指向“化解疑問”的“數(shù)學(xué)廣角——集合”教學(xué)

吳陳萍 李苗苗

【摘 ? 要】“集合”的教學(xué)，一般被理解為“重疊問題”，進(jìn)而使得“集合思想”的啟蒙滲透在一定程度上被弱化了。問卷分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生眼中的集合與數(shù)學(xué)上的集合有一定的區(qū)別，如體育課上常常用到的“集合”與數(shù)學(xué)上的“集合”有何不同，學(xué)生心存疑問。教師首先要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)上的集合有較為深刻的認(rèn)識(shí)，然后結(jié)合學(xué)生對(duì)生活中集合的理解，幫助他們厘清兩者的關(guān)系，通過對(duì)比分析讓學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)上的集合，從而化解他們心中的疑問。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)廣角;集合;學(xué)生疑問;化解疑問

“集合”是人教版三年級(jí)上冊(cè)第九單元“數(shù)學(xué)廣角”中的教學(xué)內(nèi)容，是集合思想的初次滲透。值得注意的是，原人教版教材中的這一內(nèi)容并沒有明確提出“集合”一詞，教師在教學(xué)這個(gè)內(nèi)容時(shí)一般將其稱為“重疊問題”。教材中明確提出“集合”一詞并將其作為標(biāo)題，是在人教版教材改版（2013年版）之后，并把這個(gè)內(nèi)容從原來的三年級(jí)下冊(cè)移到三年級(jí)上冊(cè)。不過即便如此，很多教師對(duì)此的教學(xué)還是傾向于“重疊問題”。三年級(jí)學(xué)生初次接觸“集合”，他們會(huì)有疑問嗎？課題組對(duì)此展開了實(shí)踐研究。

一、前測(cè)設(shè)計(jì)與意圖解讀

為了了解學(xué)生對(duì)集合概念的認(rèn)識(shí)情況，研究團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了以下問卷。

1.寫一寫。

（1）數(shù)學(xué)上有一個(gè)名稱叫“集合”，你聽說過嗎？請(qǐng)打“√”。

聽說過（ ? ? ） ?沒聽說過（ ? ? ?）

（2）關(guān)于“集合”，你心里有什么疑問嗎？

2.想一想，填一填。

你已經(jīng)在科學(xué)課上見過右邊這幅圖（如圖1）了。請(qǐng)你仔細(xì)觀察下面3個(gè)班的情況，如果請(qǐng)你從中選擇1個(gè)班的學(xué)生填到該圖中，你會(huì)選擇三（ ? ?）班。

[書法 張一 李四 萬一 方可 葉子 合唱 夏天 馬麗 金果 ]

三（1）

[書法 李凡 丁一 劉紅 王芳 林立 合唱 李凡 丁一 于冰 ]

三（2）

[書法 王五 朱會(huì) 龍華 古田 衛(wèi)冰 合唱 王五 朱會(huì) 龍華 ]

三（3）

問卷第1題直接告訴學(xué)生數(shù)學(xué)上有“集合”這個(gè)名稱，問學(xué)生有沒有聽說過，在此基礎(chǔ)上再讓學(xué)生寫一寫自己對(duì)集合的疑問。這樣出題的目的除了了解學(xué)生對(duì)“集合”的知曉情況外，更想測(cè)查學(xué)生對(duì)“集合”會(huì)有什么疑問。第2題呈現(xiàn)了韋恩圖（交集），并用提示的方式喚醒學(xué)生在科學(xué)課上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)（本地科學(xué)教材三年級(jí)有這個(gè)內(nèi)容的教學(xué)，早于數(shù)學(xué)），之后給出3組信息（交集、并集、子集），請(qǐng)學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行選擇。這道測(cè)試題的目的是了解學(xué)生在科學(xué)課上學(xué)習(xí)了韋恩圖之后，能否將其遷移應(yīng)用到數(shù)學(xué)中來。同時(shí)，這3組材料也是上課用的材料，故測(cè)試也可幫助研究團(tuán)隊(duì)更好地把握課堂教學(xué)情況。

二、測(cè)試分析與疑問確定

（一）測(cè)試分析

測(cè)試在1所城鎮(zhèn)學(xué)校和1所農(nóng)村小學(xué)同步開展，共有488名學(xué)生參與（城鎮(zhèn)353人，農(nóng)村135人）。通過對(duì)學(xué)生寫下的疑問進(jìn)行分類歸并后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)集合的疑問主要集中在4個(gè)方面，相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示。

（二）疑問確定

基于對(duì)這節(jié)課的教學(xué)定位——集合問題，諸如“什么是集合”“集合有什么用”這樣的疑問在教學(xué)中會(huì)自然化解。同時(shí)，這節(jié)課還涉及集合中的簡(jiǎn)單運(yùn)算，因此“集合可以運(yùn)算嗎”這個(gè)疑問也會(huì)自然化解。然而，學(xué)生聯(lián)系到體育課中的集合以及生活中其他的集合現(xiàn)象，產(chǎn)生如下疑問，這是在以往教學(xué)中所不曾顧及的。

由此課題組認(rèn)為，基于對(duì)這節(jié)課的教學(xué)定位，可以將“數(shù)學(xué)課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎”確定為學(xué)生疑問。

三、疑問分析與“化疑”實(shí)施

（一）疑問分析

1.教學(xué)價(jià)值分析

集合（set），簡(jiǎn)稱集，是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?？低袪枺–antor，G.F.P）認(rèn)為，“所謂集合，是一些對(duì)象的匯集。這些對(duì)象是人們的直觀或思考中所涉及的，在一定范圍內(nèi)是明確而可鑒別的”。通俗地說，集合是將一些具有相同性質(zhì)的對(duì)象放在一起，作為一個(gè)整體來考慮。

集合作為一種思想，它在生活中有著廣泛的運(yùn)用。比如一位教師的電腦中建有一個(gè)文件夾，取名“視頻集合”，這便是一種最基本的集合思想的體現(xiàn)。集合思想其實(shí)就在我們每個(gè)人的身邊。打開人教版《教師教學(xué)用書》，發(fā)現(xiàn)對(duì)這個(gè)內(nèi)容的解讀，也是指向集合思想的滲透。可見，基于“集合問題”的教學(xué)定位，以滲透初步的集合思想為目標(biāo)，是合理的。

基于上述理解，再來看“數(shù)學(xué)課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎”這個(gè)疑問，就能進(jìn)一步體會(huì)到化解這個(gè)疑問的內(nèi)在價(jià)值了。

首先，化解這個(gè)疑問，可以更為有效地滲透集合思想?？梢韵胂筮@樣的畫面：體育課上教師哨聲一響，學(xué)生就迅速地集合到一起，排成整齊的隊(duì)伍。這就是學(xué)生眼中的“集合”。不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)畫面中的“集合”是一個(gè)動(dòng)詞，這與作為數(shù)學(xué)概念的“集合”當(dāng)然是不一樣的。數(shù)學(xué)上的“集合”，不關(guān)注對(duì)象的運(yùn)動(dòng)，關(guān)注的是對(duì)象的性質(zhì)。這也就是說，操場(chǎng)上同一個(gè)班的學(xué)生不用集合（動(dòng)詞）到一起，本身就是一個(gè)集合（名詞），因?yàn)檫@些學(xué)生具有一個(gè)共同的性質(zhì)——來自同一個(gè)班級(jí)。當(dāng)然，為了更清楚地表達(dá)把具有相同性質(zhì)的對(duì)象看成一個(gè)整體，可以把這些對(duì)象圈起來，以區(qū)別于其他不同性質(zhì)的對(duì)象。因此，把體育課的“集合”與數(shù)學(xué)課的“集合”加以區(qū)別的過程，本身就是集合思想滲透的過程。

其次，化解這個(gè)疑問，可為學(xué)生后續(xù)進(jìn)一步運(yùn)用集合思想奠定基礎(chǔ)。教材在編排中并沒有對(duì)集合的產(chǎn)生進(jìn)行展現(xiàn)，而是直接進(jìn)行集合的運(yùn)用——交集，也就是韋恩圖。不難看出，這樣的教學(xué)是有“斷層”的，即還沒實(shí)現(xiàn)集合概念的建立，就已經(jīng)開始運(yùn)用集合概念了。這或許也就是在教學(xué)交集時(shí)，學(xué)生常常只能看見3個(gè)區(qū)域，看不見原來集合的原因。在后續(xù)教學(xué)中，如“因數(shù)與倍數(shù)”中“2的倍數(shù)”用集合表示，也是“沒學(xué)就用”這一現(xiàn)象的延續(xù)。因此，把體育課的“集合”與數(shù)學(xué)課的“集合”進(jìn)行區(qū)別，無形中把教材中的“斷層”補(bǔ)上了，這為學(xué)生后續(xù)進(jìn)一步運(yùn)用集合思想奠定了基礎(chǔ)。

由此可見，化解了“數(shù)學(xué)課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎”這個(gè)疑問，不僅可以實(shí)現(xiàn)集合思想的滲透，還可以為學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中運(yùn)用集合思想奠定基礎(chǔ)，具有重要的價(jià)值。

2.可行性分析

曾有教師這樣質(zhì)疑：“在小學(xué)教學(xué)集合，合適嗎？”當(dāng)然不合適。事實(shí)上，這也不可能。課題組把教學(xué)定位在“集合問題”上，主要是基于學(xué)生在體育課上已有的關(guān)于集合的經(jīng)驗(yàn)，將其與數(shù)學(xué)上的集合進(jìn)行對(duì)比，去偽存真，進(jìn)而初步滲透簡(jiǎn)單的集合思想?；谶@樣的教學(xué)定位，課題組認(rèn)為在小學(xué)三年級(jí)教學(xué)“集合問題”是可行的，首先是三年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的抽象思維能力，具有把一些看成一個(gè)整體的經(jīng)驗(yàn)（如一個(gè)班級(jí)等），其次是通過結(jié)合具體實(shí)例的形式，學(xué)生能理解把具有共同性質(zhì)的對(duì)象圈起來看成一個(gè)整體的集合思想。

由此，就形成了化解“數(shù)學(xué)課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎”這一疑問的設(shè)想：首先在課始暴露學(xué)生對(duì)集合的疑問，然后通過熟悉的體育課的場(chǎng)景為素材進(jìn)行辨析，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)上的“集合”和體育課上的“集合”是不一樣的，初步滲透簡(jiǎn)單的集合思想，最后進(jìn)行集合的運(yùn)用（韋恩圖）。

（二）“化疑”實(shí)施

根據(jù)對(duì)學(xué)生疑問的確定，化解疑問教學(xué)主要集中在課的開始階段。

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)集合。（板書：集合）我們一起來讀一讀。（生讀）對(duì)于“集合”，你們心里有什么疑問？

生：什么是集合？

生：這個(gè)集合和體育課上老師叫我們集合，是一樣的嗎？

生：集合不就是排隊(duì)嗎，數(shù)學(xué)課上的集合難道也是排隊(duì)？

生：數(shù)學(xué)課上的集合有什么用，又是怎么用的？

生：集合可以計(jì)算嗎？

師：關(guān)于集合，你們有這么多疑問呀！我們來整理一下剛才大家提出的疑問。

教師與學(xué)生一起回憶，并板書：是什么？有什么用？能計(jì)算嗎？與體育課的集合一樣嗎？

師：老師有點(diǎn)好奇。誰來把你們體育課上的集合介紹一下？

生：體育課上的集合是這樣的，一上體育課，我們所有人就站在一起了。

生：體育課上老師只要一吹哨子，我們就立刻跑到集合點(diǎn)，排好隊(duì)。

生：操場(chǎng)上每個(gè)班都有一個(gè)集合點(diǎn)，我們班集中在一個(gè)點(diǎn)，三（2）班一個(gè)點(diǎn)，三（3）班也一個(gè)點(diǎn)，就是每個(gè)班有一塊地方，在一起。

生：體育老師讓我們集中在一個(gè)地方，男生女生排成兩個(gè)隊(duì)就可以了。

師：原來體育課的集合是這樣的??！你們猜猜看，數(shù)學(xué)課上的集合會(huì)是怎樣的？

生：我覺得數(shù)學(xué)上的集合可能是將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類。

生：體育課上老師集合要用哨子或者口令，數(shù)學(xué)課上可能只要用口令。

生：我覺得數(shù)學(xué)課上的集合就是把物品進(jìn)行分類，有的是吃的，有的是用的，還有的是玩具什么的。

師：哈哈！同學(xué)們都非常有經(jīng)驗(yàn)，介紹得非常精彩。那么，到底體育課上的集合和數(shù)學(xué)課上的集合一樣嗎？我們一起來看一看。

（課件出示圖2）

師：瞧！上體育課了，三（1）班的同學(xué)們愉快地來到操場(chǎng)上。體育老師說“集合”。根據(jù)你們的經(jīng)驗(yàn)，接下來大家會(huì)怎么做？

生：大家會(huì)跑到一起，排成整齊的隊(duì)伍。

師：真的嗎？我們一起來看。

（課件動(dòng)態(tài)演示學(xué)生排成2行，如圖3）

生：對(duì)的，就是這樣的，跑到一起來。

生：體育課上我們就是這樣排隊(duì)集合的。

師：原來體育課上的集合就是大家聚到一起來排隊(duì)??！

教師板書：到一起，排隊(duì)。

師：那么，數(shù)學(xué)課上的集合是怎樣的呢？請(qǐng)看（課件切換到圖2）。這些學(xué)生現(xiàn)在就可以看成一個(gè)集合，叫作“三（1）班學(xué)生的集合”。

（此時(shí)學(xué)生有點(diǎn)驚訝）

師：因?yàn)檫@些學(xué)生具有共同的特征，你們知道是什么特征嗎？

生：他們都是三（1）班的學(xué)生。

師：對(duì)了。這些學(xué)生都來自三（1）班，這是他們的共同特征。

教師板書：共同特征，三（1）班的學(xué)生。

師：邊上可能還有其他班的學(xué)生。所以，為了和其他班級(jí)區(qū)分開，我們可以用這樣一個(gè)圈把這些學(xué)生圈起來（課件演示），表示“三（1）班學(xué)生的集合”（如圖4）。

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)上的集合。請(qǐng)看大屏幕（如圖5），仔細(xì)觀察，你看到新的集合了嗎？你是怎么想的？

生：這些都是鉛筆，就是“鉛筆的集合”。

師：對(duì)的，雖然長(zhǎng)短、顏色不一樣，但它們都是鉛筆，這是它們的共同特征（在“共同特征”后板書“鉛筆”），就可以叫作“鉛筆的集合”。請(qǐng)看（課件出示圖6），現(xiàn)在你看到新的集合了嗎？

生：這是“鉛筆橡皮的集合”。

師：對(duì)的，當(dāng)然可以這樣說。不過現(xiàn)在有兩種學(xué)習(xí)用品，我們也可以分開來說，一個(gè)是“鉛筆的集合”，還有一個(gè)是——

生（齊）：橡皮的集合。

教師在“共同特征”后板書“橡皮”。

師：為了看起來更清楚，我們也可以這樣表示這兩個(gè)集合（如圖7）。

師：現(xiàn)在請(qǐng)你猜一猜，這個(gè)集合里藏著什么圖形呢（出示圖8）？

生：長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形……

師：他猜對(duì)了嗎？為什么？

生：因?yàn)檫@個(gè)集合是平面圖形的集合，他說的都是平面圖形，所以是對(duì)的。

師：講得真棒（在“共同特征”后板書“平面圖形”）。同學(xué)們，你們看誰來了？（課件出示圓柱）它能放到這個(gè)集合里嗎？

生：不能放到這個(gè)集合中，因?yàn)閳A柱是立體圖形。

生：這個(gè)集合的共同特征是“平面圖形”，圓柱不是平面圖形，不能放進(jìn)來。

結(jié)合學(xué)生的意思，再次強(qiáng)調(diào)“共同特征”。

師：學(xué)到這里，你們認(rèn)為數(shù)學(xué)課的集合與體育老師叫我們集合一樣嗎？同桌討論一下。

生：我覺得不一樣。體育課的集合是排隊(duì)，數(shù)學(xué)課的集合像分類。

師：講得太好了！體育課的集合是動(dòng)作，是大家聚到一起排隊(duì)。數(shù)學(xué)課的集合是找共同特征，把它們看成一個(gè)整體，像分類。

以上化解疑問教學(xué)，主要針對(duì)“數(shù)學(xué)課的集合和體育老師叫我們集合一樣嗎”這個(gè)疑問?？紤]到學(xué)生的認(rèn)知水平，以“共同特征”和具體的實(shí)例來描述集合思想。接下來就是教材編排的交集的教學(xué)，不再贅述。

（浙江省海鹽縣三毛小學(xué) ? 314300）