數(shù)學(xué)建模競賽驅(qū)動(dòng)下的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究

田德生 方次軍

【摘 要】本文探討了在數(shù)學(xué)建模競賽驅(qū)動(dòng)下高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革。筆者發(fā)現(xiàn)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)軟件和實(shí)際案例的講授，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，增強(qiáng)實(shí)踐性認(rèn)識，提高教學(xué)效果，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;高等數(shù)學(xué);競賽驅(qū)動(dòng)

【中圖分類號】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）22-0008-02

如今科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)及各種智能算法機(jī)理的發(fā)展，數(shù)學(xué)知識正以空前的廣度和深度被應(yīng)用到各領(lǐng)域?！陡叩葦?shù)學(xué)》作為理工科學(xué)生的一門基礎(chǔ)必修課程，一方面內(nèi)容覆蓋面廣，結(jié)構(gòu)清晰，另一方面理論性比較強(qiáng)。由于課時(shí)限制，教師在講授時(shí)往往將重點(diǎn)局限在基本理論和公式計(jì)算等方面，忽視了高等數(shù)學(xué)的實(shí)踐性。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，理論與實(shí)踐的結(jié)合是課程教學(xué)改革的重點(diǎn)方向。

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽自1992年舉辦以來，已發(fā)展成為我國規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科賽事，也為新的教學(xué)方式的探討打開了思路[1]。數(shù)學(xué)建模是針對具體問題構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的過程，也是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模競賽的舉辦，能讓學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到具體的實(shí)際問題中，因此數(shù)學(xué)模型也是大學(xué)生從“學(xué)”數(shù)學(xué)到“用”數(shù)學(xué)的重要紐帶。在數(shù)學(xué)建模競賽活動(dòng)中，高等數(shù)學(xué)知識是主要工具，但數(shù)學(xué)建模對同一問題有不同的答案，評價(jià)模型的標(biāo)準(zhǔn)是實(shí)踐，這與解數(shù)學(xué)題存在明顯差異。將數(shù)學(xué)建模競賽同高等數(shù)學(xué)教學(xué)有效融合，成為大學(xué)數(shù)學(xué)課程改革研究的熱點(diǎn)與重點(diǎn)。以數(shù)學(xué)建模競賽為驅(qū)動(dòng)，可促使教師不斷完善教學(xué)方法，彌補(bǔ)高等數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用性不足的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

1? ?豐富應(yīng)用素材

許多高校目前用的高等數(shù)學(xué)教材是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的，由高等教育出版社出版的第7版。該教材于1978年3月出版，在40多年里經(jīng)過多次完善，在內(nèi)容安排和體系結(jié)構(gòu)上都日趨完善。該教材表述清晰，銜接自然，重理論技巧，已成為眾多高校首選的高等數(shù)學(xué)教材。但在教學(xué)中遇到復(fù)雜知識點(diǎn)時(shí)，對于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，教師若一味采用枯燥的公式推導(dǎo)演示模式，可能不利于學(xué)生理解知識，還會(huì)導(dǎo)致學(xué)生應(yīng)用知識比較困難。因此，高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的探索需具備背景知識、結(jié)構(gòu)體系、應(yīng)用案例、算法介紹等角度;結(jié)合具體實(shí)例，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想;使用目前流行且易操作的計(jì)算機(jī)軟件，如MATLAB、Maple、Lingo等，對具體問題進(jìn)行數(shù)值計(jì)算、仿真與驗(yàn)證或可視化操作[1]。通過用數(shù)學(xué)軟件推導(dǎo)和驗(yàn)證演示求解極限、線性（非線性）優(yōu)化等運(yùn)算，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)軟件的神奇功能。

2? ?在案例講解中傳授數(shù)學(xué)建模的方法

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，基本概念和基本定理是基礎(chǔ)。為讓學(xué)生更好地理解和掌握相關(guān)知識，教師可以結(jié)合基本概念的背景和基本定理的產(chǎn)生過程，在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模思想。教師可先用數(shù)學(xué)語言來描述這些實(shí)際問題，建立合理假設(shè)，再將這些假設(shè)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識抽象簡化成模型，探討如何求解，進(jìn)一步分析模型在實(shí)際問題中的體現(xiàn)與應(yīng)用。這樣可以讓學(xué)生深入理解所學(xué)知識，激發(fā)求知欲望和創(chuàng)新潛能，學(xué)會(huì)主動(dòng)求知、不斷探索。

高等數(shù)學(xué)理論性強(qiáng)，若缺少實(shí)用性例子的講解，往往導(dǎo)致大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為高等數(shù)學(xué)與實(shí)際生活聯(lián)系不大，從而喪失學(xué)習(xí)的興趣[2]。對此，教師可以補(bǔ)充一些應(yīng)用型案例，如線性規(guī)劃中的選課策略、微分方程中的傳染病模型、導(dǎo)彈追蹤問題等，引導(dǎo)學(xué)生分析，嘗試在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上應(yīng)用數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型。這樣不僅能深化學(xué)生對高等數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，又能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，激發(fā)學(xué)生的思維，大大增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論知識的興趣[3]。

如教師在講解“函數(shù)的極值與最值”和“可降階的高階微分方程”之后，可給出例子：計(jì)算y=2x+tan x的極值，求y''=（y'）2+2y'的解，并通過MATLAB軟件計(jì)算解析和數(shù)值解。在講解多元函數(shù)的極值時(shí)，教師可先介紹非條件極值、條件極值和拉格朗日乘數(shù)法，接著引入MATLAB軟件關(guān)于線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃的linprog和fmincon函數(shù)命令，最后結(jié)合2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題——錨鏈設(shè)計(jì)問題，設(shè)計(jì)如下問題：

（1）求浮標(biāo)的質(zhì)量;

（2）當(dāng)錨鏈末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角為0度時(shí)，求錨鏈長度和浮標(biāo)的吃水深度;

（3）當(dāng)錨鏈末端與錨的鏈接處的切線方向與海床的夾角不超過20度，求錨鏈的最小長度和浮標(biāo)的吃水

深度。

教學(xué)設(shè)計(jì)：

（1）這是一個(gè)非線性優(yōu)化問題，具體計(jì)算步驟如下。目標(biāo)函數(shù)：min z=2·π·r2+2·π·r·h1;約束條件：π·r2·h1=3，用MATLAB中的fmincon函數(shù)，求解結(jié)果：r=0.7816m，h1=1.5632m，用材面積z=11.5149m2，質(zhì)量m=538.8973kg。

（2）借鑒同濟(jì)大學(xué)第7版上冊教材324頁例4，可推導(dǎo)出海水中的錨鏈就是一個(gè)懸鏈線模型，分析懸鏈最低點(diǎn)A到任意點(diǎn)M（x，y）弧段的受力情況。A點(diǎn)受水平張力，M點(diǎn)受切向張力，弧段重力大小ρgs（此處ρ為錨鏈在海水中的線密度），按靜力平衡條件，化簡整理可得懸鏈線常微分方程定解問題（這里|OA|=a），

，

其解為懸鏈線，

弧長方程為。

設(shè)錨鏈與浮標(biāo)聯(lián)結(jié)點(diǎn)為B（x，y），吃水深度為h米，當(dāng)錨鏈與海底相切時(shí)，有

水深12 m? y?a+h=12? ? ? ? ? ? ? ? （*1）

?

=（m+3.2）?g? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （*2）

聯(lián)立（*1）（*2），采用MATLAB中的fsolve函數(shù)，得吃水深度h和錨鏈長度S為h=0.2960 m，S=15.6006 m。

（3）目標(biāo)函數(shù)（錨鏈最短）min z=S（x2）?S（x1）。

約束條件三個(gè)：①水深12 m;②夾角不超過20度;③ ΣFy=0（浮標(biāo)與錨鏈），再次采用fmincon函數(shù)，得吃水深度h和錨鏈長度S為h=0.2964 m，S=14.2487 m。通過講解分析具體的數(shù)學(xué)建模實(shí)例，讓學(xué)生深刻體會(huì)高等數(shù)學(xué)知識的廣泛應(yīng)用，轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)觀念，激發(fā)他們的求知欲和創(chuàng)新意識。

3? ?數(shù)學(xué)建模思想的課外實(shí)踐

教師在講授高等數(shù)學(xué)時(shí)，采用的教學(xué)方式通常為“講授+訓(xùn)練”，較少涉及具體的實(shí)際性內(nèi)容，這會(huì)讓學(xué)生感到很枯燥。長此以往，不僅會(huì)挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，還會(huì)導(dǎo)致學(xué)生應(yīng)用能力較差，很難做到學(xué)以致用。為改變這種教學(xué)狀況，教師可以嘗試變革課外實(shí)踐。

一方面，在課后作業(yè)中適當(dāng)增加一些“從實(shí)踐到認(rèn)識”的生活應(yīng)用題，如北方雙層玻璃、椅子落地平穩(wěn)性等問題，要求學(xué)生以數(shù)學(xué)建模的方式來解答。另一方面，在課程實(shí)踐中增加一些來自身邊的建模題目，讓學(xué)生分組完成。如對于新冠疫情，教師可讓學(xué)生根據(jù)世衛(wèi)組織官網(wǎng)的數(shù)據(jù)，建立模型并計(jì)算，對照我國應(yīng)對疫情的策略，得出我國的制度優(yōu)勢。這樣能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生愛國情懷，培養(yǎng)學(xué)生開拓進(jìn)取、互助協(xié)作的團(tuán)隊(duì)

精神。

4? ?注重學(xué)習(xí)方法的傳授

在數(shù)學(xué)建模競賽驅(qū)動(dòng)下，高等數(shù)學(xué)對提升學(xué)生創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力具有重要意義[4]。為增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模競賽對高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的驅(qū)動(dòng)作用，教師除了要加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握，還要使其將知識靈活應(yīng)用。但正如前面提到的，高等數(shù)學(xué)課程不同于數(shù)學(xué)建模課程。因此在實(shí)際教學(xué)中，教師選擇具有代表性的案例時(shí)，可以對建模題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕透木?，不需要完全照搬完整的?shù)學(xué)建模競賽程序開展教學(xué)，更多的是要向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)建模的思想方法，讓學(xué)生通過合理假設(shè)，建立模型并求解，分析檢驗(yàn)等步驟，深入理解高等數(shù)學(xué)知識與工程應(yīng)用的交叉融合。

綜上所述，數(shù)學(xué)建模競賽對高等數(shù)學(xué)教學(xué)有著廣泛和深刻的促進(jìn)作用。目前，新的教學(xué)方法的探討和高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的改革仍面臨諸多困難和挑戰(zhàn)，這需要廣大教育工作者的不斷努力和奮斗。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國大學(xué)教學(xué)，2006（1）.

[2]龔雅玲.數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教材中的滲透[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015（3）.

[3]王菡.數(shù)學(xué)建模思想融入高數(shù)課堂的實(shí)踐案例研究及分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（21）.

[4]李麗，楊方白，門桐宇，等.基于數(shù)學(xué)建模思想的高等代數(shù)課程教學(xué)研究[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017（2）.

【作者簡介】

田德生（1966～），男，漢族，湖北谷城人，教授，博士。研究方向：數(shù)學(xué)建模、常微分方程。

方次軍（1974～），男，漢族，湖北孝感人，副教授，博士。研究方向：復(fù)雜系統(tǒng)、數(shù)學(xué)建模。