基于幾何直觀下圖形與幾何問題的探索

蘇慶堂

摘 要：幾何直觀作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，可見其地位非凡。本文以三年級(jí)上冊(cè)“長方形和正方形”單元為例，以本單元的典型例題對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試以及對(duì)本單元中有關(guān)圖形與幾何的問題進(jìn)行探索與分析，揭示學(xué)生在發(fā)展幾何直觀中所存在的問題，并對(duì)在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)的問題進(jìn)行思考，進(jìn)一步探索有利于小學(xué)生的幾何直觀發(fā)展的方法與形式。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;周長;圖形與幾何

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中“幾何直觀”是尤為重要的內(nèi)容，《新課標(biāo)》也指出“幾何直觀”的重要性與進(jìn)一步明確“幾何直觀”主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。[1]而在對(duì)于一二年級(jí)的而言，只對(duì)一部分圖形與幾何進(jìn)行初步的認(rèn)識(shí)，并未深入的進(jìn)行學(xué)習(xí)，而“幾何直觀”真正意義上出現(xiàn)于三年級(jí)上冊(cè)“長方形和正方形”單元。下面就以三下“長方形和正方形”單元教學(xué)為例，探索圖形與幾何問題中的幾何直觀發(fā)展。

一、從“長方形和正方形”單元幾道常見題型分析看理解圖形的能力

“長方形和正方形”單元中是以一二年級(jí)初步感知的正方形、長方形為基礎(chǔ)進(jìn)一步的深入教學(xué)，本單元中圖形與幾何問題的抽象程度是小學(xué)幾何直觀問題中的一個(gè)臺(tái)階。而學(xué)生對(duì)本單元的“幾何直觀”掌握如何？不妨從以下幾道常見題型的錯(cuò)例與測(cè)試結(jié)果來看看。

問題1：繞長50米、寬30米的長方形場(chǎng)地外圍跑兩圈，跑了多少米？

這道題考查的是學(xué)生對(duì)長方形周長的理解及公式掌握，顯然答案列式為（50+30）×2×2。但是在實(shí)際測(cè)試中，正確率只有70%;其中不乏出現(xiàn)的列式錯(cuò)例為50+30與（50+30）×2。但是在相同的題目中，僅僅為本題配上長方形操場(chǎng)的圖形后正確率達(dá)到85%。從兩道相同的長方形周長問題中，不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)周長的理解不夠到位外，有借助直觀的圖形理解正確率明顯提高，因此學(xué)生還未能完全利用圖形解決問題。

問題2：一塊長方形白菜地長7米，寬3米，若一面靠墻，將這塊白菜地圍起來需要多少籬笆？

本題考查學(xué)生對(duì)長方形周長應(yīng)用于生活的考查，本類題型是特殊的長方形周長考查方式，顯然根據(jù)生活實(shí)際靠墻的一面不需要算到需要的籬笆里面。因此由上圖顯而易見，長方形的一條長靠墻，其中一條長就不需要計(jì)算進(jìn)去，即3+3+7或者（3+7）×-7;短的一面靠墻，同理一條寬不需要計(jì)算。

問題3：用一根長14cm的鐵絲圍成長方形，每條邊都取整厘米，怎么圍？在下面方格中劃出所圍成的長方形。（每個(gè)小方格的邊長表示1cm）

本題考查方式相對(duì)前兩題來說難度有所增加，側(cè)重考查點(diǎn)于長方形的周長公式逆運(yùn)用與長方形周長的幾何直觀理解。在實(shí)際測(cè)試中，學(xué)生的實(shí)際正確率只有65%，正確率明顯下降。

從這三道題及學(xué)生測(cè)試的情況來說，學(xué)生對(duì)初次接觸帶有公式的幾何圖形題的理解能力還不夠強(qiáng)，追其本質(zhì)，一方面學(xué)生對(duì)幾何直觀的核心素養(yǎng)發(fā)展處于初步階段;另一方面，教師對(duì)于學(xué)生的幾何直觀發(fā)展需要運(yùn)用多樣的方式教學(xué)，而實(shí)際上的教學(xué)不乏出現(xiàn)學(xué)生對(duì)公式的生搬硬套而導(dǎo)致幾何直觀發(fā)展緩慢，因此從這三道題的情況來看，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生初步踏入有跨度的圖形與幾何問題的幾何直觀核心素養(yǎng)。

二、“長方形與正方形”單元教學(xué)思考及存在問題探索

1.建立正確的幾何直觀模型——清晰的周長概念

本單元中有一個(gè)重要的概念“周長”，其需要讓學(xué)生著重理解“封閉”、“一周”兩詞，“封閉”即圖形中沒有缺口，而“一周”需要注意是繞圖形的邊線從起點(diǎn)又回到起點(diǎn)。而在教學(xué)過程中，許多學(xué)生往往顧此失彼而出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如，請(qǐng)學(xué)生畫出下列圖形的周長;

在認(rèn)識(shí)周長的這課時(shí)中，所需要的掌握的重點(diǎn)即周長的意義，而所出現(xiàn)的題型中，認(rèn)識(shí)周長的圖形中無非可以歸納為上面四類，第一類所有學(xué)生都懂得將周長描出來;而第二類圖形中，部分學(xué)生往往會(huì)將中間的曲線也歸到這個(gè)半圓的周長中;第三類圖形往往也會(huì)有學(xué)生將除長方形以外的線段也劃入這個(gè)長方形的周長中，這部分學(xué)生并沒有理解周長“一周”這個(gè)詞的含義，周長必須是繞圖形的邊線從起點(diǎn)又回到起點(diǎn);最后的一類顯然是沒有封閉的圖形，即沒有周長，而學(xué)生有的也會(huì)誤以為三條線段即這個(gè)圖形周長，而此類圖形便體現(xiàn)出封閉的重要性。

因此，在認(rèn)識(shí)周長的教學(xué)過程中，應(yīng)先讓學(xué)生理解“封閉”的意義，在確定圖形周長的前提應(yīng)先判斷圖形是否“封閉”，其次在圖形“邊線”中，找準(zhǔn)一起點(diǎn)，開始繞邊線走一圈回到起點(diǎn)，即“判-定-繞”。

由此可見，在幾何的學(xué)習(xí)中需要加強(qiáng)基礎(chǔ)概念的詮釋與圖形的理解能力，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，往往也是由簡(jiǎn)單的概念一步步進(jìn)行螺旋加深為更深層次的理論，因此幫助學(xué)生建立與理解清晰的基礎(chǔ)概念是尤為重要的。例如周長的認(rèn)識(shí)，“周長”的概念便為基礎(chǔ)概念，后續(xù)的計(jì)算等練習(xí)都由其發(fā)展而來。同樣的小學(xué)階段后續(xù)的面積、體積等等幾何問題都存在著這樣的基礎(chǔ)概念。因此，基礎(chǔ)概念的理解是幾何直觀發(fā)展的地基所在，也可以說為建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。

2.在公式推導(dǎo)學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀分析能力

在小學(xué)階段，幾何直觀的發(fā)展與公式的學(xué)習(xí)密不可分，無論是現(xiàn)今三年級(jí)初次接觸的周長公式，或者是之后需要學(xué)習(xí)的各種圖形的面積、體積等公式，都需要學(xué)生有著良好的幾何直觀與空間思維。因此在公式的推導(dǎo)過程中，需要讓學(xué)生建立起清晰的直觀思維，由直觀過度到抽象。

（1）幾何直觀中“分與合”的巧用。本單元中長方形與正方形的周長公式的掌握既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，因此在長方形的公式推導(dǎo)過程中，需要對(duì)長方形的長與寬進(jìn)行拆分，可以分成長、長、寬、寬，先明確長方形的周長是由這四條邊組成，進(jìn)而進(jìn)一步明確有兩條長與兩條，將長方形的周長公式由“長+長+寬+寬”轉(zhuǎn)變?yōu)椤伴L×2+寬×2”;而最為關(guān)鍵的一步便是利用圖形的組合將一條長與一條寬組合為一組，再將公式轉(zhuǎn)變?yōu)椤埃ㄩL+寬）×2”。其“分與合”過程可由下圖表示出來：

通過將圖形“分與合”，在簡(jiǎn)單與復(fù)雜的過程中理解公式的意義，也進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生幾何直觀。其實(shí)幾何直觀中的“分與合”是圖形的運(yùn)動(dòng)與變化的過程，而學(xué)生的幾何思維發(fā)展正需要這種靜態(tài)與動(dòng)態(tài)的結(jié)合，例如：用16張邊長為1cm的正方形紙，怎么拼才能使拼成的圖形周長最短？教材中的這一內(nèi)容其實(shí)是讓教師的教與學(xué)生的學(xué)成為“動(dòng)態(tài)” [2]，與將圖形“分與合”來讓學(xué)生進(jìn)一步理解，有著異曲同工之妙，其本質(zhì)都是讓學(xué)生以直觀的形式去探究幾何圖形中存在的奧秘，以便促進(jìn)幾何直觀的發(fā)展。

（2）公式的逆運(yùn)用與幾何直觀相輔相成。在問題1與問題2所展現(xiàn)的是公式的正向運(yùn)用，其測(cè)試的結(jié)果效果相對(duì)較好，但是在問題3中，正確率卻大幅下降，這與思維方式存在莫大聯(lián)系。問題3并不是需要求周長，而是告訴你周長，需要你來畫出這個(gè)長方形，顯然這是長方形周長公式的逆運(yùn)用。而對(duì)于三年級(jí)的小學(xué)生，并不會(huì)將長方形的周長=（長+寬）×2變形為一組（長+寬）等于長方形的周長除以2，當(dāng)然在教學(xué)過程中許多教師也會(huì)將這組變形的公式讓學(xué)生直接運(yùn)用，但部分學(xué)生并不能理解其中的真正含義。

因此，遇到此類題目時(shí)，幾何直觀的作用大大顯現(xiàn)，例如：?jiǎn)栴}3中已知長方形周長是14cm，通過“分與合”的教學(xué)知道有兩組長+寬，通過14÷2就可以知道，一組長+寬是7cm，最后通過列表的形式就可以畫出長6cm與寬1cm、長5cm與寬2cm、長4cm與寬3cm的長方形，由此可見幾何直觀與公式正、逆運(yùn)用之間存在的聯(lián)系是密不可分的。

（3）情境創(chuàng)設(shè)，聯(lián)系實(shí)際。生活處處有數(shù)學(xué)，這句話并不是簡(jiǎn)單的說說。許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)題往往源于生活本身，在本單元中，周長的計(jì)算常常與操場(chǎng)跑步、菜地籬笆等生活情境結(jié)合，例：操場(chǎng)跑步兩圈，學(xué)生首先要理解操場(chǎng)周長在哪，確定周長的長度，在將周長乘2計(jì)算;而菜地籬笆的題型卻不同，其往往有一條邊是不需要計(jì)算進(jìn)去，因?yàn)槟菞l邊靠墻，為節(jié)省材料而少計(jì)算靠墻的一邊。因此面對(duì)不同的生活情境，幾何題型具有多變性，需要聯(lián)系生活實(shí)際加以探究。

因此，在幾何直觀的題型當(dāng)中，需要對(duì)其進(jìn)行生活情境的再現(xiàn)，與生活實(shí)際相聯(lián)系，理解題目中所表達(dá)的意識(shí)后，用數(shù)學(xué)圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的表達(dá)，例如菜地題型可以用上述所出現(xiàn)的例題圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的草圖繪畫來幫助理解，從而達(dá)到“數(shù)形結(jié)合”的巧妙效果，即從生活中來又回到生活中去。

三、在圖形與幾何問題教學(xué)中發(fā)展幾何直觀核心素養(yǎng)

在核心素養(yǎng)中的幾何直觀發(fā)展，各類圖形與幾何問題是發(fā)展學(xué)生幾何直觀的途徑之一。因此在一類幾何圖形問題中，需要通過循序漸進(jìn)的方式發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，例如上述對(duì)人教版三年級(jí)上冊(cè)“長方形與正方形”單元中的典型例題分析，可見發(fā)展幾何直觀的第一步需要明確圖形與幾何問題中的幾何概念;其次幾何問題中的公式需要有深層次的理解，而非死記硬背、生搬硬套，需要將公式與幾何直觀相融合，進(jìn)而能夠?qū)⒐降恼?、逆運(yùn)用熟練的掌握;除此之外，發(fā)展學(xué)生將幾何直觀與生活具體情境相聯(lián)系，用生活經(jīng)驗(yàn)推進(jìn)幾何直觀的發(fā)展。當(dāng)然，幾何直觀的發(fā)展需要由易到難，在基礎(chǔ)概念上理解、在理解基礎(chǔ)上運(yùn)用公式、在熟練掌握下逆用公式、生活經(jīng)驗(yàn)與幾何直觀結(jié)合等，一步步有序地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

參考文獻(xiàn)：

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