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    結(jié)構(gòu)化教學(xué),讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向縱深處

    2021-09-24 13:46:39高麗君
    關(guān)鍵詞:探究意識結(jié)構(gòu)化數(shù)形結(jié)合

    高麗君

    [摘 要]深入分析多個版本教材的正方形數(shù)相關(guān)內(nèi)容,發(fā)現(xiàn)正方形數(shù)的教學(xué)具有復(fù)合性、系統(tǒng)性、連貫性的特點。在此基礎(chǔ)上,重新定位教學(xué)目標,調(diào)整教學(xué)策略,從整體視角上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法表的對稱性,認識正方形數(shù),豐富學(xué)生對乘法的認識,培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維。

    [關(guān)鍵詞]正方形數(shù);結(jié)構(gòu)化;數(shù)形結(jié)合;探究意識

    [中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068(2021)23-0010-04

    【課前慎思】

    北京版教材數(shù)學(xué)百花園“有趣的數(shù)”位于表內(nèi)乘除法之后,教學(xué)內(nèi)容是正方形數(shù),標題里有兩個關(guān)鍵詞——有趣、數(shù)?!坝腥ぁ斌w現(xiàn)在數(shù)形結(jié)合,并以形命名數(shù);“數(shù)”則特指正方形數(shù)。為什么要講正方形數(shù)呢?因為學(xué)生已掌握表內(nèi)乘除法,具備了初步的計算能力,很顯然,這里的計算并不是簡簡單單的口訣計算,還需要兼顧知識要素和推理、驗證等能力要素。

    為什么北京版教材有這個內(nèi)容呢?它是獨立的設(shè)計嗎?查閱了各個版本教材(如圖1-1、1-2、1-3)后發(fā)現(xiàn),雖然其他版本教材沒有把正方形數(shù)的內(nèi)容作為獨立課時,但在期末復(fù)習(xí)或單元復(fù)習(xí)時都或多或少地體現(xiàn)了正方形數(shù),說明這一內(nèi)容并不是孤立存在的,而是學(xué)習(xí)完表內(nèi)乘法之后需要掌握的知識。顯然,這節(jié)課具有復(fù)習(xí)鞏固作用的復(fù)合功能,它是以正方形數(shù)作為媒介,培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維,促使學(xué)生主動遷移運用已學(xué)知識,打造知識網(wǎng)絡(luò)。

    (2)5乘幾,積個位上的數(shù)字有哪些?

    在這節(jié)課上學(xué)生需要形成哪些能力?數(shù)學(xué)課程標準指出:教師應(yīng)幫助學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。如課題所言,首先,這節(jié)課是有趣的,有趣是學(xué)習(xí)真正發(fā)生的土壤;其次,這節(jié)課要在輕松愉快的環(huán)境里培養(yǎng)學(xué)生提問的意識,提升學(xué)生的團隊合作能力、自主探索能力和獨立創(chuàng)造能力,使學(xué)生學(xué)會正方形數(shù)后能把這種學(xué)習(xí)的方法遷移到三角形數(shù)、五角形數(shù)等的學(xué)習(xí)中,并在這個過程中學(xué)會猜測、驗證、推理,畢竟知識易得,能力難培。

    【教學(xué)目標】

    1.從整體視角上引導(dǎo)學(xué)生了解乘法表的填數(shù)規(guī)則,溝通乘法口訣與乘法表的聯(lián)系,豐富學(xué)生對乘法的認識,進一步鞏固表內(nèi)乘法的運用。

    2.在研究乘法表的過程中讓學(xué)生用語言表述探究過程,發(fā)現(xiàn)乘法表的對稱性,認識正方形數(shù),及其在乘法表中的分布特點,滲透數(shù)形結(jié)合思想。

    3.以學(xué)生為中心,在分享、交流、互動、質(zhì)疑中,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力和思維水平,增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

    【教學(xué)過程】

    1.在更“大”的范圍里,認識乘法表的填數(shù)規(guī)則

    師(板書“數(shù)”):這節(jié)課我們將認識一個偉大的數(shù),大家在小學(xué)中學(xué)的第一個數(shù)就是它,其他數(shù)都是在它的基礎(chǔ)上一點一點加出來的,知道它是誰嗎?

    生(齊):1。

    師:1可以表示什么呢?(學(xué)生答,略)

    師:1可以表示任何數(shù)量是1的東西,也能表示一個正方形,從乘法含義的角度來看,一個正方形就是1個一,對應(yīng)乘法算式1×1=1,口訣“一一得一”。

    師:按照數(shù)數(shù)的規(guī)則,每次增加1,即可得到2、3、4、5、6、7、8、9。(數(shù)形結(jié)合,依次復(fù)習(xí)1的乘法口訣和含義)最后,在9的基礎(chǔ)上加1,就是10個一(鏈接一年級知識“10個一就是1個十,即10”)。因此,不管是1個十,還是10個一,都可以通過相同的乘法算式計算出來:1×10=10×1=10。

    師:如果現(xiàn)在有100個方塊,是一直往后擺容易看出來,還是用其他方法更好呢?

    生1:《蟻國遷徙記》有一句經(jīng)典臺詞——哇,好長的隊!另起一行擺放會更容易看出來是多少個方塊。

    師(一行一行出示方格圖,讓學(xué)生數(shù),如圖3):2個十是2×10=20,3個十是3×10=30,4個十是4×10=40……9個十是9×10=90,10個十即10×10=100,說明這個大正方形里有100個格子。

    師:如果要把它們編成口訣,該怎么編?

    生2:一十得十,二十二十……十十一百。(學(xué)生編著編著便笑了)

    師:笑什么?知道為什么沒有10的乘法口訣嗎?

    生3:它比乘法口訣更簡單,所以不用專門學(xué)啦!

    師:剛才是橫著一行一行地看,由橫豎相乘算出的,豎著看呢?

    (學(xué)生再次一列一列地數(shù),并熟悉計算法則,結(jié)合整十數(shù)的含義,得到最上一行乘法表的結(jié)果,鞏固乘法表的計算規(guī)則。)

    【設(shè)計意圖:國內(nèi)任何版本教材均不直接教1的乘法口訣,默認學(xué)生會在2~9的口訣學(xué)習(xí)過程中自然習(xí)得,但對于低年級學(xué)生來說,至少需要有鏈接的過程,才能鞏固其對知識的理解能力;同樣,除了滬教版教材有專門的除數(shù)是10的除法這一課,國內(nèi)大部分版本教材也不專門教10的乘法口訣,默認學(xué)生學(xué)習(xí)100以內(nèi)數(shù)的認識時已掌握,但低年級學(xué)生的認知情況顯示,知識的遷移運用需要教師專門引導(dǎo),不應(yīng)認為學(xué)生理所應(yīng)當掌握。此外,這里通過數(shù)形結(jié)合的方式正好可以解釋九九乘法口訣表為什么沒有10的乘法口訣?!霸诟蟮姆秶铩本褪侵冈?0×10的乘法表里進行探究?!?/p>

    師:這里的大表格是10×10的正方形,請用前面的規(guī)則填寫剩下的空格。(給學(xué)生2分鐘時間自主完成,能填多少是多少)

    師:運用1的乘法口訣觀察圖5最左一列和最下一行的空格的填法,再用2的乘法口訣驗證發(fā)現(xiàn)。

    生4:不管是豎著填,還是橫著填,算出來的結(jié)果都一樣。

    生5:這讓我想起了乘法口訣,乘法口訣都是小的數(shù)在前,一句口訣可以替代兩個乘法算式,所以不需要全部都寫上。

    師(對稱軸用紅線,表示乘法表的對稱性):這個對稱軸很了不起啊,沿著它對折,你發(fā)現(xiàn)什么?

    生6:兩邊的數(shù)剛好能重合。

    【設(shè)計意圖:在鞏固乘法表的填寫規(guī)則的過程中,從特殊到一般,引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法表中的對稱現(xiàn)象,進而將這一發(fā)現(xiàn)與乘法口訣的編制法則結(jié)合起來。學(xué)生通過深度思考,理解了九九乘法口訣表為什么是“三角形”,而不是“長方形”,從而深入理解知識。此外,通過橫、豎兩個方向鞏固乘法表填寫規(guī)則的過程,表面上看是計算小正方形的數(shù)量,實際上是加強乘法口訣與面積的關(guān)系,為學(xué)生學(xué)習(xí)三年級的面積打好基礎(chǔ)?!?/p>

    2.數(shù)形結(jié)合,探索正方形數(shù)

    師:先看對稱軸上的數(shù),看看有沒有特殊的地方。左下角是1,表示1個1,1×1=1,是一個小“正方形”;2個2,2×2=4,也是圍成“正方形”;這里是10個10,即為100,對應(yīng)的是這100個小正方形格子,它們現(xiàn)在圍成了一個大“正方形”。對稱軸上的其他數(shù)呢?用同樣的方式圍一圈,可能是什么形狀?大膽地猜一猜,它們可能是哪些數(shù)。

    生1:我猜可能還是“正方形”,但我有點不確定是哪些數(shù)。

    師:數(shù)學(xué)上的猜測非常重要,它是通往真理的必要途徑。有了方向,現(xiàn)在就在練習(xí)單上試一試吧。

    生2:橫豎各折疊起一行方格,剩下邊長為9的正方形,它有9×9=81個方格,圍成一個大“正方形”。

    生3:剩下的“正方形”應(yīng)該是8×8、7×7、6×6、5×5、4×4、3×3。

    師:通過前面的探索,大家發(fā)現(xiàn)對稱軸上的1、4、9、16……這些數(shù)圍起來的都是“正方形”,能給它們?nèi)€名字嗎?

    生4:要不叫“正方形數(shù)”?

    師:你們都是小數(shù)學(xué)家,它們的名字就是運用圖形和數(shù)字結(jié)合起來的方式取的,在數(shù)學(xué)上它們就是叫正方形數(shù)!這跟之前學(xué)習(xí)乘法口訣方法不太一樣。

    師:黑板上的正方形數(shù)有1、4、9、16……100,還有別的嗎?

    生5:還有很多很多,只要在那條對稱軸上的數(shù)就是正方形數(shù),寫不完的。

    【設(shè)計意圖:這里的教學(xué)原本是把探究過程交給學(xué)生,但在總結(jié)驗證時運用折紙的方法,引導(dǎo)學(xué)生從邊長為9到3依次進行,并思考“為什么用‘減的方法,而非‘增的方法?”在方格圖里每次橫豎各增加一行、一列,由1逐步增加到9,學(xué)生要先判斷是不是正方形,再想對應(yīng)的數(shù)是什么,但這樣操作會破壞正方形的結(jié)構(gòu)。筆者的調(diào)整是在正方形里,依托對稱軸的性質(zhì),每次橫豎各去掉一行后還是正方形,學(xué)生關(guān)注的就僅僅是數(shù)的變化,相當于把研究目標首先放在一個大環(huán)境里,像去掉俄羅斯套娃一樣,一層一層研究清楚。這樣的模型還具有延伸性,學(xué)生可以反著在表內(nèi)乘法里找正方形數(shù),反著來一遍,正著再來一遍,學(xué)生就清楚了,得到了關(guān)于正方形數(shù)的整體的認識?!?/p>

    師:前面我們講的正方形數(shù)都是用小正方形圍起來的,除了正方形,還能不能用別的形狀?

    生6:教材上是用紅點代替,但我覺得用什么形狀都行,例如花、三角形、愛心都可以,主要是要按照這樣的規(guī)則擺。

    (學(xué)生做教材上的題目,填寫積是1、4、9、16的算式時根據(jù)點子圖溫習(xí)正方形數(shù)的特點,填寫積是25的算式時需要按順序想象,思考剩下的正方形數(shù)是什么以及對應(yīng)的點子圖的形態(tài)。這與前面的學(xué)習(xí)過程剛好相反,達到及時鞏固的作用。)

    出示正方形數(shù)的其他研究方案:

    師:學(xué)完正方形數(shù),你能給這節(jié)課取個名字嗎?

    生7:有趣的正方形數(shù)、好玩的正方形數(shù)、有規(guī)律的正方形數(shù)、神奇的正方形數(shù)、神秘的正方形數(shù)……

    3.拓展延伸,認識更多有趣的數(shù)

    師:這節(jié)課很特殊,是到現(xiàn)在為止唯一一節(jié)與形狀聯(lián)系起來命名數(shù)的課,也就是正方形數(shù),它是一個非常好的數(shù)形結(jié)合的例子。用數(shù)形結(jié)合的方法除了可以探索正方形數(shù),還可以研究什么數(shù)?猜一猜,通往真理的道路都是猜出來。

    生1:三角形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等。

    出示課件:

    師:無論你研究以上的任何一種數(shù),都應(yīng)該從幾開始研究?

    生2:從1開始研究,它最特殊。

    師:是的,就像這節(jié)課的課題——有趣,以前我們學(xué)過有趣的數(shù),今天學(xué)了有趣的數(shù),未來還會有很多有趣的數(shù)。所以這節(jié)課只是給你一塊敲門磚,教給你研究數(shù)的方法,希望你能保有好奇心,堅持研究下去,未來數(shù)學(xué)史上可能會留下你的名字喲!這節(jié)課給你最大的感受是什么?

    生3:以前我覺得數(shù)字跟形狀無關(guān),現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)不但關(guān)系密切,還可以用形狀給數(shù)命名。

    生4:現(xiàn)在知道居然有這么多用形狀命名的數(shù),很驚訝!

    生5:數(shù)學(xué)無處不在,規(guī)律也是無處不在的,要善于發(fā)現(xiàn)。

    【設(shè)計意圖:一節(jié)課只有40分鐘,時間非常有限,所以每一節(jié)課都應(yīng)像一粒種子,只有這樣,它才能具有蓬勃的生命力,有無限可能。本節(jié)課對于正方形數(shù)的研究,著重構(gòu)建由點成線、由線成面的學(xué)習(xí)模型,為學(xué)生學(xué)習(xí)面積單位打下基礎(chǔ),并基于學(xué)情適當拓展至普遍性的學(xué)習(xí),學(xué)生能夠形成探索數(shù)學(xué)問題的興趣與欲望,開闊視野。教師在探索過程中非常注重學(xué)生解決問題能力的培養(yǎng),讓學(xué)生感悟到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的樂趣,感受數(shù)學(xué)的價值,增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心?!?/p>

    【本文系北京市大興區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“小學(xué)數(shù)學(xué)長線融合項目的實踐研究”階段性成果(課題批準文號:19GHX002)?!?/p>

    (責(zé)編 金 鈴)

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