別是L的超理想和超濾子使得I∩F=?,則存在L的一個素超理想D使得I?D且D∩F=?.

下面證明D是L的一個素超理想.事實(shí)上,假設(shè)a,b∈L,a∧b?D且a,b?D.因?yàn)镈是極大理想,由引理2知[D∨I(a)]和[D∨I(b)]是L的超理想,且有

[D∨I(a)]∩F≠?, [D∨I(b)]∩F≠?.

從而存在d1,d2∈D,a1∈I(a),b1∈I(b)使得d1∨a1∈F,d2∨b1∈F.因?yàn)閍1≤a,b1≤b,所以

d1∨a1≤d1∨a,d2∨b1≤d2∨b,

從而d1∨a,d2∨b∈F,因?yàn)镕是一個超濾子,所以(d1∨a)∧(d2∨b)?F,由L的對偶分配性知

(d1∨a)∧(d2∨b)=

[(d1∨a)∧d2]∨[(d1∨a)∧b]=

(d1∧d2)∨(a∧d2)∨(d1∧b)∨

(a∧b)?D,

從而D∩F≠?,矛盾.