充分利用表象，使學生經(jīng)歷數(shù)學化

俞宏毓 朱向陽

摘要：數(shù)學學習應該是不斷數(shù)學化的過程。教師教學可以根據(jù)布魯納的“從實物操作到表象操作再到符號操作”認知理論，設計數(shù)學化的過程。其中，特別需要重視半具體、半抽象的表象操作的中介作用。教學《數(shù)圖形的學問》一課時，嘗試充分利用表象，使學生經(jīng)歷數(shù)學化。反思這節(jié)課的教學過程，可以得到如下教學啟示：情境設置要能促進學生的理解;啟發(fā)式教學不會過時;要使不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。

關鍵詞：數(shù)學化;表象;《數(shù)圖形的學問》

數(shù)學化是荷蘭著名數(shù)學家和數(shù)學教育家弗賴登塔爾提出來的。他認為，“用數(shù)學方法把實際材料組織起來就叫數(shù)學化”，學生應該學習數(shù)學化，而且是從最低的層次開始，也就是先對非數(shù)學內(nèi)容進行數(shù)學化（屬于橫向數(shù)學化）。張奠宙先生認為，人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中運用數(shù)學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程就是數(shù)學化，“讓學生學會數(shù)學地思考與研究各種現(xiàn)象，形成數(shù)學的概念、運算和法則，構(gòu)造數(shù)學模型，經(jīng)歷一個數(shù)學化的過程”是理所當然的。很多研究認為，數(shù)學學習應該是不斷數(shù)學化的過程，學會數(shù)學化是養(yǎng)成數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵。

關于如何進行數(shù)學化，張奠宙先生指出，“數(shù)學化是一個過程，是一個從問題開始，由實際問題到數(shù)學問題，由具體問題到抽象概念，由解決問題到更進一步應用的教育全過程”。顧泠沅先生認為，數(shù)學化就是在具體，半具體、半抽象，抽象之間的鋪排，是穿行于實物與符號之間的形式化過渡，因而可以根據(jù)布魯納的“從實物操作到表象操作再到符號操作”認知理論，設計數(shù)學化的過程。例如，教學“退位減法”時，讓學生經(jīng)歷“從擺小棒到用計數(shù)器再到減法公式”的數(shù)學化過程。再如，教學“有余數(shù)的除法”時，讓學生經(jīng)歷“從實際分豆子到腦中分豆子再到除法公式”的數(shù)學化過程。又如，教學“長方形和正方形的面積”時，讓學生經(jīng)歷“從實際數(shù)格子到腦中數(shù)格子再到面積公式”的數(shù)學化過程。因此，顧泠沅先生特別強調(diào)半具體、半抽象，即表象階段在數(shù)學化過程中的重要作用，認為表象操作是從實物操作到符號操作的中介。教師要充分利用表象，使學生經(jīng)歷數(shù)學化。

教學北師大版小學數(shù)學四年級上冊“數(shù)學好玩”實踐活動單元中的“數(shù)圖形的學問”專題時，教師便嘗試充分利用表象，使學生經(jīng)歷數(shù)學化。

一、課前思考

“數(shù)圖形的學問”和三年級上冊的“搭配中的學問”、六年級上冊的“比賽場次”屬于一個系列，都是簡單的組合問題。小學階段簡單組合問題的學習可以為高中階段排列組合知識的學習打下基礎。三個專題呈現(xiàn)出從簡單到復雜、從具體到抽象的變化趨勢?！皵?shù)圖形的學問”起著承上啟下的作用。

“數(shù)圖形的學問”教材從“鼴鼠鉆洞”的情境出發(fā)，讓學生思考鼴鼠有幾條跑動路線，引入4點組合問題。該情境的設置非常巧妙：4個洞在一條直線上。因此，教師可以引導學生在一條直線上取點（代表洞）數(shù)連線段（代表路線），讓學生經(jīng)歷從“求鼴鼠跑動路線條數(shù)”到“數(shù)線段條數(shù)”再到“列式計算”的數(shù)學化過程。教學過程中，可以緊緊抓住“數(shù)線段條數(shù)”這個表象階段，使學生充分理解簡單的組合問題，不難解決更復雜的組合問題，出現(xiàn)錯誤也能及時發(fā)現(xiàn)。

二、課堂流程

（一）情境引入

給出教材情境后，教師先引導學生讀懂題意，關注鼴鼠鉆洞的方向性，防止解題出錯——

師 （出示教材情境圖，如圖1）你讀懂了什么？來說說看。

生 小鼴鼠可以選一個洞進去，但是不能從進去的洞出來。

生 鼴鼠從第二個洞進去的話，不可以從第一個洞出來。

師 你是從哪里看出來的？

生 題目說向前走，從第一個洞里出來就是向后走了。

師 那我們給它定個方向，（同步指圖）這邊是左邊，這邊是右邊。小鼴鼠從左邊的洞鉆進去后，就只能從右邊的洞鉆出來。

（二）從求路線條數(shù)到數(shù)線段條數(shù)的數(shù)學化

在自主嘗試求路線條數(shù)的過程中，學生出現(xiàn)了“在情境圖上畫并數(shù)路線”“畫示意圖并數(shù)路線”以及“直接列式計算”等多種方法。其中，畫示意圖的方法占大多數(shù)，并且主要有如圖2所示的三種方法。

教師抓住這半具體、半抽象的表象階段，展示如圖2所示的三種畫示意圖的方法，讓學生觀察“哪一種圖更簡潔、更方便”，引導學生聚焦畫線段圖的方法。然后，引導學生關注現(xiàn)實與表象的要素之間的“一一對應”，經(jīng)歷從求路線條數(shù)到數(shù)線段條數(shù)的數(shù)學化——

師 知道怎么由情境圖畫線段圖嗎？

生 知道。

師 先畫什么？（稍停）用一條直線來表示地平線，然后用什么來表示洞？

生 一個圓圈。

生 一個點。

師 情境圖中小鼴鼠挖了幾個洞？

生 4個洞。

師 那就在地平線上點幾個點？

生 4個點。

師 每一個點表示什么？

生 一個洞。

師 那么尋找有幾條路線就變成了什么問題？

生 數(shù)線段。

師 為什么變成了數(shù)線段的問題呢？比如說洞口A、洞口B、洞口C、洞口D，如果從洞口A進去，可以從洞口B出來，也可以從洞口C出來，還可以從洞口D出來。也就是說，A到B的這條線段表示的意思是什么？

生 一條跑動的路線。

師 所以，有幾條這樣的線段就有幾條跑動的路線。

（三）強調(diào)數(shù)線段條數(shù)的順序

在自主嘗試數(shù)線段條數(shù)的過程中，學生出現(xiàn)了如圖3所示的兩種順序的數(shù)法。

數(shù)線段條數(shù)時的順序?qū)τ诓怀鲥e，即不數(shù)重、不數(shù)漏（尤其是遇到點比較多的情況時），以及發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而列式計算，都具有重要的意義。因此，教師讓兩個學生分別展示兩種順序的數(shù)法，啟發(fā)學生總結(jié)數(shù)的規(guī)律，從而強調(diào)數(shù)的順序——

師 我發(fā)現(xiàn)同學們在數(shù)的時候都沒有多數(shù)或少數(shù)，為什么？你們是怎么做到的？

生 因為我們是有規(guī)律地數(shù)的。

師 用什么規(guī)律數(shù)？

生 從點……

師 （指著圖3中的第一種數(shù)法）比如說從點出發(fā)的時候，是怎么樣數(shù)的？

生 從左到右。

師 而不是數(shù)完點A了，就數(shù)點C，再數(shù)點B，等等。也就是說，是按照順序來數(shù)的。（指著圖3中的第二種數(shù)法）按段來數(shù)的時候，也是有順序的：先數(shù)一段的，再數(shù)兩段的，接著數(shù)三段的?？偟膩碚f，我們在數(shù)的時候做到什么就不會亂、不會錯？

生 按順序數(shù)。

師 對，按順序數(shù)，就不會重復，也不會遺漏了。

（四）從數(shù)線段條數(shù)到列式計算的數(shù)學化

通過數(shù)線段條數(shù)解決了“鼴鼠鉆洞”的4點組合問題后，教師展示“菜地旅行”的情境，讓學生通過數(shù)線段條數(shù)解決“有5個站點的單程車要準備多少種車票”的5點組合問題。然后，進一步延伸到更多站點的情況，激發(fā)學生的認知沖突，引導學生從遞推的角度發(fā)現(xiàn)數(shù)量增加的規(guī)律，理解列式的原理，從而經(jīng)歷從數(shù)線段條數(shù)到列式計算的數(shù)學化——

師 5個站點有10種票。那老師再進一步：路線上又開辟了一個新的站點，有6個站點，你知道有多少種車票嗎？誰能很快得出結(jié)果？

生 有15種車票。

師 你是怎么得到的？

生 因為多了一個站點，所以從原來那些站點出發(fā)或到原來哪些站點的車票都要再加1。

師 所以要比原來增加幾種車票？

生 5種。

師 所以可以用算式怎么表示？

生 5+4+3+2+1。

……

師 那10個站點的時候應該怎么寫？

生 9+8+7+6+5+4+3+2+1。

師 非常棒！15個站點呢？

生 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

師 是的。找到規(guī)律，列出算式，接下來就是怎么算的問題了，是不是??？那么下次我們可以繼續(xù)探討對這樣的算式，怎樣又快又準地算出得數(shù)。

（五）三個拓展

實現(xiàn)了從數(shù)線段條數(shù)到列式計算的數(shù)學化后，教師對問題進行了三個拓展，開拓了學生的視野和思路，并且為后續(xù)內(nèi)容的學習做好了鋪墊。

第一個是內(nèi)容上的拓展，從簡單的組合問題拓展到簡單的排列問題，設置了“有8個站點的往返車要準備多少種車票”的問題。

教學過程中，學生出現(xiàn)錯誤時，教師征詢不同的意見后，再次引導學生回到數(shù)線段條數(shù)的活動中，尋找“乘2”的意義——

師 誰來匯報一下？

生 7+6+5+4+3+2+1=28。

師 是28種嗎？有沒有不同的意見？

生 我覺得這里應該乘2，因為它求出的只是單程的票數(shù)。

師 你從哪里看出來要乘2？從哪里看出來跟我們剛才的車票問題是不一樣的？

生 往返。

師 那么為什么往返時乘2就可以了呢？（稍停）我們可以倒回去再數(shù)一遍線段條數(shù)。

……

第二個是形式上的拓展，從一維的數(shù)線段問題拓展到二維的數(shù)平面圖形問題，設置了求圖4中平行四邊形個數(shù)的問題。

教學過程中，學生順利求出平行四邊形的個數(shù)后，教師引導學生發(fā)現(xiàn)等價性，把數(shù)平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)線段的問題，理解問題的本質(zhì)——

師 你怎么知道是4+3+2+1的，請你說說4在哪？

生 4就是一個一個的平行四邊形有4個，3就是兩個兩個的平行四邊形有3個，2就是三個三個的平行四邊形有2個，1就是四個四個的平行四邊形有1個。

師 你是用什么方法來數(shù)的？

生 按段的方法。

師 那我們能不能按點的方法來數(shù)？可以把這幅圖怎么樣？

生 畫成線段。

師 對，我們可以把它變成一條線段。那么，把這些斜著的邊都壓縮成了一個一個的什么呀？

生 點。

師 對，只要數(shù)一數(shù)兩點之間的線段有幾條，就可以知道平行四邊形有幾個了，是不是？

第三個也是形式上的拓展，從限定在一條直線上的點的組合問題拓展到?jīng)]有位置限定的點的組合問題，設置了握手問題和單循環(huán)賽問題，引導學生發(fā)現(xiàn)依然可以通過數(shù)線段條數(shù)的方法解決。

三、課后反思

反思這節(jié)課的教學過程，除了充分利用表象，使學生經(jīng)歷數(shù)學化這一特征，還有一些亮點和不足，由此可以得到一些教學啟示。

（一）情境設置要能促進學生的理解

情境教學是新課程改革倡導的教學方式之一。深入課堂可以發(fā)現(xiàn)，一些所謂的“情境教學”存在誤區(qū)：為了體現(xiàn)情境教學而設置情境，設置的情境不僅不能啟發(fā)學生思考，還容易誤導學生。因此，設置情境應該特別關注促進學生理解、幫助學生學習這樣的出發(fā)點。本節(jié)課中的幾個情境確實做到了這一點?！褒B鼠鉆洞”“菜地旅行”的情境都在無形中將問題限定為在一條直線上取點，讓學生更容易找到數(shù)線段的規(guī)律。

（二）啟發(fā)式教學不會過時

啟發(fā)式教學是一個古老的話題，但是不會過時，因為它行之有效。新課改對啟發(fā)式教學也有強調(diào)，如《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“處理好教師講授與學生自主學習的關系，注重啟發(fā)學生積極思考。”本節(jié)課的教學很注重啟發(fā)學生積極思考，所有的規(guī)律和結(jié)論都是在教師引導下由學生思考或探究得出的，而不是教師告知的。尤其是教師的很多提問都具有啟發(fā)性。例如，強調(diào)數(shù)線段條數(shù)的順序時，提問：“我發(fā)現(xiàn)同學們在數(shù)的時候都沒有多數(shù)或少數(shù)，為什么？你們是怎么做到的？”再如，處理往返車票問題，解釋“乘2”的意義時，提問：“你從哪里看出來要乘2？從哪里看出來跟我們剛才的車票問題是不一樣的？”這樣的提問都很含蓄，指出了思考的方向，留下了思考的空間。

（三）要使不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出了“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的數(shù)學教育理念。這一理念不僅要求數(shù)學教學尊重學生的主體性地位，而且要求數(shù)學教學正視學生的差異，尊重學生的個性，做到因材施教。這節(jié)課上，教師對學生的差異關注得不夠：給出“鼴鼠鉆洞”的情境后，有三名學生不需要借助表象操作，給出了“直接列式計算”的方法，但是，教師始終沒有關注這種做法，導致這三名學生在接下來的問題處理過程中，再也沒有直接列式計算，而是開始畫線段圖數(shù)線段了。對于這三名學生來說，這種借助表象操作的數(shù)學化過程是否是思維的倒退？他們當時是如何思考得出算式的？這些都需要教師的進一步關注。這三名學生有可能就是Lynn?Paine教授所說的“原本自己可以學會游泳的孩子”，結(jié)果“才能被埋沒了”。不過，這節(jié)課上，教師將列出算式后涉及的等差數(shù)列求和問題留到以后解決（可以留到六年級上冊的“比賽場次”教學中解決，并可以延伸到一般的情況），對教材中的組合問題進行了三個拓展（在學生可以接受的范圍內(nèi)，為后續(xù)內(nèi)容的學習做好了鋪墊），體現(xiàn)了教學的層次性，是因材施教的有效途徑之一。

參考文獻：

[1] 弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學[M].陳昌平， 唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1999.

[2] 張奠宙，宋乃慶.數(shù)學教育概論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[3] 孔凡哲.學會數(shù)學化 切實提升數(shù)學學科素養(yǎng)[J].小學數(shù)學教師，2015（6）.

[4] 彭綱.數(shù)學學科核心素養(yǎng)養(yǎng)成的關鍵是學會數(shù)學化[J].小學教學（數(shù)學版），2021（6）.

[5] 顧泠沅，王潔.教師在教育行動中成長——以課例為載體的教師教育模式研究（上）[J].課程·教材·教法，2003（1）.

[6] 顧泠沅.課堂視野中的教師及其指導者[J].課程·教材·教法，2014（1）.

[7] 俞宏毓.“長方形和正方形的面積與周長”教學指導研究報告[J].數(shù)學教育學報，2014（3）.

[8] 顧泠沅.口述教改——地區(qū)實驗或研究紀事[M].上海：上海教育出版社，2014.

*本文系2020年度江蘇高校哲學社會科學研究一般項目“義務教育階段課堂教學存在問題及改進研究”（編號：2020SJA0196）和2020年江蘇省社科基金后期資助項目“教師發(fā)展指導者研究”（編號：20HQ054）的階段性研究成果。相關研究得到浙江省義烏市繡湖小學朱劍英、李玲靜等老師的支持，以及南京信息工程大學人才啟動基金的資助，特此致謝。