初中數(shù)學(xué)不等式問題的復(fù)習(xí)策略研究

李杰 雷紅 楊文

【摘 要】不等式在初中數(shù)學(xué)中有著較為重要的地位，初中數(shù)學(xué)教師如何在第一論復(fù)習(xí)中幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ)，提升能力，增強素養(yǎng)，最終利用不等式解決實際問題是本研究探討的核心。為此，本研究詳細梳理了以下幾個方面知識的復(fù)習(xí)方法：一是不等式的基本性質(zhì)及其計算;二是不等式在方程中的應(yīng)用;三是不等式在函數(shù)中的應(yīng)用;四是不等式在實際問題中的應(yīng)用。教師在不等式的復(fù)習(xí)中應(yīng)從側(cè)重技巧轉(zhuǎn)向側(cè)重創(chuàng)新意識和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);不等式問題;復(fù)習(xí)策略

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）22-0014-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對學(xué)生的不等式學(xué)習(xí)有以下要求：①根據(jù)實際問題，理解不等式的意義，探究不等式的基本性質(zhì);②能正確求解一元一次不等式，并能在數(shù)軸上畫出解集;③會用數(shù)軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集;④能根據(jù)實際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單的問

題[1]。為了落實這些要求，本研究由易到難，由淺入深，從不等式的基本計算、不等式與方程相結(jié)合、不等式與函數(shù)相結(jié)合，再到不等式與實際問題相結(jié)合，全面梳理初中階段有關(guān)不等式的知識，以便學(xué)生能夠精準(zhǔn)掌握。

1? ?吃透性質(zhì)，精準(zhǔn)計算

不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)有很多相通之處，如在方程（不等式）兩邊，分別加上或者減去一個數(shù)（式），這個數(shù)無論正負(fù)，都能夠使得原方程（不等式）成立;在方程（不等式）兩邊，分別乘以或除以同一個正數(shù)，也能使得原方程（不等式）成立。其區(qū)別在于方程兩邊同時乘以或除以一個負(fù)數(shù)時，方程仍然成立，但是不等式就不成立了，需要改變不等號的方向。為了讓學(xué)生能夠有效地復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)，筆者精心挑選了兩道典型例題。

例題1：如果a>b，那么下列結(jié)論中一定成立的是

（? ）。

A.1?a>1?b? ? ? B.2+a>2+b

C.ab>b2? ? ? ? D.a2>b2

例題2：解下列不等式組：，并在數(shù)軸上表示解集。

不等式的考查中最基本且最常見的是對不等式的基本性質(zhì)以及不等式（組）的解法的考查，這也是運用不等式解決其他問題的基礎(chǔ)。掌握不等式的基本性質(zhì)，學(xué)會使用一些常見的解題技巧，如賦值法，會大大降低不等式的解題難度，數(shù)軸的使用也有助于學(xué)生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的良好習(xí)慣。

解析：例題1：∵ a>b，因為不知道a，b的正負(fù)，此時可以運用賦值法舉一個反例。根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，容易得出答案為B。

例題2：由第一個不等式解得x>4，由第二個不等式解得x≤，通過數(shù)軸表示（如圖1），或者口訣“大大、小小沒得找”得出方程組無解。

雖然這類題目比較基礎(chǔ)，但是部分學(xué)生沒有牢固掌握不等式的性質(zhì)，在不等式兩邊同時除以負(fù)數(shù)時容易出錯，這也要求教師在平時的教學(xué)中重視基本概念的講解。

2? ?結(jié)合方程，深度融合

筆者研究發(fā)現(xiàn)，近幾年各地中考對不等式與方程的考查比較多，題目靈活而有層次感。其中含參問題是此類題目的難點。

例題3：已知關(guān)于x的分式方程=有負(fù)數(shù)解，則m的取值范圍為? ? ? ? ?。

例題4：當(dāng)a在什么范圍取值時，方程組的解都是正數(shù)？

不等式（組）與方程（組）相結(jié)合，特別是與分式方程相結(jié)合，不僅需要學(xué)生能自己建立不等關(guān)系，還需要學(xué)生有較強的計算能力。

解析：例題3：根據(jù)題意去分母得：x?2（x+4）=m，解得x=?8?m，由題得方程有負(fù)數(shù)解，則有?8?m<0，

得：m>?8，但由于分式方程要滿足分母不能為零，于是

?8?m≠?4，解得m≠?4，最后得出m>?8且m≠?4。

例題4：先用a表示出x、y的值，再根據(jù)方程組的解都是正數(shù)列出關(guān)于a的不等式組，求出a的取值范圍即可。解得，解得，又因為方程組的解是正數(shù)，可得，解不等式組得：a>。

例題3考查不等式在含參分式方程中的應(yīng)用，解答該題，學(xué)生先要化成整式方程，再根據(jù)“負(fù)數(shù)解”建立不等式，此時一定要考慮增根，這是難點也是易錯點。例題4考查不等式在方程組中的應(yīng)用，學(xué)生需要根據(jù)題意把方程組的解均用參數(shù)a表示出來，然后根據(jù)題意再建立不等式組求解。

3? ?數(shù)形結(jié)合，難點突破。

不等式與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等知識都有一定聯(lián)系，但與反比例函數(shù)的結(jié)合最為常見，數(shù)形結(jié)合思想是解決此類問題的關(guān)鍵。

例題5：如圖2，一次函數(shù) y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點，過點B作BC⊥x軸，垂足為C，已知A點的坐標(biāo)是（2，3），BC=2。

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式;

（2）根據(jù)所給條件，請直接寫出不等式kx+b?≥0的解集。

本題考查了利用函數(shù)和數(shù)形結(jié)合思想來解決不等式問題。若學(xué)生根據(jù)已知條件求出參數(shù)的值，再利用不等式的基本性質(zhì)求解，不僅耽擱時間，而且也容易計算錯誤。

解析：由題易得反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=，一次函數(shù)的關(guān)系式為y=x+1。根據(jù)函數(shù)圖象可得，當(dāng)?3≤x<0或x≥2時，不等式kx+b?≥0成立。

解決此類不等式問題需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)求解不等式就是比較函數(shù)值的大小，即可以看作 y=kx+b與 y=的兩個函數(shù)值的大小比較。其實質(zhì)就是兩個圖象的位置高低的比較，這樣就避免了繁瑣的計算。

4? ?結(jié)合實際，突出應(yīng)用

數(shù)學(xué)來源于生活，最終要應(yīng)用于生活。與不等式相關(guān)的應(yīng)用題很多，學(xué)生在閱讀該類題的題干時就應(yīng)該判斷哪些是關(guān)鍵詞，有哪些需要挖掘的隱含條件。

例題6：溫州某印刷廠經(jīng)過市場調(diào)查，印刷的收費標(biāo)準(zhǔn)由制版費與印刷費兩部分組成，制版費y1（百元）與印刷數(shù)量x（萬件）之間的關(guān)系式為 y1=kx+b（0≤x≤3），已知當(dāng)印刷數(shù)量為1萬件時，制版費是8（百元），當(dāng)印刷數(shù)量不少于3萬件時，制版費全免。印刷費 y2（百元）與印刷數(shù)量x（萬件）之間的關(guān)系式為 y2=ax2（a>0）。

（1）求出 y1與x之間的函數(shù)表達式;

（2）當(dāng)a=1時，求印刷數(shù)量為多少萬件時，收費最少？

（3）當(dāng)印刷數(shù)量不超過3萬件，且收費不低于7百元時，求a的范圍。

例題7：為推進“世界著名花城”建設(shè)，深圳多個公園近期舉辦花展活動。如圖4某公園想用一段長為80米的籬笆，圍成一個一邊靠圍墻的ABCD（如圖3），墻長36米。

（1）當(dāng)AB長為多少米時所圍成的花圃面積最大？最大值是多少？

（2）當(dāng)花圃的面積為350平方米時，AB長為多少米？

在應(yīng)用題中，不等式往往與“多于、不少于、至少、夠用……”等相關(guān)，學(xué)生要能夠據(jù)此建立不等式。在求函數(shù)的自變量的取值范圍時，不等式是一種重要的方法，其綜合性也比較強。

解析：例題6：（1）當(dāng)x=1時，y1=8;當(dāng)x=3時，y1=0，將上述2個條件代入 y1=kx+b得：，

解得：，

故函數(shù)的表達式為： y1=?4x+12（0≤x≤3），當(dāng)x>3時， y1=0;

（2）a=1時，設(shè)費用為y=y1+y2，當(dāng)0≤x≤3時，y=?4x+12+x2，當(dāng)x==2時，y最小，最小值為8，當(dāng)x>3時，y=x2，其最小值大于8，故印刷2萬件時，收費

最少;

（3）當(dāng)0≤x≤3時，由題意得：y=?4x+12+ax2≥7，即：ax2?4x+5≥0，

∵ y≥0，故△=16?4a×5≥0，解得：a≤。

例題7：（1）設(shè)AB長為x米，花圃面積為 y平方米，由題意得：y=x（80?2x）=?2x2+80x=?2（x?20）2+800，

∴ 對稱軸為x=20，由題意得：，解得22x<40。

∵ ?2<0，拋物線開口向下，

∴ 當(dāng)x>22時，y隨x的增大而減小，

∴ 當(dāng)想x=22時，y有最大值，最大值為792。

∴ 當(dāng)AB長為22米時所圍成的花圃面積最大，最大值是792平方米。

（2）由（1）知 y=?2x2+80x。

令 y=350得：350=?2x2+80x，解得：x1=5，x2=35，

∵ 22x<40，∴x=35。

∴ 當(dāng)花圃的面積為350平方米時，AB長為35米。

在復(fù)習(xí)此類綜合應(yīng)用題時，教師首先要讓學(xué)生學(xué)會審題，理解題意，特別是對關(guān)鍵詞的理解。再建立不等式，最后求解不等式。

不等式在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中都有比較重要的地位，不等式在解不定方程、最優(yōu)策略、最大值、最小值、實際應(yīng)用問題等方面都有著廣泛的應(yīng)用。因此，探究如何建立不等關(guān)系，如何快捷有效地解不等式，如何利用不等式解決實際問題，正是本研究的價值所在。在知識的交匯處考查學(xué)生的綜合能力成為一種命題趨勢，不等式作為其中一個重要環(huán)節(jié)，起到了舉足輕重的作用[2]。

不等式的專題復(fù)習(xí)課層次分明，幾乎能夠讓每一名學(xué)生找到適合自己的提高點。在不等式專題復(fù)習(xí)中，教師首先要做到夯實基礎(chǔ);然后講解不等式與方程或與函數(shù)的綜合題型，體現(xiàn)出知識的融合性;最后引導(dǎo)學(xué)生將不等式知識應(yīng)用于生活。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[2]徐龍.關(guān)于不等式的教學(xué)方法探討[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2013（24）.

【作者簡介】

李杰（1986～），男，四川成都人，本科，中小學(xué)一級教師，北京第二外國語學(xué)院成都附屬中學(xué)數(shù)學(xué)備課組長。研究方向：初中數(shù)學(xué)教育。

雷紅（1987～），女，陜西西安人，本科，中小學(xué)一級教師。研究方向：初中數(shù)學(xué)教育。

楊文（1989～），男，四川成都人，本科，中小學(xué)一級教師。研究方向：初中數(shù)學(xué)教育。

Study on the Review Strategy of Mathematical Inequality in Junior Middle Schools

Jie Li 1? Hong Lei 1? Wen Yang 2

（1. Chengdu Affiliated Middle School of Beijing International Studies University， Chengdu， Sichuan， 610043;

2. Yucai School of No. 7 Middle School， Chengdu， Sichuan， 610061）

Abstract：Inequality plays an important role in junior middle school mathematics. The core of the study is how mathematics teachers in junior middle schools help students consolidate the foundation， improve their ability， enhance their literacy， and finally use inequality to solve practical problems. Therefore， this study sorts through the review methods of the following aspects of knowledge in detail： the basic properties and calculation of inequalities， the application of inequality in equation， the application of inequality in function， the application of inequality in practical problems. In the review of inequality， teachers should focus on skills to the cultivation of innovative consciousness and core literacy.

Key words：junior middle school mathematics; inequality problem; review strategy