函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的解題策略

張 斌

(江蘇省豐縣歡口中學(xué) 221711)

一、與函數(shù)圖像的切線有關(guān)

近年來，將函數(shù)的切線作為解題關(guān)鍵的題型也日漸增多，這種考法同學(xué)們需要掌握牢固.

由此可以得到P1(-1,e-1)，P2(1,1)，將P1(-1,e-1)代入，就可以求得切線l1的方程式為:y-e+1=-e(x+1)，整理得到：y=-ex-1.

同理，將P2(1,1)代入，可以得到切線l2的方程式為：y-1=2(x-1)，整理得到：y=2x-1.

分析很明顯，此題主要考查分段函數(shù)的圖像及其切線，不僅包含了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還與數(shù)形結(jié)合的思想以及曲線的切線方程相結(jié)合，出題點(diǎn)新奇，知識交叉深，綜合性較強(qiáng).如果一個函數(shù)的切線方程表示為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)，那么必須滿足(x0,f(x0))在曲線上的一點(diǎn)這個條件，一般來說，曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))的切線斜率，這些是f′(x0)的幾何意義.

二、與函數(shù)不等式的解集相關(guān)

導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識近年來在高考中的頻率也有所提升，通過導(dǎo)數(shù)知識解決函數(shù)問題是高中生必須要掌握的內(nèi)容.

例題2 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足其導(dǎo)數(shù)函數(shù)為f′(x)，并且滿足f(x)=f′(x)+1，f(0)=2020，那么不等式ex+2019

A(2019，+∞) B.(-∞，2020)

C.(0，2019) D.(-∞，0)

解此題可以從構(gòu)造函數(shù)入手，假設(shè)e-xf(x)=g(x)>e-x，那么就可以求出g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g′(x)=e-x[f′(x)-f(x)+1]，又根據(jù)題意可知，g(x)在定義域R上單調(diào)遞減，當(dāng)x=0時，代入g(x)可以得到g(0)=f(0)-1=2019，因此可以得到：e-xf(x)>e-x+2019，這個不等式與g(x)>g(0)，且有x<0.所以這道題的正確答案是D選項(xiàng).

分析這道題的核心是抽象函數(shù)，主要將不等式的解集、利用導(dǎo)數(shù)符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性等相結(jié)合，再用構(gòu)造函數(shù)法求解，既考查了學(xué)生的邏輯推理能力，又訓(xùn)練了學(xué)生的直觀想象能力，以及利用導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識構(gòu)造函數(shù)的能力，知識與能力的考查都在這道題中體現(xiàn)出來了.

三、與函數(shù)的極值有關(guān)

函數(shù)的極值相關(guān)問題，也是近幾年的高考熱點(diǎn)，要注意函數(shù)的極值點(diǎn)概念和導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)概念的區(qū)分，還要注意檢驗(yàn)f′(x)在導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)周圍的符號，同時還需關(guān)注相同符號舍去，不同符號保留的原則.

例題3 如果一個函數(shù)f(x)=axlnx-ex有一個唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

解根據(jù)題目所給條件可得：f′(x)=alnx+a-ex=0有一個唯一的正實(shí)數(shù)根，也就是ex=alnx+a.

首先假設(shè)ex=g(x)，alnx+a=h(x)，將g(x)、h(x)的圖像分別表示出來，如下圖所示，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)的圖像都只有唯一一個公共點(diǎn)并且都在第一象限.

圖1 圖2

若是g(x)>h(x)，那么成立的條件是x一定在x0的周圍，并且a要大于0，此時，f′(x)>0，保留符號，此時f(x)的極值點(diǎn)不是x0.如果a小于0時，在x0的周圍，f′(x)異號.因此，終上所述，這時函數(shù)f(x)的唯一極值點(diǎn)是x0.

所以(-∞,0)是實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析這個題目中alnx+a-ex=0就相等于f′(x)=0，要想直接得到這個方程的唯一正實(shí)數(shù)根是很困難的，所以我們需要變換思路：把這個方程分為ex=g(x)和axlnx-ex=h(x)這兩個函數(shù)，再合理利用這兩個函數(shù)圖像僅有一個交點(diǎn)，即極值點(diǎn)旁邊周圍的f′(x)不同號，進(jìn)而可求出參數(shù)a的取值范圍.

方法將x=sinx代入得：f(sinx)=sin2x-asinx+b.

綜上所述，(-2,2)是a的取值范圍，R是b的取值范圍.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的考查方式十分特別，也是高考考察的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對學(xué)生的綜合能力要求特別高，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要多積累不同的題型，如利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線、單調(diào)性、極值、最值、函數(shù)的零點(diǎn)，以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)一步求解不等式等等一些綜合類題型.

數(shù)形結(jié)合思想是解決導(dǎo)數(shù)問題的常用方法，特別是求單調(diào)性和極值時，借助導(dǎo)函數(shù)的圖像來確定單調(diào)性進(jìn)一步求極值和最值是最優(yōu)方法.分類討論思想是在求解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)相結(jié)合類問題中最常見思想，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)根的位置不同進(jìn)行討論單調(diào)性，進(jìn)一步求極值或最值，然后再解決恒成立或存在性問題.對各類導(dǎo)數(shù)與函數(shù)相結(jié)合的問題，平常學(xué)習(xí)中要善于總結(jié)和歸類，這樣才能做到事半功倍.