單元整體教學(xué)視角下的基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

蔡晶晶

摘 要：通過(guò)具體教學(xué)案例，探討單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的理念和策略，既關(guān)注知識(shí)目標(biāo)和技能目標(biāo)的達(dá)成，也關(guān)注數(shù)學(xué)思想、核心素養(yǎng)這些高層次目標(biāo)的達(dá)成。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)卧w;教學(xué)設(shè)計(jì);核心素養(yǎng);基本不等式

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)四條主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法，關(guān)注數(shù)學(xué)邏輯體系、內(nèi)容主線、知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，提倡單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)。單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)將各個(gè)相互聯(lián)系、相互作用的若干環(huán)節(jié)有機(jī)融合成一個(gè)整體，以數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)為綱領(lǐng)，整合優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容體系，選擇恰當(dāng)?shù)恼w教學(xué)策略，使點(diǎn)狀的知識(shí)得以結(jié)構(gòu)化、整體化，讓單一的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到系統(tǒng)化建構(gòu)和持續(xù)性培養(yǎng)。本文以人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)1（2019年版）》中的2.2“基本不等式”（2課時(shí)）的單元教學(xué)設(shè)計(jì)為例，進(jìn)行整理與思考，與同行交流。

一、創(chuàng)設(shè)情境

在前面研究不等式性質(zhì)中，我們發(fā)現(xiàn)：第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)（根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)）抽象得出的圖形中，四個(gè)小直角三角形的面積之和與大正方形ABCD的面積，大小關(guān)系如何？請(qǐng)用數(shù)學(xué)式子表示。

追問(wèn)：a，b滿足什么條件時(shí)等號(hào)成立？如何利用代數(shù)方法證明這個(gè)不等式？

[設(shè)計(jì)意圖]：通過(guò)對(duì)兩部分面積的比較，幫助學(xué)生從直觀上理解基本不等式的一種變形形式，為接下來(lái)利用換元法推導(dǎo)出基本不等式作鋪墊。最后利用完全平方公式證明上述不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

探究一：令a，b>0，用和分別代替不等式里的a，b，可以得到什么結(jié)論？

[設(shè)計(jì)意圖]：利用換元法，推導(dǎo)出基本不等式，把基本不等式與完全平方公式建立聯(lián)系，并利用不等式性質(zhì)進(jìn)行證明，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想。

二、深化認(rèn)識(shí)

探究二：我們還可以怎樣證明基本不等式？

追問(wèn)：分析法證明命題的思路是什么？格式是什么？

[設(shè)計(jì)意圖]：利用分析法“執(zhí)果索因”，讓學(xué)生對(duì)基本不等式有更深刻認(rèn)識(shí)，并通過(guò)典型案例理解分析法，為高中階段的推理與證明提供更豐富策略。

三、理解升華

探究三：如上圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b，。如何利用這個(gè)幾何圖形證明基本不等式？

[設(shè)計(jì)意圖]：借助學(xué)生熟知的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生將和與圖中的幾何線段聯(lián)系起來(lái)，從而得到基本不等式的幾何解釋?zhuān)簣A的半徑不小于半弦（即圓的直徑是最長(zhǎng)的弦），通過(guò)數(shù)形結(jié)合賦予基本不等式幾何直觀形象。同時(shí)借助信息技術(shù)，展示點(diǎn)C在直徑AB上移動(dòng)的過(guò)程，體會(huì)基本不等式中蘊(yùn)含的“等式”與“不等式”的內(nèi)在聯(lián)系。

四、歸納提升

層次1：理解基本不等式的背景及其變式

（1）基本不等式的代數(shù)解釋?zhuān)何覀儼呀凶鲀蓚€(gè)正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫作兩個(gè)正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，則基本不等式可表示為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

（2）基本不等式的幾何解釋?zhuān)毫預(yù)C=a，BC=b，則CD≤OD，即（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）。

（3）基本不等式的變形形式：

引申結(jié)論：（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）。

層次2：注意基本不等式求最值的條件

學(xué)生在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，經(jīng)常會(huì)忽略“一正、二定、三相等”這一前提條件，其中“一正”是指“正數(shù)”（a，b>0）;“二定”是指“定值”（若ab為定值，則有最小值;若為定值，則ab有最大值）;“三相等”是指“相等”（等號(hào)成立的條件是a=b）。

例1：已知x>0，求的最小值。

追問(wèn)1：“求的最小值”的含義是什么？

追問(wèn)2：所求代數(shù)式與基本不等式在形式上有何聯(lián)系？如何求的最小值？

變式1：已知x>0，求的最小值。

變式2：已知x>1，求的最小值。

[設(shè)計(jì)意圖]：利用基本不等式求最值問(wèn)題，需要從所求代數(shù)式與基本不等式在形式上的聯(lián)系入手，必要時(shí)還可對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，使之符合“一正、二定、三相等”的形式。

例2.已知a，b>0，且，求a+b的最小值。

追問(wèn)1：請(qǐng)觀察以下解法是否正確？并說(shuō)明你的理由。

解：由（a，b>0）得：，又∴a+b的最小值為12。

錯(cuò)誤原因：兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)成立。

追問(wèn)2：請(qǐng)觀察已知等式與所求代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，思考本題正確解法。

法一（“1”的代換）：由a，b>0，且得：

（當(dāng)且僅當(dāng)即a=4，b=12時(shí)取到等號(hào)）。

法二（配湊法）：由得（a-1）（b-1）=9，又a，b>0∴0<<1，0<<1，即a>1，b>9∴a-1>0，b-9>0

（當(dāng)且僅當(dāng)a-1=b-9即a=4，b=12時(shí)取到等號(hào)）。

法三（消元法）：由（a，b>0）得：>0，a>1

（當(dāng)且僅當(dāng)即a=4，b=12時(shí)取到等號(hào)）。

變式：已知a，b>0，且a+b=4，求的最小值。

[設(shè)計(jì)意圖]：本題解題方法多樣，不過(guò)最常用的當(dāng)屬“1”的代換。有時(shí)和不一定為“1”，還需加以變形，利用化歸思想，實(shí)現(xiàn)舉一反三。

層次3：掌握基本不等式的運(yùn)用技巧

例3：已知x，y>0，求證：

（1）如果積xy等于定值p，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值;

（2）如果和x+y等于定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值。

追問(wèn)：利用基本不等式可以解決哪兩類(lèi)最值問(wèn)題？

變式：已知0<x<1，求y=x（1-x）的最大值。

[設(shè)計(jì)意圖]：讓學(xué)生體會(huì)到利用基本不等式可以解決兩類(lèi)最值問(wèn)題：“積定和最小，和定積最大”，為后續(xù)實(shí)際應(yīng)用埋下伏筆。

層次4：掌握基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

例4：（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短長(zhǎng)度是多少？（2）用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍一個(gè)矩形菜園，當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園面積最大？最大面積是多少？

追問(wèn)：如何把本例加以簡(jiǎn)化，轉(zhuǎn)化為上述兩種模型求解？

[設(shè)計(jì)意圖]：可將例4簡(jiǎn)化為：（1）已知矩形的面積為定值，長(zhǎng)與寬分別取何值時(shí)周長(zhǎng)最短？（2）已知矩形的周長(zhǎng)為定值，長(zhǎng)與寬分別取何值時(shí)面積最大？從而轉(zhuǎn)化為“積定和最小，和定積最大”進(jìn)行求解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價(jià)值。

例5：某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？

追問(wèn)1：如何求水池的總造價(jià)？（設(shè)池底相鄰兩邊的邊長(zhǎng)分別為xm，ym，水池的總造價(jià)為z元）

追問(wèn)2：如何把本例轉(zhuǎn)化為基本不等式運(yùn)用的常見(jiàn)模型求解？

[設(shè)計(jì)意圖]：本題背景更加復(fù)雜，要對(duì)實(shí)際問(wèn)題加以提煉，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：“已知xy=1600，x，y取何值時(shí)，最小”，從而利用“積定和最小”求解，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。

變式：（P48練習(xí)第2題）用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m.當(dāng)這個(gè)矩形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，菜園面積最大？最大面積是多少？

[總結(jié)提升]：

引導(dǎo)學(xué)生回顧本單元內(nèi)容，回答下列問(wèn)題：通過(guò)本節(jié)課，你學(xué)到了哪些知識(shí)？掌握了哪些方法？體會(huì)到哪些思想？

單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)整合了教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)要素，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)流程與教學(xué)評(píng)價(jià)和反思，是一個(gè)有機(jī)的整體。整體中的各部分，層層遞進(jìn)，相互作用，在具體實(shí)踐中要從整體把握、整體優(yōu)化、整體設(shè)計(jì)、整體推進(jìn)四個(gè)方面展開(kāi)。本節(jié)課正是從培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯思維入手，通過(guò)多層次、多角度挖掘內(nèi)涵，達(dá)到對(duì)基本不等式的熟練掌握，有利于學(xué)生直觀想象、抽象概括、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的達(dá)成。

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].人民教育出版社.2017

本文系福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究2019年度立項(xiàng)課題《素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)踐研究》（課題編號(hào)：MJYKT2019-083）的階段性研究成果，也系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2019年度立項(xiàng)課題《整體性數(shù)學(xué)思維培育下的教學(xué)案例研究》（課題編號(hào)：FJJKXB19-905）的階段性研究成果