基于數(shù)學建模素養(yǎng)下概率模型的教學設(shè)計探究

汪菊玲 石育雄 安永軍

摘要：數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言發(fā)現(xiàn)問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。本文以《幾何概型的應(yīng)用》教學為例，從教學設(shè)計的角度，精心設(shè)計其建模過程，不僅能夠讓學生掌握數(shù)學建模的方法，提高學生解決實際問題的能力，還能夠促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

關(guān)鍵詞：數(shù)學建模;教學設(shè)計;幾何概型的應(yīng)用

中圖分類號：A 文獻標識碼：A 文章編號：（2021）-32-457

數(shù)學建模是通過對實際教學問題的簡化和抽象后，用數(shù)學原理建立模型，再解決相關(guān)的問題。在高中數(shù)學教學設(shè)計中，教師想要滲透數(shù)學建模素養(yǎng)，應(yīng)將其融入在教學目標、教學重難點、教學過程、教學總結(jié)等各個環(huán)節(jié)，從而使學生能夠針對數(shù)學問題開展猜想與交流，實施探究活動，建立數(shù)學模型，解決實際問題。幾何概型作為新課標新增加的知識點，與生活實際緊密相關(guān)，同時與幾何論證、計算等方面也有關(guān)聯(lián)，因此在高考中出現(xiàn)的可能性較大，作為教師應(yīng)該有效設(shè)計教案，幫助學生掌握相關(guān)知識與技能。

一、問題引求知

教學目標是一切活動設(shè)計的中心點與落腳點。因此教師應(yīng)在教學目標中體現(xiàn)出建模素養(yǎng)，如將實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學問題，使學生通過猜想、探究掌握幾何概型的應(yīng)用能力等。幾何概型主要是用來計算基本事件可“連續(xù)”發(fā)生的有關(guān)概率問題，大多數(shù)是實際生產(chǎn)、生活問題。因此教師在教學設(shè)計過程中，可以采用生活類的問題，激發(fā)學生的求知欲望。既能夠滿足教學目標要求，也能夠激發(fā)學生的探索欲望。例如，公交車是高中生經(jīng)常接觸的交通工具，為此教師便可以為學生創(chuàng)設(shè)一個生活問題情境，公交車站每隔15分鐘便會有一輛公交車到達，但是我們到公交車站的時間是任意的，求你到達車站候車時間大于10分鐘的概率。

二、猜想引交流

當問題提出之后，教師一定要給予學生時間進行有效的猜想與交流，從而使學生打開探究思路，更好地解決數(shù)學問題。因此數(shù)學教師需要在教學設(shè)計中預(yù)留時間空間，讓學生發(fā)揮主動性。為了將建模素養(yǎng)更好地落實，此時教師便需要引導學生在猜想與交流中，將實際的生活問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的數(shù)學問題。

首先，該問題是與長度有關(guān)的幾何概型問題，那么學生在猜想時，首先要找到幾何區(qū)域D，緊接著找到事件發(fā)生在區(qū)域D對應(yīng)的區(qū)間d，在此過程中，學生需要找到一個關(guān)鍵點，即確定邊界點，但是邊界點是否取到并不會對事件的概率產(chǎn)生影響。

三、探究引思考

學生對該題進行分析，將時刻抽象為點，時間為線段，利用幾何概型的相關(guān)知識進行解答。首先設(shè)前一輛公交車達到的時刻是T1，下一輛公交車到達的時刻是T2，此時根據(jù)題意，我們可以知道T1T2的長度為15，假設(shè)T是線段T1T2下標上的某個點，T1T的長度是5，TT2的長度是10（如圖）。

當圖形繪制之后，教師再讓學生進行自主思考與探究，也可以與同桌進行相互交流，以此保證學生的“用腦”頻率，使學生始終處于思考狀態(tài)。思考過后，教師可以讓學生進行自主分享，提出自己的探索經(jīng)過。

學生1說：“當我去坐車的時候，將等車時間大于10分鐘當作事件1，如果我到達車站的時刻t落在線段T1T之間，事件1發(fā)生。因為區(qū)域D的總長度是15，那么我等待事件超過10分鐘的區(qū)間d的長度是5，即：P1=d的長度D的長度=515=13，所以可以得出我等車時間超過10分鐘的概率是三分之一。

四、訓練引鞏固

為了切實加強學生的建模素養(yǎng)，教師可以在該題的基礎(chǔ)上進行延伸與演變，使學生進一步探索更多的數(shù)學奧秘，并鞏固目前學到的知識。如公交車每隔15分鐘到達一輛，每輛車會在站牌處停留3分鐘，此時再求等車時間大于10分鐘的概率。

該題在前一題的基礎(chǔ)上增加了難度，學生需要在之前的數(shù)學模型上進行調(diào)整才能解決該問題。此時教師可以給學生一點提示，如教師為學生繪制一個圖形。

當圖形繪制完畢之后，很多學生便有思路，繼續(xù)按照該模型進行求解，此時設(shè)等車時間大于10分鐘的事件為A，此時我們到站時刻t便會落在T1T，所以就是P1=T1TT2T2=215

五、總結(jié)引完善

在課堂的結(jié)尾處，為了驗證模型是否符合實際生活中的問題，教師可以帶領(lǐng)學生進行結(jié)果驗證，此時也可以向?qū)W生列舉更多相關(guān)的生活問題進行解釋，使學生進一步理解幾何概型的模型。最后，教師讓學生總結(jié)出幾何概型的數(shù)學模型，即先確定區(qū)域D，再確定事件落在區(qū)域D中相對應(yīng)的區(qū)間d，最后求出概率。

高中數(shù)學建模思想的培養(yǎng)和數(shù)學建模的應(yīng)用是數(shù)學教育的重要內(nèi)容，教師在教學中應(yīng)重視學生的建模思想和建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，加強學生建模意識，提高學生課堂建模方法的能力，并鼓勵學生通過觀察、思考和論證等方法建立模型。同時，數(shù)學學習作為一個與生活息息相關(guān)的話題，離不開既定的生活環(huán)境，教師的目標是提高學生解決實際問題的能力，使學生善于觀察和總結(jié)數(shù)學生活的規(guī)律，強化建模思維在生活中的應(yīng)用，促進學生數(shù)學綜合素養(yǎng)的全面提升。

參考文獻

[1]張應(yīng).在實際問題情境中體驗數(shù)學建模——問題情境驅(qū)動下的高中數(shù)學建模教學探討[J].數(shù)學學習與研究，2021（19）：14-15.

[2]陳龍珠.高中數(shù)學建模的教學探究——以概率與統(tǒng)計教學內(nèi)容為例[J].福建教育學院學報，2021，22（06）：22-24.