留有『新懸念』，讓學(xué)習(xí)在持續(xù)、主動(dòng)的探究中走向深刻
——以《三角形的秘密》教學(xué)為例

文|管小冬

小時(shí)候聽(tīng)單田芳先生的評(píng)書(shū)，印象最深的是每到情節(jié)緊要處，他便會(huì)來(lái)句“欲知后事如何，請(qǐng)聽(tīng)下回分解”，讓人恨不得把他從收音機(jī)中揪出來(lái)，講個(gè)究竟，道個(gè)明白。后來(lái)才知道，這叫“懸念”，是文藝作品中常用的一種表現(xiàn)技法，指“讀者、觀眾、聽(tīng)眾對(duì)文藝作品中人物命運(yùn)的遭遇，未知的情節(jié)的發(fā)展變化所持的一種急切期待的心情”。單先生在講評(píng)書(shū)時(shí)，于關(guān)鍵處斷章，讓大家欲罷不能，不知不覺(jué)就成了他的“追星族”，運(yùn)用的就是設(shè)置“懸念”的技法。

成為教師，有了些經(jīng)驗(yàn)后，再回想起兒時(shí)的這種經(jīng)歷時(shí)，便想著如果教學(xué)中我們也能像單先生那樣，時(shí)時(shí)都能給學(xué)生留有“新懸念”，讓他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“一波方平，一波又起”，那么，在這樣的體驗(yàn)中所進(jìn)行的數(shù)學(xué)探究，一定會(huì)是件持久的趣事，學(xué)習(xí)也一定會(huì)在他們持續(xù)、主動(dòng)的探究中不斷走向深刻。

為什么這樣認(rèn)為呢？

首先，“懸念”意味著一個(gè)新問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與提出。愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更重要。因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題也許僅是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問(wèn)題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。”《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)”）也指出，“學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)”。“課標(biāo)”中的課程目標(biāo)由原來(lái)的“兩能”變?yōu)椤八哪堋?，也正是意在突出“發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力”在學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展方面的重要作用。留有“新懸念”便是指學(xué)生在對(duì)某一數(shù)學(xué)問(wèn)題或現(xiàn)象的探究過(guò)程中，在觀察、思考、分析與交流的基礎(chǔ)上，又有了新的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而提出了與當(dāng)前問(wèn)題相關(guān)聯(lián)的新問(wèn)題，并且對(duì)解決問(wèn)題、尋求結(jié)果有著強(qiáng)烈的心愿。這種強(qiáng)烈的心愿會(huì)驅(qū)使他們主動(dòng)投入到持續(xù)、深入的探究中去。

其次，“懸念—發(fā)現(xiàn)—新懸念—新發(fā)現(xiàn)”這種循環(huán)遞進(jìn)的學(xué)習(xí)與探究，契合真實(shí)環(huán)境下的學(xué)習(xí)與研究進(jìn)程。1896年，鈾元素放射性質(zhì)的研究給居里夫人留下了“新懸念”———“一定還有別的元素也具有同樣的放射性質(zhì)”。這一懸念驅(qū)動(dòng)她繼續(xù)研究并發(fā)現(xiàn)了釷元素，同時(shí)又留下一個(gè)“新懸念”，即一定有一種比鈾和釷的放射作用強(qiáng)得多的未知元素。進(jìn)而她才在研究中發(fā)現(xiàn)了鐳，為人類(lèi)探索原子世界的奧秘打開(kāi)了大門(mén)，并由此誕生了一門(mén)新的學(xué)科——放射學(xué)。居里夫人的這一研究歷程告訴我們：在真實(shí)而復(fù)雜的問(wèn)題研究中，往往會(huì)有新感悟、新發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而生成新問(wèn)題，形成新懸念。這些新感悟、新發(fā)現(xiàn)、新問(wèn)題、新懸念會(huì)催生我們不斷加深對(duì)研究的熱情與動(dòng)力，進(jìn)而進(jìn)入新的境界。

然而，回顧我們的現(xiàn)實(shí)教學(xué)，往往卻很少能引領(lǐng)學(xué)生感受與經(jīng)歷這一點(diǎn)。教師常常會(huì)拘泥于具體的課時(shí)教學(xué)內(nèi)容，帶領(lǐng)學(xué)生就問(wèn)題解決去研究問(wèn)題解決。以《三角形的三邊關(guān)系》教學(xué)為例，教師創(chuàng)設(shè)與之密切相關(guān)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析并解決問(wèn)題。在得出“三角形兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論后，研究就戛然而止，隨后的練習(xí)都指向結(jié)論的深化理解與鞏固應(yīng)用。過(guò)于明晰的教學(xué)內(nèi)容劃分，過(guò)于聚焦的教學(xué)目標(biāo)指向，讓教師忽視了即使在對(duì)某一具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中，學(xué)生仍然有可能在觀察、思考、辨析與交流中，形成一些與當(dāng)前問(wèn)題相關(guān)聯(lián)，但卻看似沒(méi)有直接作用的新發(fā)現(xiàn)與新懸念。要知道，恰恰是這些看似沒(méi)有直接作用的新發(fā)現(xiàn)、新懸念，會(huì)催生學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)與研究的熱情與動(dòng)力，推動(dòng)著他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究不斷向更深、更廣處邁進(jìn)。而這樣的學(xué)習(xí)與研究，才是指向于“未來(lái)生活中，真實(shí)而復(fù)雜情境下的問(wèn)題解決”的“真學(xué)”，意味著學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的萌發(fā)，問(wèn)題解決能力的提升，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。再次，以“新懸念”推動(dòng)學(xué)生持續(xù)、主動(dòng)、深入地展開(kāi)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究，回應(yīng)了當(dāng)下教學(xué)中對(duì)兒童主體性的召喚。成尚榮先生在《兒童立場(chǎng)》一書(shū)中寫(xiě)到：“小學(xué)教育好比一扇門(mén)……小學(xué)教育就是引導(dǎo)學(xué)生一次又一次地叩開(kāi)這扇門(mén)，推開(kāi)這扇門(mén)，迎接一個(gè)又一個(gè)新日子和新世界?！憋@然，“怎樣引導(dǎo)？”“以何種方式叩門(mén)？”都是值得我們思考與研究的問(wèn)題。給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)留有“新懸念”，就是引導(dǎo)他們?cè)谥鲃?dòng)觀察與思考中發(fā)現(xiàn)不同的“叩門(mén)”方式，激發(fā)他們“一次又一次叩開(kāi)這扇門(mén)”的熱情，引領(lǐng)他們主動(dòng)去“叩門(mén)”，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)一個(gè)又一個(gè)更新的世界。情境教育創(chuàng)始人李吉林老師曾說(shuō)：“兒童會(huì)因好奇、因美感、因探究……凡此種種都促其形成一種關(guān)注、探究而要學(xué)?！蹦X科學(xué)的研究發(fā)現(xiàn)，“只有情緒才能為我們提供足夠多的熱情來(lái)達(dá)到目標(biāo)”。留有“新懸念”正是從心理學(xué)與腦科學(xué)的研究角度出發(fā)，注重“把情感活動(dòng)與認(rèn)知活動(dòng)相結(jié)合”，確保數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中兒童主體性的實(shí)現(xiàn)。

接下來(lái)，我將以《三角形的秘密》一課教學(xué)為例，與大家分享我在這方面的實(shí)踐與思考。

在對(duì)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)“三角形”這部分內(nèi)容進(jìn)行整體研究時(shí)，我發(fā)現(xiàn)，雖然都是在研究“三角形”，但教材對(duì)各課時(shí)內(nèi)容的編排均相對(duì)獨(dú)立（練習(xí)課除外），未能很好地呈現(xiàn)出同一主題下不同知識(shí)間的相互聯(lián)系，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自主開(kāi)展。比如，教材第二、第三課時(shí)的內(nèi)容分別是“三角形的三邊關(guān)系”與“三角形的內(nèi)角和”，前者研究三角形的邊，后者研究三角形的角，但無(wú)論是教材的編排還是我們的常規(guī)教學(xué)，給學(xué)生的感覺(jué)都是研究完邊，再去研究角，這兩者間似乎沒(méi)有關(guān)聯(lián)，只是在教材及教師的指導(dǎo)下聽(tīng)命行事。

對(duì)此，我思考，在“三角形”這個(gè)板塊中，是否能為學(xué)生預(yù)留一條可以貫穿這些內(nèi)容始終的線(xiàn)索，指引他們不斷有新的感悟、新的思考、新的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)而圍繞這些感悟、思考與發(fā)現(xiàn)進(jìn)行一些有目的、有意義并初具主動(dòng)性的數(shù)學(xué)活動(dòng)呢？如果可以，想必在這樣的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)有更進(jìn)一步探究的欲望，更能感受到數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，更能體驗(yàn)到數(shù)學(xué)本身的魅力。

經(jīng)過(guò)梳理，我發(fā)現(xiàn)，這條線(xiàn)索應(yīng)該就是三角形中邊與角這兩種元素間的緊密聯(lián)系。因此，從這個(gè)板塊的第一課時(shí)《認(rèn)識(shí)三角形》的教學(xué)開(kāi)始，我就十分注重為學(xué)生的探究留有“新懸念”，讓他們?cè)诟惺苋切芜?、角間緊密聯(lián)系的同時(shí)不斷有新的感悟與發(fā)現(xiàn)。（具體可參閱本刊2021年第1~2期《立足“高觀點(diǎn)”，讓學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)與兒童的和諧統(tǒng)一中走向深刻》）

同時(shí)，我又將“三角形的三邊關(guān)系”改編為“三角形的秘密”，這里的“秘密”不僅指“三角形的三邊關(guān)系”，更指學(xué)生在發(fā)現(xiàn)三角形的角與其對(duì)邊相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，更多可能的發(fā)現(xiàn)。

關(guān)于這一內(nèi)容新授部分的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考，大家可參閱本刊2021年第5期《創(chuàng)設(shè)“真情境”，讓學(xué)習(xí)在學(xué)與教的價(jià)值歸一中走向深刻》一文。以下案例重點(diǎn)介紹在新授部分教學(xué)的基礎(chǔ)上，如何為學(xué)生留有“新懸念”，引領(lǐng)他們持續(xù)、主動(dòng)、自發(fā)地展開(kāi)數(shù)學(xué)探究。

【案例】“三角形的秘密”拓展練習(xí)

師：通過(guò)剛才的探究我們發(fā)現(xiàn)，三角形中固定長(zhǎng)度的兩邊，夾角越大，對(duì)邊越長(zhǎng)；夾角越小，對(duì)邊越短。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)思考、交流與辨析，又發(fā)現(xiàn)了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。接下來(lái)，讓我們一起來(lái)看一道練習(xí)。

課件出示問(wèn)題后，學(xué)生先獨(dú)立思考，隨后教師組織交流。

生：第二個(gè)三角形是小明圍的，第一個(gè)是小紅圍的。因?yàn)槲覀兛吹降氖侨切沃屑t色與橙色這兩條邊的夾角，而固定長(zhǎng)度的兩邊，夾角越大，對(duì)邊就越長(zhǎng)，第二個(gè)三角形中這個(gè)角更大，所以它的對(duì)邊應(yīng)該更長(zhǎng)些。

師：是這樣嗎？大家同意他的觀點(diǎn)嗎？一起來(lái)看看。

課件移去遮擋的圖形，呈現(xiàn)兩個(gè)完整的三角形。（如圖1）

圖1

師：抓住三角形邊與角的關(guān)系進(jìn)行分析，真棒！小麗也用三根小棒圍成了一個(gè)三角形，你能想象出這個(gè)三角形的樣子嗎？

生：5厘米和8厘米這兩條邊的夾角應(yīng)該比第一個(gè)三角形的這個(gè)角要大些，比第二個(gè)三角形的這個(gè)角要小一些，大致應(yīng)該是這樣。（邊說(shuō)邊比劃）

生：這是一個(gè)等腰三角形，因?yàn)橛袃蓷l邊都是8厘米。

學(xué)生交流后，課件出示答案。（如圖2）

圖2

師：怎么樣，與你想象的一樣嗎？仔細(xì)觀察，你還有什么新發(fā)現(xiàn)？

生：等腰三角形的兩個(gè)底角大小相等。

師：是啊，好多同學(xué)都聽(tīng)說(shuō)過(guò)這一點(diǎn)。不過(guò)，想想，為什么這兩個(gè)角的大小會(huì)相等呢？與我們今天發(fā)現(xiàn)的秘密有關(guān)聯(lián)嗎？

師：小亮也圍了一個(gè)三角形，他的三角形又會(huì)是什么樣呢？

生：與小明的三角形一樣，因?yàn)樗玫娜“粢彩?厘米、8厘米和10厘米。

師：可能會(huì)是其他形狀嗎？

生：（邊說(shuō)邊比劃）不可能。大家看，如果5厘米和8厘米這兩條邊的夾角變了，那第三條邊的長(zhǎng)度也會(huì)變，就不可能是10厘米了。所以，只要三條邊的長(zhǎng)度相同，它們圍成的三角形形狀就一定相同。

師：看來(lái)，三角形的形狀與它的三條邊的長(zhǎng)度密不可分。想想，這里又會(huì)藏著三角形怎樣的秘密呢？

整節(jié)課中，在教師的精心設(shè)計(jì)下，為學(xué)生預(yù)留了多處可能會(huì)引發(fā)“新懸念”的空間。在這里，“三角形的秘密”既指經(jīng)過(guò)探究已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的“秘密”，也指在探究中初步有所感悟，但還未及深入去觀察、操作、思考的潛在“秘密”。

比如，在拓展練習(xí)之前的探究中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“固定長(zhǎng)度的兩邊，夾角越大，對(duì)邊越長(zhǎng)……”時(shí)，如果關(guān)注到三角形的三個(gè)角，就會(huì)初步發(fā)現(xiàn)這個(gè)夾角越大，另外兩個(gè)角就越小，而當(dāng)這個(gè)夾角張到接近180°時(shí)，另兩個(gè)角就越接近0°，由此引發(fā)關(guān)于“三角形內(nèi)角和”的“新懸念”。

又如，上面的練習(xí)中，小麗的等腰三角形的出現(xiàn)，可能引發(fā)的是“等腰三角形的兩個(gè)底角為什么相等？”這樣的“新懸念”。對(duì)于這一點(diǎn)，教材是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)操作進(jìn)行驗(yàn)證的，即把等腰三角形對(duì)折后能完全重合，說(shuō)明兩個(gè)底角相等。而在上面的活動(dòng)中，“新懸念”的引發(fā)，則為學(xué)生預(yù)留下了以推理、思辨來(lái)進(jìn)行論證的探究之路。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)“三角形中，大角對(duì)大邊”這一性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)也會(huì)成為可能。

再如，在對(duì)小亮所圍的三角形形狀的辨析中，為學(xué)生預(yù)留的“新懸念”是“三角形的邊、角與它的形狀間的緊密關(guān)聯(lián)”。從學(xué)生的發(fā)言中也可看出，他們已初步觸摸到“三角形的穩(wěn)定性”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

這些經(jīng)過(guò)教師精心設(shè)計(jì)，為學(xué)生預(yù)留下的“新懸念”，一定會(huì)成為學(xué)生心心念念、極欲一探究竟的數(shù)學(xué)“秘密”，也一定會(huì)促發(fā)他們主動(dòng)踏上揭秘的探究之旅。如此，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究就不再是教材與教師指引下的按部就班，而會(huì)在“懸念—發(fā)現(xiàn)—新懸念—新發(fā)現(xiàn)”的循環(huán)中不斷走向主動(dòng)、持久與深刻。