例析實(shí)際應(yīng)用中與球相關(guān)的最值問題

謝新華

(福建省莆田第二中學(xué) 351100)

圖1

例1 (2020·湖北襄陽模擬)魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙．從外觀上看，是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱；六根等長的正四棱柱分成三組，經(jīng)90°榫卯起來．如圖所示，正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為1，將這個(gè)魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器半徑的最小值為(容器壁的厚度忽略不計(jì))( ).

評析本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查多面體與外接球球的計(jì)算，需要根據(jù)幾何體的對稱性確定一組長方體的外接球也就是整體的外接球.

例2 (2020 ·河南省模擬)在棱長為8的正方體空盒內(nèi)，有4個(gè)半徑為r的小球在盒底四角，分別與正方體底面處交于某一頂點(diǎn)的三個(gè)面相切，另有一個(gè)半徑為R的大球放在四個(gè)小球之上，與四個(gè)小球相切，并與正方體盒蓋相切，無論怎樣翻轉(zhuǎn)盒子，五球相切不松動(dòng)，則小球半徑r的最大值為____，大球半徑R的最小值為____.

解析當(dāng)正方體盒內(nèi)四個(gè)小球中相鄰小球均相切時(shí)，小球半徑r最大，大球半徑R最小，由2r·2=8可得r的最大值為2，下面分析r=2時(shí)R的取值. 如圖所示，由對稱性知，大球球心O與四個(gè)小球球心O1,O2,O3,O4均為一個(gè)正四棱錐的頂點(diǎn)，且OO1=R+r=R+2,O1O2=2r=4.

圖2

評析本題通過數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題相結(jié)合，考查球與球，球與多面體的切接問題，一題兩空是新高考特色題型，分析球與球之間切接可得r的最大值，剖析球與多面體切接問題，結(jié)合對稱性計(jì)算出R的最小值.

例3(2020·福建莆田市質(zhì)檢)有一根高為30厘米，底面半徑為5厘米的圓柱體原木(圖3).某工藝廠欲將該原木加工成一工藝品，該工藝品由兩部分組成，其上部分為一個(gè)球體，下部分為一個(gè)正四棱柱(圖4).問該工藝品體積的最大值是____立方厘米.

圖3 圖4

當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f′(x)變化情況如下表：

x(0,25π)25π(25π,5)f′(x)-0+f(x)↘極小值↗

評析本小題以勞動(dòng)技術(shù)、生活實(shí)踐為背景，考查立體幾何中與球有關(guān)的最值問題，是一類既富思考性，又融眾多知識和技巧于一體，綜合性強(qiáng)、靈活性高的問題．解答時(shí)，需仔細(xì)分析題設(shè)中的所有條件，在充分審清題目意思的基礎(chǔ)上，從問題的幾何特征入手，充分利用其幾何性質(zhì)去解決；找出問題中的代數(shù)關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，利用求函數(shù)最值的方法加以解決.

圖5

解析根據(jù)三視圖知原工件形狀為圓錐，如圖.

圖6 圖7

當(dāng)x變化時(shí)，V(x),V′(x)變化情況如下表：

x(0,23)23(23,2)V′(x)+0-V(x)↗極大值↘

評析本題融合多個(gè)知識點(diǎn)，考查立體幾何中球的切接問題，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查概率的計(jì)算，綜合性較強(qiáng).