基于問題驅(qū)動的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程混合模式的教學(xué)改革

蘇 婷，董勝偉

（安陽工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，河南安陽455000）

大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的基礎(chǔ)課程，分為概率論和數(shù)理統(tǒng)計兩部分。概率論主要有隨機變量、隨機變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理等內(nèi)容；數(shù)理統(tǒng)計主要有參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、因子分析、方差分析和回歸分析等內(nèi)容[1-2]。這些內(nèi)容（特別是數(shù)理統(tǒng)計部分）因其概念多且抽象、公式繁雜而難以理解，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情往往不高[3]。2020年初新冠疫情暴發(fā)后，傳統(tǒng)教學(xué)模式受到了極大挑戰(zhàn)，各種在線學(xué)習(xí)和教學(xué)平臺便為傳統(tǒng)教學(xué)模式的改革提供了契機[4-5]。引導(dǎo)學(xué)生充分利用線上資源自主學(xué)習(xí)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程，提高教學(xué)質(zhì)量和效率，培養(yǎng)基本功扎實、具有較強創(chuàng)新意識和動手能力的新世紀(jì)人才是廣大教師極為關(guān)切的問題[6-7]。

1 “概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程教學(xué)狀況

受課時和先修課程的限制，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程教學(xué)中主要存在以下問題：一是教學(xué)內(nèi)容重推理輕應(yīng)用，致使許多學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高，理論知識不扎實，或者只懂某些理論而無法解決實際問題。二是教學(xué)手段滯后，數(shù)理統(tǒng)計的規(guī)律往往是通過大量的重復(fù)實驗歸納出來的，但是現(xiàn)有教學(xué)手段不能很好地展示數(shù)據(jù)的統(tǒng)計規(guī)律。三是教學(xué)模式單一，沒有及時運用先進(jìn)的科技手段，無法突出學(xué)生在教學(xué)過程中的主體地位。四是考核模式單一，期末考試成績占有絕對地位，部分學(xué)生通過期末刷題來提高考試成績，忽略了創(chuàng)新思維能力和動手能力的養(yǎng)成。

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是一門應(yīng)用性很強的課程，只有學(xué)以致用才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，但是現(xiàn)有教材中的例題與現(xiàn)實問題所需要的數(shù)據(jù)量相比差別很大，僅僅依靠手算無法解決實際問題。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)軟件技術(shù)日趨成熟，MATLAB、Minitab等軟件已在科研和教學(xué)中得到較好應(yīng)用，這類軟件可以很好地將教學(xué)內(nèi)容形象化和具體化，能夠?qū)⒒A(chǔ)知識、問題建模和計算機技術(shù)融合在一起，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，培養(yǎng)其探索未知知識的意識。

在現(xiàn)有的教學(xué)平臺中，大學(xué)MOOC平臺有豐富的教學(xué)資源，如何充分地利用好這些資源也是現(xiàn)在老師在教學(xué)過程中需要注意的問題。雨課堂和釘釘平臺可以通過留言、簽到等功能加強教師與學(xué)生之間的互動，提高學(xué)生的參與度。雨課堂的在線測試功能可以很方便地在每章節(jié)結(jié)束后進(jìn)行隨堂測試，及時總結(jié)發(fā)現(xiàn)課堂教學(xué)中存在的問題。釘釘有較強的作業(yè)提交和資源發(fā)布功能，能夠提醒學(xué)生及時查閱相關(guān)資料和按時提交作業(yè)，督促學(xué)生保質(zhì)保量地完成學(xué)習(xí)任務(wù)，及時反饋學(xué)習(xí)情況。

綜上所述，進(jìn)一步整合網(wǎng)絡(luò)資源，借助數(shù)學(xué)軟件和學(xué)習(xí)平臺進(jìn)行線上線下混合教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)和創(chuàng)新能力十分必要。

2 “概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程教學(xué)模式的改革與實踐

在教學(xué)實踐中，我們所進(jìn)行的教學(xué)模式改革與實踐主要集中在以下3個方面：教學(xué)方式、課堂設(shè)計和考核方式。

2.1 教學(xué)方式

我們所采用的教學(xué)方式主要是以案例作為問題驅(qū)動切入點的案例教學(xué)法。具體做法是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，將貼近生活并有一定挑戰(zhàn)性的問題提練為教學(xué)案例，利用MATLAB和excel展示數(shù)據(jù)特征，與學(xué)生一起探究解決問題的方法，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，加深對相關(guān)內(nèi)容的理解。

基于問題驅(qū)動的線上線下混合模式的教學(xué)方式主要分為3個階段。

第1階段是課前準(zhǔn)備階段，即預(yù)習(xí)階段，一般提前1天把相關(guān)的MOOC資源通過釘釘發(fā)布到班級，提出與授課內(nèi)容相關(guān)的具體案例，引發(fā)學(xué)生的思考，使之對將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容有大致的了解。

第2階段是課堂教學(xué)階段，是教學(xué)的重點，決定著教學(xué)效果的成敗。在該階段，首先提出以實際生活為背景的具體案例，由此激發(fā)學(xué)生對此問題的思考，并通過MATLAB軟件直觀展示與實際問題所對應(yīng)的數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)背后的規(guī)律，探尋解決問題的思路，和學(xué)生一起歸納出有關(guān)數(shù)理統(tǒng)計的概念。其次在提出相關(guān)概念的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決實際問題的方法，并對相關(guān)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)。最后通過雨課堂的在線測試，分析學(xué)生掌握各知識點的情況，對掌握薄弱的地方進(jìn)行強化講解。

第3階段是鞏固拓展階段，根據(jù)學(xué)生掌握的情況分層次進(jìn)行鞏固與拓展訓(xùn)練。對于程度一般的同學(xué)，只要求他們完成基本教學(xué)內(nèi)容的作業(yè)即可；而對于學(xué)有余力的同學(xué)，則通過發(fā)布相關(guān)學(xué)科的前沿資料和待解決的問題，開拓他們的思路，提高他們的自主學(xué)習(xí)和創(chuàng)新能力。

2.2 課堂設(shè)計

基于問題驅(qū)動的線上線下混合教學(xué)模式，主要根據(jù)具體的案例提出問題，然后借助MATLAB或者excel軟件分析數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生找出相關(guān)概念和解決方案，以期取得較好的教學(xué)效果。下面就以線性回歸的有關(guān)概念為例設(shè)計課堂教學(xué)過程。該教學(xué)案例總共分為6個步驟，主要包括提出問題、分析問題、解決問題、總結(jié)問題、拓展問題和隨堂測試等6個方面。

第1步是提出問題部分。與線性回歸相關(guān)的教學(xué)案例有車輛堵塞問題，如研究堵塞時間（y）和車輛數(shù)（x）之間的關(guān)系。某地段的車輛與堵塞時間（min）數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 某地段車輛數(shù)與堵塞時間表

第2步是借助數(shù)學(xué)軟件分析相關(guān)數(shù)據(jù)。首先利用MATLAB軟件給出車輛數(shù)和堵塞時間的散點圖（圖1），引導(dǎo)學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)堵塞時間與車輛數(shù)之間既存在線性關(guān)系，而又無一條可以使所有點都落在其上的直線，由此提出本節(jié)的問題：能不能尋找一條直線，使得所有已知點到其距離的平方和最小？如何表示點到直線的距離？還有沒有其他的解決途徑？在這一步中，要啟發(fā)學(xué)生大膽提出解決問題的方案，一一進(jìn)行分析，逐步引導(dǎo)學(xué)生找到解決此問題的最小二乘法。

圖1 車輛數(shù)與阻塞時間數(shù)據(jù)散點圖

第3步是確定解決問題方案階段。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)點總是在目標(biāo)直線的上下兩側(cè)隨機波動，該波動可以通過點與目標(biāo)直線方程的誤差來描述。啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識到，由于誤差的不確定性，誤差的分布與期望為0呈正態(tài)分布。在此基礎(chǔ)上，設(shè)堵塞時間為y、車輛數(shù)為x的線性函數(shù)：y=β0+β1x+ε，即建立簡單的線性回歸模型，其中ε表示隨機誤差。建立線性回歸方程后，可以引導(dǎo)學(xué)生歸納出線性回歸的基本概念，然后提出本節(jié)重點講解的內(nèi)容：如何求解回歸方程的系數(shù)。

第4步是解決問題階段，教學(xué)重點是探索回歸方程中參數(shù)的求法和統(tǒng)計意義。通過圖2圖像的展示，引導(dǎo)學(xué)生找到一個較好的標(biāo)準(zhǔn)來評價所選直線的好壞，由此得出選擇最優(yōu)直線參數(shù)的函數(shù)極值模型：

利用前期的最小二乘法，由公式（1）的正定方程求得參數(shù) β0,β1的具體表達(dá)式：

在此基礎(chǔ)上探索出兩參數(shù)的幾何意義：分別代表直線的斜率和截距。主要的知識點講解完成后，需要對本節(jié)課有關(guān)線性回歸的知識點進(jìn)行歸納總結(jié)，到此為止，有關(guān)線性回歸的基本教學(xué)目標(biāo)已完成。

第5步是拓展階段，主要利用補充線性回歸的MATLAB實現(xiàn)方式，通過軟件直觀展示，使學(xué)生不僅能理解線性回歸的理論，而且能利用軟件解決實際問題。先是介紹在MATLAB中有關(guān)實現(xiàn)回歸分析的函數(shù)和其相關(guān)用法，其中包括求解回歸系數(shù)的函數(shù)regress和做殘差分析的rcoplot函數(shù)。然后向?qū)W生展示通過MATLAB求解具體案例的過程。通過regress函數(shù)得到的線性回歸方程為y=0.003 1x，告訴學(xué)生通過決定系數(shù)的取值判斷所得線性回歸方程的好壞，在此實際問題中模型所得的決定系數(shù)R2=0.81，從數(shù)據(jù)上可以做出接受此回歸方程的決定。為了更好地展示該問題的求解結(jié)果，可以引導(dǎo)學(xué)生通過原始數(shù)據(jù)散點圖、回歸曲線對比圖與殘差圖（圖2、圖3）來直觀展示所建線性回歸方程的求解結(jié)果，使對該案例的分析和求解更豐富。

圖2 數(shù)據(jù)散點圖和回歸直線對比圖

圖3 回歸方程殘差圖

通過MATLAB對具體案例的求解，不僅使學(xué)生掌握求解回歸模型的方法，而且可以解決有關(guān)車輛堵塞的實際問題。更進(jìn)一步地，可以對相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行拓展，啟發(fā)學(xué)生利用所建回歸模型進(jìn)行預(yù)測，得到不同車輛數(shù)對應(yīng)的阻塞時間。通過MATLAB軟件的拓展，不僅能使學(xué)生較好地掌握基本知識點，而且培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)軟件輔助解決實際問題的能力。在本階段的教學(xué)過程中，充分發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動性，提高了學(xué)生解決實際問題的熱情和探索未知領(lǐng)域的能力。

第6步是課堂教學(xué)效果的評價階段。通過設(shè)計與本節(jié)內(nèi)容相關(guān)的小問題進(jìn)行隨堂測試，根據(jù)測試情況對章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行重點講解和小結(jié)。

2.3 考核方式

課程考核方式是評價教師教學(xué)效果和學(xué)生知識點掌握情況的重要手段，科學(xué)合理的考核方式可以極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。為了彌補傳統(tǒng)期末考試“一錘定音”考核模式的不足，可以采用過程化的考核方式，提高平時成績的比例（提高到50%），激發(fā)學(xué)生平時學(xué)習(xí)的興趣，減少考前刷題現(xiàn)象。為了比較好地評價學(xué)生學(xué)習(xí)效果，在平時成績中增加課堂討論、章節(jié)思維導(dǎo)圖和撰寫課程論文等內(nèi)容，具體分配比例為課堂討論占10%，課后作業(yè)占10%，章節(jié)知識點思維導(dǎo)圖占10%，撰寫小論文（研究報告）占20%。在這些平時成績考查項目中，課堂討論可以保障在教學(xué)過程中學(xué)生的主體地位，提高學(xué)生的課堂參與度。章節(jié)思維導(dǎo)圖可以督促學(xué)生對各章知識點進(jìn)行歸納，找出各章節(jié)之間的邏輯關(guān)系。撰寫課程論文過程不僅鍛煉了學(xué)生借助MATLAB軟件分析問題的能力，而且鼓勵學(xué)生獨立探索前沿知識，不斷激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和自主創(chuàng)新潛力。通過增加這些項目的考核，可以極大地激發(fā)學(xué)生在課程學(xué)習(xí)過程中的積極性和主動性，有利于學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。

3 結(jié)束語

基于問題驅(qū)動的線上線下混合教學(xué)模式，可以極大減輕學(xué)生對“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程內(nèi)容的恐懼感，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情和興趣。引入與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的具體案例，可以極大地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解決問題的能力。借助MATLAB軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行直觀展示，使教學(xué)內(nèi)容和過程更加生動。通過該教學(xué)模式的探索和實際，可以彌補傳統(tǒng)的教學(xué)方式的不足，提高教學(xué)效果。