考題因探索而求本質(zhì)
——一道考題的前因后果

山東省濟(jì)寧市微山縣第一中學(xué)(277600) 殷維瑩

山東省濟(jì)寧市微山縣第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)(277600) 卓晴晴

山東省濟(jì)寧市微山縣第一中學(xué)(277600) 朱廣軍

在高二期末測(cè)試題中出現(xiàn)了這樣一道壓軸題,這道試題很好地考查學(xué)生的基本知識(shí)、基本技能和數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)及對(duì)課本的研讀,對(duì)教材的教學(xué)也有指導(dǎo)意義.此題目的原型出自人民教育出版社(A 版)必修2 第三章習(xí)題4.2 B 組第5 題,以圓為題干改為橢圓為題干.進(jìn)一步思考,發(fā)現(xiàn)這道試題可以從特殊到一般進(jìn)行研究得到一些?？疾榈慕Y(jié)論.現(xiàn)將一些思考整理成文,與讀者交流.

1 題目呈現(xiàn)及解法分析

(1)求AB的直線方程.

(2)證明: ∠F1PA=∠F2PB

此類以直線和橢圓位置關(guān)系為背景的試題,我們習(xí)慣于選擇通性通法——聯(lián)立方程組解決,方法如下:

證明(1) 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線PA的方程3x1x+4y1y?12=0,直線PB的方程3x2x+4y2y?12=0,所以點(diǎn)P(1,2) 滿足上述直線方程3x1+ 8y1?12 = 0,3x2+8y2?12=0,所以AB的直線方程3x+8y ?12=0.

(2)設(shè)過點(diǎn)P(1,2)與橢圓相切的直線方程為y=k(x ?1)+2,α,β為直線PA,PB傾斜角整理得(3 + 4k2)y2+ 8k(2?k)y+ 4(2?k)2?12 =0,Δ = [8k(2?k)]2?4(3 + 4k2)[4(2?k)2?12] = 0,3k2+4k ?1 = 0,kP A+kP B=因?yàn)?/p>

評(píng)析: 求角度的大小一般借助于三角函數(shù),上述問題中應(yīng)用正切求角度相等,兩條切線值沒有具體求出,應(yīng)用設(shè)而不求思想整體代入方法得到結(jié)論.此題也可用向量的數(shù)量積或余弦定理求解,但是需要計(jì)算出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),較為復(fù)雜,同時(shí)不能很好的體現(xiàn)解析幾何中設(shè)而不求的思想方法,故而選擇正切值轉(zhuǎn)化為斜率整體代入的方法求解.

作為平面幾何問題,此題可以通過橢圓的幾何性質(zhì),利用三角形相似直接得到角度相等(如圖1),過程如下:

圖1

證明分別做點(diǎn)F1和點(diǎn)F2關(guān)于切線PA,PB的對(duì)稱點(diǎn)F′1,F′2,則F′1,A,F2三 點(diǎn) 和F1,B,F′2三 點(diǎn) 共線且F′1F2=F1F′2= 2a,PF1=PF′1,PF2 =PF′2,所以ΔPF′1F2∽= ΔPF1F′2,所以∠F′1PF2= ∠F1PF′2,又因?yàn)椤螰1PF2是公共角,∠F′1PA=∠F1PA,∠F′2PB=∠F2PB,所以∠F1PA=∠F2PB.

注: 在上述證明過程中同時(shí)可得到PF1平分∠AF1B,PF2平分∠AF2B在下文中以結(jié)論形式出現(xiàn).

2 一般情況探究

進(jìn)一步研究,任意橢圓外一點(diǎn)上述角度相等也成立,并且直線AB在一定條件下過定點(diǎn).

證明(1)若點(diǎn)P在直線Ax+By+C= 0(與橢圓相離)上,則直線AB過定點(diǎn);(2)∠F1PA=∠F2PB

證明: (1) 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則Ax0+By0+C=0,直線PA的方程b2x1x+a2y1y ?a2b2=0,直線PB的方程b2x2x+a2y2y ?a2b2= 0,所以AB的直線方程b2x0x+a2y0y ?a2b2=0,化簡(jiǎn)得(Bb2x+Aa2y)x0?a2Cy ?Ba2b2=0,所以直線AB恒過點(diǎn)

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),F1(?c,0),F2(c,0).α,β為 直 線PA,PB傾 斜 角.設(shè) 過 點(diǎn)P(x0,y0) 與橢圓相切的直線方程為y=k(x ?x0) +y0,整理得(b2+a2k2)x2+2ka2(y0?kx0)x+a2(y0?kx0)2?a2b2=0,Δ=[2ka2(y0?kx0)]2?4(b2+a2k2)[a2(y0?kx0)2?a2b2]=0,整理得(a2?x20)k2+2x0y0k+b2?y20=0,kP A+kP B=,kP AkP B=

代入kP A+kP B=,kP AkP B=,kP F1=,kP F2=tan ∠F2PB ?tan ∠F1PA=0,所以∠F1PA=∠F2PB.

注: 上述是在直線PA,PB,PF1,PF2斜率存在的情況下證明的過程,若其中一條直線的斜率不存在,經(jīng)驗(yàn)證上述結(jié)論仍成立.

3 一般結(jié)論

圖2

結(jié)論1: 點(diǎn)P與線段AB的中點(diǎn)M連線PM恒過坐標(biāo)原點(diǎn),直線PM,AB斜率之積為定值.

結(jié)論2: 直線PM與橢圓相交于兩點(diǎn)H,G,則過點(diǎn)H,G作橢圓的切線平行于直線AB.

結(jié)論3: 若直線AB恒過定點(diǎn)D(m,0),則點(diǎn)P落在定直線上,直線PD,AB斜率之積為定值.

結(jié)論4: 若直線PA⊥PB,則點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

結(jié)論5: 若直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)F2,則(1)點(diǎn)P在定直線右準(zhǔn)線上(x=),(2)PF2⊥AB,(3)ΔPAB面積的最小值為

結(jié)論6:PF1平分∠AF1B,PF2平分∠AF2B.

結(jié)論7: 直線PA,PD,PB的斜率成等差數(shù)列.

證明: 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程x=ty+m,整理得(a2+b2t2)y2+2tmb2y+m2b2?a2b2=0,y1+y2=由AB直線方程x=ty+m得x1+x2=,x1x2=

結(jié)論1 證明: 直線PA的方程

直線PB的方程

(1) (2) (3) 式 得xp=,yp=所以

線段AB中點(diǎn)坐標(biāo),kP M=,kP O=所以,點(diǎn)P與線段AB的中點(diǎn)M連線PM恒過坐標(biāo)原點(diǎn).顯然kP MkAB=kP OkAB=(其中kP OkAB=可由點(diǎn)差法得到),直線斜率之積為定值.

結(jié)論2 證明: 設(shè)直線PM的方程y=解得因?yàn)檫^點(diǎn)F的切線斜率kH=因?yàn)檫^點(diǎn)G的切線斜率且直線AB的斜率為kAB=所以直線PM與橢圓相交于兩點(diǎn)H,G,則過點(diǎn)H,G作橢圓的切線平行于直線AB.

結(jié)論4 證明: 因?yàn)閗P A=且kP AkP B=?1,所以kP AkP B==?1,得(a2+b2)m2=b4t2+a4,令x=x2+y2==a2+b2,所以點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

結(jié)論5 證明: 由性質(zhì)3 若直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)F2,m=c,點(diǎn)點(diǎn)P落在直線x=(右準(zhǔn)線) .kP F2==?t,kP F2kAB=?t·=?1,所以PF2⊥AB.因?yàn)?/p>

結(jié)論6 證明:

kP F1=要證明PF1平分∠AF1B,只要證明tan ∠AF1P= tan ∠PF1B,只要證明只要證明因?yàn)?/p>

tan ∠AF1P= tan ∠PF1B,所以PF1平分∠AF1B.同理,可證明PF2平分∠AF2B.

結(jié)論7 證明:kP A=

kP D=所以kP A+kP B= 2kP D,即直線PA,PD,PB的斜率成等差數(shù)列.

注: 上述是在直線PA,PB,PF1,PF2斜率存在的情況下進(jìn)行的證明,若其中一條直線的斜率不存在,經(jīng)驗(yàn)證上述結(jié)論仍成立.

4 雙曲線相應(yīng)結(jié)論

結(jié)論1: 點(diǎn)P與線段AB的中點(diǎn)M連線PM恒過坐標(biāo)原點(diǎn),直線PM,AB斜率之積為定值.

結(jié)論2: 直線PM與雙曲線相交于兩點(diǎn)H,G,則過點(diǎn)H,G作雙曲線的切線平行于直線AB.

結(jié)論3: 若直線AB恒過定點(diǎn)D(m,0),則點(diǎn)P落在定直線上,直線PD,AB率之積為定值.

結(jié)論4: 若直線PA⊥PB,則點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2?b2(a>b).

結(jié)論5: 若直線AB過雙曲線的右焦點(diǎn)F2,則(1)點(diǎn)P在定直線右準(zhǔn)線上(x=,(2)PF2⊥AB,(3)ΔPAB面積的最小值為

結(jié)論6: ∠F1PA=∠F2PB

結(jié)論7: 直線PA,PD,PB的斜率成等差數(shù)列.(讀者可自行證明)

5 題后啟示

通過此次期末考試考查的題目,無論是學(xué)生對(duì)課本的重視還是教師對(duì)課本指導(dǎo)教學(xué)都是又一次在認(rèn)識(shí)上的提升,高考題中很多題目可在課本中找到原型,或者是結(jié)論的直接應(yīng)用.對(duì)課本題目或練習(xí)題的教學(xué),備課時(shí)要深入了解、挖掘教材.在學(xué)生思維度內(nèi),充分挖掘教材題目的創(chuàng)新生長(zhǎng)點(diǎn),探究不同解法及解法之間的關(guān)系.改變題目條件及結(jié)論,還原問題的本質(zhì),以不變應(yīng)萬變.引導(dǎo)學(xué)生積極、主動(dòng)、多角度、廣思維發(fā)現(xiàn)問題與提出問題、解決問題,深入體會(huì)數(shù)學(xué)思想與方法,拓寬思維廣度、挖掘思維深度,在教材的指引下提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).