解析幾何試題的高考原題引申

馬海琳

【摘要】2020年是山東首次實(shí)行不分文理的高考改革之年，高考作為重要的人才選拔方式，可以說是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的風(fēng)向標(biāo)和指揮棒.本文通過對新高考試題中的解析幾何試題進(jìn)行相應(yīng)的解析延伸，旨在為新高考模式下的數(shù)學(xué)教學(xué)工作提供一定的參考，根據(jù)命題模式的變化來探索出更加適應(yīng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的教學(xué)策略，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力以及數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量，使得學(xué)生更能適應(yīng)新高考模式下的數(shù)學(xué)教學(xué).

【關(guān)鍵詞】解析幾何;數(shù)學(xué)試題;命題模式;教學(xué)策略

新高考模式對于教師和學(xué)生而言，都具有一定的挑戰(zhàn).因此，為了更好地滿足新高考模式下社會(huì)對人才的需求，在實(shí)際的教學(xué)工作中，教師要順應(yīng)時(shí)代發(fā)展的潮流，依據(jù)培養(yǎng)目標(biāo)，有的放矢地對自身的教學(xué)模式加以創(chuàng)新.學(xué)生同樣要有意識地培養(yǎng)自己的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高自身的學(xué)習(xí)能力，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、新高考情況概述及案例分析

高考作為我國重要的人才選拔方式，高考試卷的試題設(shè)置關(guān)系到萬千考生的前途命運(yùn)，高考試題是眾多的專家、學(xué)者以及一線教師在經(jīng)過多方研討、綜合調(diào)研下的集體智慧的結(jié)晶.因此，對于高中教師而言，研究高考試題是必要且重要的.通過對高考試題的研究，教師能從中發(fā)現(xiàn)如今高考數(shù)學(xué)的考查方向、整體動(dòng)向，這能對高中數(shù)學(xué)的教學(xué)工作提供良好的指導(dǎo)和改進(jìn).

2020年山東正式開始實(shí)行新高考，這也是山東在高考中首次采取文理一套卷的形式進(jìn)行的改革嘗試.就題目的數(shù)量和難度的設(shè)置而言，相較于以往的山東高考數(shù)學(xué)卷，這次數(shù)學(xué)卷整體上難度不大，在關(guān)于解析幾何的題目設(shè)置上，考查的是曲線與定點(diǎn)和定值的問題.試題如下：

回顧題目的解答過程，在傳統(tǒng)解析幾何解答的基礎(chǔ)上，增加了構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì).題目對學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸、建立數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)思想和能力進(jìn)行了全面的考查.直線MN過定點(diǎn)的問題，考生經(jīng)過分析容易入手，多數(shù)考生可以拿到部分基礎(chǔ)分?jǐn)?shù);后半部分點(diǎn)Q的確定，需要考生有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力，起到了一定的選拔功能.

二、高考數(shù)學(xué)解析幾何試題分析

在進(jìn)行解析幾何的問題求解時(shí)，往往都會(huì)涉及大量的運(yùn)算，在運(yùn)算過程中，不僅耗費(fèi)的時(shí)間長而且運(yùn)算的難度比較大，稍有不慎就會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果的錯(cuò)誤.因此，在高考試題中，解析幾何往往是讓學(xué)生較為頭疼的一個(gè)類型，但是若能合理地利用平面幾何的相關(guān)知識，用推理代替計(jì)算，就能大大減少運(yùn)算量，從而提升解題的效率[2].平面幾何與解析幾何之間關(guān)系密切，將一些簡單的平面幾何中的知識，例如三角形的相似、射影定理、角平分線定理、圓的性質(zhì)定理等運(yùn)用到解析幾何中往往會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果.這就需要教師在平時(shí)的教學(xué)工作中注意培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和知識遷移能力，促進(jìn)學(xué)生對知識的靈活運(yùn)用.這不僅對于學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的提升有幫助，還能夠鍛煉學(xué)生解決問題的能力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.

（一）基本知識點(diǎn)方面的考查

在高考數(shù)學(xué)的解析幾何的試題中，往往第一題是對解析幾何的基本知識的考查應(yīng)用，這就要求學(xué)生必須掌握橢圓、雙曲線、拋物線等的基礎(chǔ)知識，利用具體的定義來求解相應(yīng)的軌跡方程.這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)中，對于基礎(chǔ)性知識的講解與應(yīng)用提高重視.

（二）綜合運(yùn)用方面的考查

坐標(biāo)系法往往是解決圓錐曲線和直線位置關(guān)系的主要方法，尤其是對于高考中的大題而言，訓(xùn)練學(xué)生在分析幾何條件的基礎(chǔ)上，選擇合適的代數(shù)形式對幾何問題進(jìn)行相應(yīng)的表示，建立系統(tǒng)性、整體性的思維方式，對學(xué)生的成績提升以及未來發(fā)展都具有重要意義.

三、高中數(shù)學(xué)解析幾何的教學(xué)策略

解析幾何在高考中有著重要的地位，也是教師在高三數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)中的重點(diǎn).一方面，數(shù)學(xué)教師要加強(qiáng)對學(xué)生解析幾何基礎(chǔ)知識的教學(xué)和基本能力的訓(xùn)練;另一方面，要讓學(xué)生在掌握基礎(chǔ)題型的前提之下，提升解析幾何和平面幾何的綜合應(yīng)用能力.

（一）進(jìn)行一定的思維訓(xùn)練

對試題的具體解決方法的尋找屬于“術(shù)”的層面的教學(xué)工作.對于高中數(shù)學(xué)教師而言，在教學(xué)工作中，不僅要注重對學(xué)生的“術(shù)”的培養(yǎng)，也要注重對學(xué)生的“道”的培養(yǎng).教師要站在數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)思維的角度，將數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和解析幾何的分析價(jià)值進(jìn)行明確，教導(dǎo)學(xué)生如何根據(jù)自己的直覺思維，結(jié)合自己的抽象思維，進(jìn)行相應(yīng)的歸納總結(jié)，對其中的思維想法進(jìn)行提取，進(jìn)而促進(jìn)順利解題[3].正如笛卡爾的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵所倡導(dǎo)的那樣，將自己的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行系統(tǒng)化、整體化，這將不僅有利于學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提高，更有利于學(xué)生綜合能力的培養(yǎng).

（二）立足典型試題，總結(jié)解題方法

尋找出解決解析幾何題的有效途徑，是教師在進(jìn)行解析幾何問題講解時(shí)的一大重點(diǎn).教師要針對解析幾何問題中的重要的、常見的、具有代表性的問題，例如上面高考題中的直線MN過定點(diǎn)P的問題，進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練，根據(jù)本班學(xué)生的接受能力和知識基礎(chǔ)進(jìn)行相應(yīng)的試題的難度和題型的選擇，為學(xué)生精心設(shè)計(jì)解析幾何試題，針對學(xué)生的計(jì)算能力、思維能力以及舊知識的復(fù)習(xí)情況進(jìn)行充分的測試，在測試中提升學(xué)生對知識的掌握程度.另外，教師也要及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題中的問題，對于一些共性的問題，教師要在課堂上進(jìn)行相應(yīng)的點(diǎn)評講解，對于一些個(gè)性的問題，教師則可以采取批注或課下單獨(dú)輔導(dǎo)的形式解決.

然而，需要注意的是，教師在進(jìn)行解題方法總結(jié)的過程中，要將學(xué)生放在課堂的主體位置，而不是由教師進(jìn)行知識的歸納、總結(jié)，然后讓學(xué)生對具體的解題過程和解題技巧進(jìn)行單純的記憶.這種教學(xué)方法，一方面，不利于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力的發(fā)展，因?yàn)閷W(xué)生并沒有真正理解教師所總結(jié)出來的解題方法的精髓，在如今高考試題不斷創(chuàng)新的大背景之下，并不能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.另一方面，這種對于教學(xué)技巧的灌輸式教學(xué)模式，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生僅僅是孤立地進(jìn)行解題方法的記憶，學(xué)生將精力錯(cuò)誤地用在訓(xùn)練模仿力和記憶力上，這就導(dǎo)致學(xué)生在進(jìn)行解題時(shí)，往往只是機(jī)械性地熟練操作，并不能深入理解題目背后的含義[4].教師在立足典型試題總結(jié)解題方法時(shí)，應(yīng)該以學(xué)生為主體，教師此時(shí)不是知識權(quán)威者，而應(yīng)該是引導(dǎo)者，應(yīng)幫助學(xué)生自己總結(jié)出相應(yīng)的規(guī)律性、技巧性的解題方法，這不僅有利于學(xué)生加深這部分知識的印象，而且學(xué)生在課堂中探索出相應(yīng)的解題方法能夠有效地提升他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的滿足感和自信心.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的更深層次的學(xué)習(xí)，對于他們的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)意識的形成都具有重要意義.