一類帶小參數(shù)的雙調(diào)和方程邊值問題的可解性

陳浩然，鐘金標(biāo)

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶246133）

在討論沒有載荷且在邊緣上固定的薄鈑振動(dòng)問題時(shí)，若有外力作用在這個(gè)鈑上，且該外力按密度f(x,y)分布，則這固定邊緣的鈑的靜力撓曲將由方程給出。類似地，一些流體力學(xué)和固體力學(xué)等物理問題可通過建立雙調(diào)和方程邊值問題來研究，例如文獻(xiàn)[1]利用不動(dòng)點(diǎn)定理、確界原理討論了一類雙調(diào)和方程邊值問題的正徑向解，文獻(xiàn)[2]研究了一類帶有雙臨界指數(shù)的雙調(diào)和方程邊值問題的非平凡解，文獻(xiàn)[3]討論了一類雙調(diào)和方程邊值問題的可解性，文獻(xiàn)[4]研究了一類半線性橢圓方程組正解的存在唯一性。這類問題中非線性項(xiàng)不同，相應(yīng)定理的證明所采用的方法也不同。

本文擬考察帶小參數(shù)λ的雙調(diào)和方程邊值問題：

這里Ω??n是一個(gè)有界洞型光滑區(qū)域，Γ1為外邊界，Γ2為內(nèi)邊界，?Ω=Γ1?Γ2，b為正常數(shù)，λ為正參數(shù)。在式（1）中令-Δu=v，則式（1）轉(zhuǎn)換為

1 解的存在性

定理1在（H1）成立的條件下，且問題（2）有解，則必是非負(fù)解。

證明由（H1）知λf(x,u,v)≥0，推出-Δv≥0,x∈Ω，由調(diào)和函數(shù)極值原理[5]知v≥0,x∈Ω，-Δu=v≥0，進(jìn)而u≥0,x∈Ω，所以若（2）有解，則解非負(fù)。

定理2若（H1）、（H2）成立，且λ充分小，則問題（1）必存在正解。

證明因?yàn)閒(x,s,t)=1+s2+t2關(guān)于s、t連續(xù)單增，從而滿足條件（H1）和（H2），由定理2知問題（9）存在正解。

2 解的唯一性

定理3在（H3）成立的條件下，問題（2）至多只有一個(gè)解。

證明在（2）中取兩組解(u1,v1),(u2,v2)，則有

綜合式（16）和式（17）可得u1=u2,v1=v2，所以問題（2）至多只有一個(gè)解。

3 結(jié)束語

綜上所述，上、下解方法在幫助我們確定非線性橢圓型方程組解的時(shí)候起到了重要的作用，我們?cè)诮o定的上、下解范圍之間通過不動(dòng)點(diǎn)定理找出了邊值問題的精確解，從而證明了解的存在性，實(shí)例證明了定理的有效性。在討論邊值問題可解性時(shí)，Green恒等式和Poincare不等式是有力的工具。