隨機干擾的變風量空調模糊迭代學習預測控制

張 淬，郭迎清，黃典貴

（1.黃岡師范學院機電與汽車學院，湖北 黃岡438000；2.西北工業(yè)大學動力與能源學院 陜西 西安710072；3.上海理工大學能源與動力工程學院 上海200093）

1 引言

變風量空調相對于傳統(tǒng)的定風量空調來說具備低能高效的優(yōu)勢而得到了廣泛的應用[1]。對于空調來說，節(jié)能始終是最受關注的一個問題，對于空調所在的環(huán)境來說，溫度與濕度干擾是不可避免的。為跟蹤給定信號，空調控制系統(tǒng)若在干擾條件下反應劇烈，將會導致較大的能耗損失，而且控制性能也會受到較大影響[2]。

迭代學習控制算法由于其被控對象模型精度要求較低而被學者廣泛應用于軌跡跟蹤控制[3]。近幾年，迭代學習控制與其他理論相結合產生了許多的新型迭代學習控制方法比如PID迭代學習控制，自適應迭代學習控制以及模型參考迭代學習控制等[4-5]。但是迭代學習控制的應用必須滿足一個嚴格的重復性條件，但是在實際的變風量空調運行中，遇到的干擾基本上都是隨機干擾，因此傳統(tǒng)的迭代學習控制無法實現(xiàn)隨機干擾條件下的空調溫濕度跟蹤控制。

傳統(tǒng)的迭代學習預測控制通過求解穩(wěn)定條件確定迭代學習速率以及預測步長，但是此種方法使得該種控制器具備一定的保守性[6]。針對變風量空調的跟蹤控制以及能耗節(jié)約，提出了一種二維框架理論的模糊迭代學習預測控制。首先利用二維跟蹤框架對變風量空調模型進行相應處理從而得到相應的二維模型，另外，為了降低傳統(tǒng)迭代學習預測控制的保守性，利用模糊理論對學習速率與預測步長進行在線自適應調整，使得該控制器在保證跟蹤精度的條件下，提升響應速度以及干擾魯棒性，降低了擾動條件下的能耗損失。

2 變風量空調建模

嚴格來說變風量空調系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng)，為便于控制器設計，本文根據(jù)其工作原理進行線性化建模，該系統(tǒng)主要由兩部分組成，第一部分是空調所在空間模型，根據(jù)文獻[7]可知所在空間溫濕度模型分別為：

式中：tn—房間溫度，ts—送風溫度，T1r—所在空間溫度的時間常數(shù)，K1r—空間溫度的放大系數(shù)。所在空間的濕度模型為：dn—空間濕度，ds—送風濕度，T2r—空間濕度的時間常數(shù)。

第二部分是空調表冷器模型，表冷器的作用主要是，利用盤管內的冷凍水降低盤管表面流過的空氣的濕度和溫度。

其相應溫度與濕度模型為：

式中：T1h,T1c,T2c—各自模型的時間長數(shù)，K1h,K1c,K2c—各自模型的放大系數(shù)。

當送風與室內空氣混合時只能改變室內空氣的溫度，不會改變室內空氣的含濕量。

所以該變風量空調系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

3 二維框架理論

變風量空調在相同季節(jié)每天基本上均進行著重復工作，此種工作特點與間歇過程的特點十分相似，均是在有限的運性時間內不斷的重復相同的工作。所以，我們將變風量空調的控制作為一個間歇過程，另外還將變風量空調的溫濕度控制問題轉化成相應的間歇過程軌跡跟蹤問題。假設變風量空調系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間方程如下：

式中：k—運行批次，t—運行時刻，且滿足t∈[1,N]，N代表間歇過程一個批次的采樣次數(shù)，x∈Rn—狀態(tài)變量，u∈Rn—控制量，d∈Rn—干擾輸入，A,B,C—系統(tǒng)矩陣。

根據(jù)間歇過程的特點：不斷地在固定有限時間上重復某一確定工作，則可將間歇過程看成有時間軸和批次軸組成的二維系統(tǒng)，從而便于對間歇過程軌跡跟蹤問題的研究。存在如下二維狀態(tài)變量模型：

進一步將軌跡跟蹤問題轉換為：尋找Δu(t-1,k)，使得e(t,k+1)滿足收斂條件。

為便于說明二維框架理論，假設存在一個二維狀態(tài)空間模型：

其中：T(i,j)=[R(i,j)S(i,j)]T，

其中大小關系的定義為當h≤i且k≤j時，(h,k)≤(i,j)，當且僅當h=i且k=j時，(h,k)=(i,j)。

引理1[8]：設R(i,0)和S(i,0)為相應的初始值，若在(i,j)滿足(i,j)≠(0,0)的條件下有u(i,j)=0成立，那么可得T(i,j)=Wi,jT(0,0)。

利用上述分析對二維系統(tǒng)的零狀態(tài)響應進行求解：對于任意的(h,k)＜(i,j)，

若滿足單獨輸入u(h,k)≠0且R(i,0)與S(i,0)均等于0，

那么存在如下關系式：

根據(jù)線性系統(tǒng)理論可知狀態(tài)轉移矩陣與(i,j)無關，所以T(h,k)對T(i,j)的影響可以等價于Wi-h,j-kT(h,k)。

所以二維系統(tǒng)的零狀態(tài)響應可以表示為：

進一步求解二維系統(tǒng)的零輸入響應，若R(0,k)不等于0，而S(h,0)等于0，此時系統(tǒng)輸入為0，

故存在如下關系式：

此時零輸入響應為：

同理，若R(0,k)為0，而S(h,0)不等于0，此時系統(tǒng)輸入為0，故存在如下關系式：

此時零輸入響應為：

綜合上述推理可知該二維系統(tǒng)的零輸出響應為：

4 模糊迭代學習預測控制

4.1 迭代學習預測控制

引理2[9]：若系統(tǒng)的初始值保持不變，則二維模型滿足η(1,k)=0,?k＞0

針對二維系統(tǒng)，設計如下形式的迭代學習控制器：

式中：L—迭代學習速率。

將該種類型迭代學習控制的控制量作為二維系統(tǒng)的輸入量可得到式（19）：

根據(jù)引理2可知式（20）等價于：

在滿足假設的情況下針對公式（18）所示的控制器，迭代學習控制收斂的充分條件為是W0,1能夠保證漸近穩(wěn)定，該條件等價于矩陣I-CBL的特征值包含在單位圓里面[10]。

若上述充分條件成立，則只需尋找到合適矩陣L就等同于完成迭代學習控制器的設計。

已知存在如下結論：針對線性時不變系統(tǒng)來說，能夠通過壓縮映射方法對P型迭代學習控制的收斂性進行分析，相當于在系統(tǒng)滿足全局Lipschitz條件和初始條件相同的情況下，若，所以該迭代學習控制算法單調收斂。

根據(jù)上述結論，本文結合二維框架理論，提出一種針對隨機擾動的迭代學習預測控制方法，其表達式為：

式中：Δ(t-1,k+1)—批次間的控制量，

(t-1,k+1)—批次內的控制量，該批次內控制量主要是為了使得系統(tǒng)在運行過程中對隨機性、非重復性干擾具有魯棒性。

批次間通過P型迭代學習控制律進行控制可得相應的控制量表達式為：

式中迭代學習速率L可以通過迭代學習控制的收斂條件求得。

根據(jù)二維框架理論可知在迭代預測控制算法的作用下，二維系統(tǒng)的響應為：

利用式（25）得到相應的預測模型為：

式中：l∈[1,m]，m代表的是預測步長。

φ(t+l,k)預測初始值能夠通過之前時刻的狀態(tài)求得：

定義矩陣：

則公式（28）等價于：

其中的α,β,γ均為相應權重系數(shù)，且滿足均不小于0的條件。進一步將該目標函數(shù)表達式（30）轉換為矩陣形式：

利用無約束條件下的優(yōu)化理論進行求解可得相應的解的表達式為：

根據(jù)預測控制理論可知在控制系統(tǒng)運行過程中，是將當前時刻的控制輸入作用于被控對象，所以某一時刻的控制量為：

4.2 模糊調整策略

迭代學習預測控制的控制效果很大程度上依賴于學習速率與預測步長的大小。為達到較好的控制效果，學習速率與預測步長應該隨狀態(tài)的變化而自適應的調整。

因此，考慮到模糊理論較強的自適應調整能力[11]，提出了一種基于模糊規(guī)則的變學習速率與預測步長的迭代學習預測控制器。

模糊控制器的輸入量為控制響應與給定信號的誤差e(k)和及其變化量Δe(k)，其中Δe(k)=e(k+1)-e(k)，這兩個輸入量能夠反映此時預測控制的準確性以及魯棒性。

當預測誤差以及誤差變化率較大時，選擇較小的預測步長以及較大的學習速率從而提高預測控制精度，當誤差較小時，選擇較大預測步長以及較小的學習速率提升魯棒性以及響應速度，輸出量為學習速率l以及預測步長m，模糊輸入量與輸出量語言的模糊集分別為：{PB,PM,PS,ZR,NS,NM,NB},{B,MB,M,MS,S},分別進行歸一化處理，得到輸入量與輸出量的論域子集為：

式中：學習速率l的取值必須從穩(wěn)定范圍內選擇。

控制器輸入和輸出的隸屬函數(shù)曲線，如圖1和圖2所示。

圖1 輸入隸屬度函數(shù)Fig.1 Input Membership Function

圖2 輸出輸出隸屬度函數(shù)Fig.2 Output Membership Function

模糊控制規(guī)則，如表1所示。

表1 模糊規(guī)則表Tab.1 Fuzzy Rules Table

5 仿真驗證

已知變風量空調的模型如式（6）所示，從該模型中可以發(fā)現(xiàn)濕度控制是一個單獨的控制回路，為了便于驗證，將式（6）所示的變風量濕度控制傳遞函數(shù)模型為研究對象：

定義采樣周期為T=0.5，將連續(xù)傳遞函數(shù)（36）離散化得到離散狀態(tài)空間模型為：

利用MATLAB進行仿真，仿真驗證主要通過迭代次數(shù)均為10次的P型迭代學習控制控制、二維迭代學習預測控制以及二維模糊迭代學習預測控制三種控制算法進行對比。

給定一個濕度值為0.8的定常信號，在無噪聲干擾條件下，分別通過上述三種控制方式進行控制，響應對比圖，如圖3所示。

圖3 無擾動跟蹤響應圖Fig.3 Disturbance-Free Tracking Response Diagram

從圖3中可以看出，P型迭代學習控制的響應速度最快，其調節(jié)時間僅為16.7s，而二維迭代學習預測控制與二維模糊迭代學習預測控制的調節(jié)時間分別為24.5s和21.1s，說明迭代學習控制響應速度最快，但是模糊調整策略有助于提升迭代預測控制的響應速度。且通過圖4所示的穩(wěn)態(tài)放大圖可知兩種迭代學習預測控制方法在穩(wěn)態(tài)時均有不同程度的振蕩，相較而言，模糊迭代學習預測控制的穩(wěn)態(tài)過程比較平穩(wěn)，與目標濕度值也更為接近。這說明P型迭代學習控制在無干擾條件下的跟蹤控制響應速度更快，穩(wěn)態(tài)性能更好。而迭代學習預測控制相較于迭代學習預測控制響應速度較慢，穩(wěn)態(tài)誤差較大，主要原因是加入預測環(huán)節(jié)考慮了目標特性與動態(tài)特性。雖然兩種迭代控制效果均不如P型迭代學習控制，但是依舊能夠保證一定的控制性能，模糊迭代學習預測控制的穩(wěn)態(tài)誤差小于固定學習速率與步長迭代學習預測控制，說明模糊調整策略能夠減小跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差。進一步在濕度值為0.8的定常信號條件下，給定一個周期性的擾動信號：，在該擾動信號條件下三個控制算法的控制響應，如圖5所示，定義擺動量為響應超過目標值后的最大值減去最小值。在該種正弦周期性干擾下三種控制響應的擺動量大小，如表2所示。

圖4 跟蹤響應放大圖Fig.4 Tracking Response Magnification

圖5 周期擾動下的跟蹤響應圖Fig.5 Tracking Response Diagram under Periodic Perturbation

表2 響應最大擺動量對比表Tab.2 Contrast Ttable of Maximum Oscillation Response

從圖5和表2中可以得出，正弦干擾信號對P型迭代學習控制的影響最大，而相對來說，該周期性干擾對兩種迭代預測控制算法的影響較小，進一步驗證了無論是固定參數(shù)還是模糊策略的迭代學習預測控制對于周期性擾動均具有較好的魯棒性。

考慮到實際空調運行過程中的空氣流動具有混沌特性，為模擬該混沌擾動，在同樣目標濕度值的條件下，給定一個隨機噪聲干擾，該噪聲干擾的濕度幅值振蕩為±0.5，該噪聲干擾圖，如圖6所示。

圖6 隨機擾動信號圖Fig.6 Random Disturbance Signal Graph

在此種條件下，三個控制器的響應曲線與穩(wěn)態(tài)誤差對比放大圖如圖7與圖8所示，響應的擺動量，如表3所示。從中明顯可以看出，P型迭代學習控制與二維迭代學習預測控制的響應由于噪聲影響過大，較為明顯的偏離目標濕度值，無法實現(xiàn)對目標的跟蹤，說明P型迭代學習控制與傳統(tǒng)迭代學習預測控制對隨機干擾的魯棒性能較差，無法保證較大隨機干擾條件下的跟蹤性能。而二維模糊迭代學習預測控制響應依舊保持著較好的響應速度，且在達到穩(wěn)態(tài)后的擺動量僅為P型迭代學習控制與二維迭代學習預測控制的11.35%和15.64%，響應曲線也顯示了該控制響應依舊能夠較好的跟蹤目標濕度值。說明加入了預測控制之后，該控制器對隨機擾動具有較好的魯棒性，能夠在隨機噪聲影響下保證較好的跟蹤能力。

圖7 隨機擾動下的跟蹤響應Fig.7 Tracking Response under Random Perturbation

圖8 穩(wěn)態(tài)誤差放大對比圖Fig.8 Steady-State Error Amplification Contrast Diagram

表3 響應最大擺動量對比表Tab.3 Contrast Table of Maximum Oscillation Response

6 結語

針對變風量空調系統(tǒng)設計了一種基于二維框架理論的模糊迭代學習預測控制器。首先建立了變風量空調系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，然后介紹了二維框架理論，進一步利用該理論得到了迭代學習控制收斂的條件，最后得到了二維模糊迭代學習預測控制器的設計方法。經過仿真對比得到如下結論：1、P型迭代學習控制相對于迭代學習預測控制，更適合無干擾條件下精確模型的跟蹤控制。2、二維迭代學習預測控制對于周期性干擾具備較好的魯棒性，但對隨機干擾的魯棒性較差，無法在隨即干擾的條件下實現(xiàn)較好的跟蹤。3、二維模糊迭代學習預測控制不僅能夠保證在無干擾或者周期性干擾條件下具備較好的跟蹤效果，而且對大隨機干擾具有較強的魯棒性，能夠保證在較強隨機干擾下的良好跟蹤能力。