海洋平臺結(jié)構(gòu)振動(dòng)超標(biāo)分析方法研究

李永勝，王緯波，陶沙，張彤彤

(1.中國船舶科學(xué)研究中心 船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214082；2.江蘇省綠色船舶技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214082)

0 引言

某海洋平臺在試航時(shí)發(fā)現(xiàn)有部分甲板區(qū)域出現(xiàn)振動(dòng)超標(biāo)，該甲板位于主設(shè)備艙上方并受到艙內(nèi)2 臺主機(jī)振動(dòng)傳遞的激勵(lì)。當(dāng)甲板結(jié)構(gòu)的固有頻率與主機(jī)激振力的頻率一致時(shí)，會產(chǎn)生結(jié)構(gòu)共振。結(jié)構(gòu)共振不但會妨礙平臺上設(shè)備、儀表和人員的正常工作，也容易引起局部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生疲勞損傷。為了查出結(jié)構(gòu)振動(dòng)超標(biāo)的原因，本文采用理論解析結(jié)合數(shù)值仿真的計(jì)算方法，對平臺甲板板架結(jié)構(gòu)及其組成單元，包括甲板板格、加筋板的固有頻率進(jìn)行計(jì)算研究，以確定異常振動(dòng)是因哪部分結(jié)構(gòu)共振引起，為振動(dòng)超標(biāo)區(qū)的治理提供理論依據(jù)。

在進(jìn)行甲板結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析時(shí)，規(guī)范一般將其邊界約束簡化為四邊簡支的板架，參照規(guī)范計(jì)算公式可計(jì)算其固有頻率[1]。張碩等[2]對比采用經(jīng)驗(yàn)公式法和有限元法計(jì)算船體甲板固有頻率的不同，分析各種經(jīng)驗(yàn)計(jì)算方法的適用范圍，提出計(jì)算甲板固有頻率的有限元法邊界條件設(shè)置方法，并采用實(shí)船測試結(jié)果對計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證。龔郝等[3]采用有限元計(jì)算方法對船體板架固有頻率的計(jì)算模型進(jìn)行簡化，討論某實(shí)船甲板板架計(jì)算模型的范圍、邊界條件的選擇對計(jì)算結(jié)果的影響，研究認(rèn)為采用邊界約束為簡支的單艙段局部模型或單艙段模型進(jìn)行板架固有頻率分析與頻率儲備校核有利于保證計(jì)算精度。郭列等[4]對船舶結(jié)構(gòu)局部振動(dòng)計(jì)算模型進(jìn)行了研究，探討了建立振動(dòng)計(jì)算模型的一些關(guān)鍵性問題，如結(jié)構(gòu)振動(dòng)是采用硬設(shè)計(jì)還是軟設(shè)計(jì)、確定計(jì)算結(jié)構(gòu)邊界條件時(shí)相鄰結(jié)構(gòu)的選取問題、結(jié)構(gòu)的力學(xué)模擬問題以及計(jì)算模型的精細(xì)程度等；王維等[5]采用直接簡化計(jì)算的方法對船上常見的局部板架結(jié)構(gòu)的固有頻率進(jìn)行計(jì)算和分析研究，在此基礎(chǔ)上從調(diào)整板厚、骨材形狀、局部范圍的強(qiáng)梁跨距等方法在初步設(shè)計(jì)階段避免局部板架與附近激勵(lì)源的共振問題。曾文源等[6]對某艦船機(jī)艙區(qū)域底部板架振動(dòng)進(jìn)行了計(jì)算研究，建立了不同的振動(dòng)區(qū)域計(jì)算模型，通過計(jì)算分析和比較，探討不同計(jì)算模型范圍、邊界條件對計(jì)算結(jié)果的影響。

論文針對某海洋平臺振動(dòng)超標(biāo)區(qū)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)理論分析，分別研究了甲板板格、加筋板單元固有頻率的解析計(jì)算方法，重點(diǎn)研究了預(yù)報(bào)甲板板架振動(dòng)固有頻率的數(shù)值計(jì)算方法，給出了板架振動(dòng)有限元模型的取值范圍的建議。通過研究預(yù)報(bào)了平臺甲板板架區(qū)域中板格、加筋板單元及整體甲板板架結(jié)構(gòu)的固有頻率，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，得出了結(jié)構(gòu)異常振動(dòng)的原因并給出了結(jié)構(gòu)振動(dòng)超標(biāo)的一般分析流程。

1 計(jì)算方法

振動(dòng)超標(biāo)區(qū)域的甲板板架結(jié)構(gòu)單元可分為甲板板格、加筋板，如圖1 所示。這些結(jié)構(gòu)單元與整體板架固有頻率之中的任何一個(gè)與外加激勵(lì)頻率相重合都有可能引起結(jié)構(gòu)共振，從而使振動(dòng)出現(xiàn)異常。因此，需要對板格、加筋板以及板架整體結(jié)構(gòu)固有頻率進(jìn)行研究分析。

圖1 振動(dòng)超標(biāo)區(qū)域結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of excessive vibration area

1.1 板格固有頻率的理論計(jì)算方法

在船舶與海洋平臺結(jié)構(gòu)局部振動(dòng)計(jì)算中，計(jì)算矩形板格首階固有頻率時(shí)，對于承受較大中面力作用，四邊簡支邊界條件下的板格的固有頻率計(jì)算公式為[7]：

式中：ωni j為四邊簡支矩形板的振動(dòng)圓頻率；D為彎曲剛度；ρ為材料密度；h為板的厚度；a為板的長邊長；b為板的短邊長度；σx，σy為平行于板長軸和短軸的中面應(yīng)力。

若忽略中面力影響，板的材料為鋼材，可得無中面力作用下四邊簡支矩形板的理論解如下：

式中：f01為四邊簡支矩形板在空氣中的首階固有頻率，a，b，h的定義同上，只是變量的單位采用mm。本文中若不單獨(dú)說明，變量的單位均采用國際標(biāo)準(zhǔn)單位制。

1.2 加筋板固有頻率的理論計(jì)算方法

加筋板由板和梁結(jié)構(gòu)組成，在計(jì)算其垂向彎曲振動(dòng)時(shí)，把此板梁結(jié)構(gòu)看成梁系結(jié)構(gòu)，板的影響采用引入梁剖面的附連翼板的形式來考慮，不僅符合結(jié)構(gòu)的力學(xué)模擬原則，保證計(jì)算精度，還可以簡化計(jì)算。對于四邊簡支、沿一個(gè)方向有平行加筋的加筋板，首階固有頻率計(jì)算公式為：

式中：n為加強(qiáng)筋數(shù)量，K為折減系數(shù)（加強(qiáng)筋截面為對稱形時(shí)取1.0，非對稱形時(shí)取0.85），I為計(jì)及附連帶板的加強(qiáng)筋的慣性矩，cm4,s為加強(qiáng)筋間距，cm，te為等效厚度，按下式計(jì)算：

式中：h為板厚，cm；A為加強(qiáng)筋自身面積，cm2。

1.3 帶有附加質(zhì)量的板格或加筋板固有頻率的理論計(jì)算方法

由于海洋平臺甲板板架上可能還有甲板敷料、浮動(dòng)地板等，計(jì)算時(shí)假定這些附加的功能結(jié)構(gòu)僅以質(zhì)量的形式參與振動(dòng)計(jì)算而不影響板架本身的剛度特性，因此根據(jù)構(gòu)件振動(dòng)固有頻率的以下簡化計(jì)算公式，附加質(zhì)量對構(gòu)件固有頻率的影響僅體現(xiàn)在質(zhì)量因子上：

式中：K為構(gòu)件的彎曲、扭轉(zhuǎn)、剪切剛度等。

附加質(zhì)量的折減因子為：

則帶有附加質(zhì)量的板格或加筋板的固有振動(dòng)頻率為：

式中：f0為不考慮附加質(zhì)量時(shí)結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)頻率；fm為考慮附加質(zhì)量時(shí)結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)頻率。

1.4 甲板板架固有頻率的有限元計(jì)算方法

由于甲板板架結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，其固有頻率計(jì)算需要采用數(shù)值方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散。板架結(jié)構(gòu)離散后的自由振動(dòng)方程為：

根據(jù)微分方程理論，式（8）的解為：

式中：M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量陣；K為結(jié)構(gòu)剛度陣；x為結(jié)構(gòu)的廣義坐標(biāo)列陣；ωn為無阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的圓頻率；φ為相位角；X為結(jié)構(gòu)的廣義坐標(biāo)幅值列陣。將式（9）代入式（8），可得：

式（10）為一齊次的線性代數(shù)方程組，存在非零解的條件為系數(shù)行列式為零：

式（11）即為結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的頻率方程或特征方程。對于n個(gè)自由度的系統(tǒng)，頻率方程（11）必有n個(gè)正實(shí)根，即有n個(gè)圓頻率，每個(gè)圓頻率均有相對應(yīng)的固有振型X(i)。

根據(jù)上述理論，首先僅對“目標(biāo)區(qū)域”板架進(jìn)行有限元建模，板架模型均在艙壁處斷開。由于板架結(jié)構(gòu)受到艙壁的彈性支持，結(jié)構(gòu)的固有頻率介于四周簡支與剛性固定之間，本文分別采用四邊簡支和四邊固支邊界條件進(jìn)行計(jì)算。甲板板架有限元模型如圖2 所示。

圖2 甲板板架有限元模型Fig.2 Finite element model of deck plate frame

為考慮艙壁結(jié)構(gòu)對甲板板架固有頻率計(jì)算的影響，建立含目標(biāo)區(qū)域甲板的單艙段有限元模型，考慮甲板板架上部艙室以及下部艙室結(jié)構(gòu)的影響。有限元模型如圖3，模型的邊界條件為艙段底端簡支。

圖3 單艙段模型Fig.3 Single compartment model

為了更逼近真實(shí)邊界條件，將該甲板板架周圍的艙室進(jìn)行建模，并考慮前后艙段結(jié)構(gòu)對甲板板架固有頻率計(jì)算的影響，將艙段有限元模型向四周各延伸一個(gè)艙段形成三艙段模型，并盡可能在強(qiáng)支撐構(gòu)件處斷開，并在斷開處采用簡支邊界條件，有限元模型如圖4所示。

圖4 三艙段模型Fig.4 Three-compartments model

以上有限元模型中，艙室的甲板、艙壁板采用Abaqus 中的S4R 殼單元模擬，強(qiáng)梁、加強(qiáng)筋等均采用B31 梁單元模擬。由于平臺設(shè)備運(yùn)行所引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)主頻率主要集中在100 Hz 范圍內(nèi)，有限元分析的頻段選取為5～100 Hz，頻率間隔為1 Hz。

2 計(jì)算結(jié)果及分析

2.1 甲板板格固有頻率的計(jì)算結(jié)果

圖1 中振動(dòng)超標(biāo)區(qū)域甲板板格（編號1）長為3 250 mm，寬為625 mm，厚度為15 mm，質(zhì)量為239 kg，并考慮板格上甲板敷料的附加質(zhì)量63.1 kg，根據(jù)式（6），λ=0.89。利用式（2）、式（7）求得四邊簡支矩形板格的固有頻率為86.9 Hz。

建立該甲板板格的有限元模型，并考慮附加質(zhì)量，得到四邊簡支約束板的1 階固有模態(tài)如圖5 所示。

圖5 甲板板格1 階振動(dòng)頻率及振型Fig.5 The first order modal frequency and shape of deck plate

有限元計(jì)算得到的含附加質(zhì)量的四邊簡支板的固有頻率為87.6Hz，與解析法計(jì)算得到的結(jié)果相差不到1%，證明解析計(jì)算式（2）、式（7）可作為預(yù)測板格振動(dòng)固有頻率的理論方法。

2.2 加筋板固有頻率的計(jì)算

圖1 中振動(dòng)超標(biāo)區(qū)域加筋板（編號2）長度為3 250 mm，寬度為2 500 mm，板的厚度為15 mm，沿著長度方向均勻布置有3 條縱向加強(qiáng)筋，加強(qiáng)筋尺寸為HP200 × 10的球扁鋼，加筋板分析模型如圖6 所示。總質(zhì)量為1 166 kg，甲板敷料的附加質(zhì)量為252 kg。根據(jù)公式（6），λ=0.91，考慮帶板的加強(qiáng)筋計(jì)算剖圖如圖7所示。采用解析計(jì)算式（3）、式（7）進(jìn)行理論分析，得到加筋板固有頻率解析計(jì)算結(jié)果為34 Hz。

圖6 加筋板模型Fig.6 Stiffened plate model

圖7 加筋板慣性矩計(jì)算剖面Fig.7 Moment of inertia profile of stiffened plate

建立加筋板有限元模型進(jìn)行有限元分析，板采用Abaqus 中的S4R 殼單元，加強(qiáng)筋采用B31 梁單元，并考慮甲板敷料附加質(zhì)量的影響，得到四邊簡支約束下加筋板的1 階固有模態(tài)如圖8 所示。

圖8 加筋板1 階振動(dòng)固有頻率及振型Fig.8 The first order modal frequency and shape of stiffened plate

由計(jì)算結(jié)果可知，有限元計(jì)算得到的含附加質(zhì)量的加筋板的固有頻率為36.9 Hz，與解析法計(jì)算得到的結(jié)果34 Hz 相差約為8.5%，證明解析計(jì)算式（3）、式（7）可作為預(yù)測加筋板振動(dòng)固有頻率的理論方法。

2.3 板架固有頻率的計(jì)算結(jié)果

分別采用單板架有限元模型、單艙段有限元模型、三艙段有限元模型對板架的固有頻率進(jìn)行計(jì)算，并考慮板架上的附加質(zhì)量746.5 kg，其中單板架有限元模型的模態(tài)計(jì)算結(jié)果如圖9 和圖10 所示。

圖9 板架模型簡支模態(tài)結(jié)果Fig.9 Modal results of the simply supported frame model

圖10 板架模型固支模態(tài)結(jié)果Fig.10 Modal results of the clamped frame model

從計(jì)算結(jié)果可以看到，采用單板架模型計(jì)算時(shí)，第1 階模態(tài)結(jié)果即是板架主模態(tài)，板架垂向彎曲振動(dòng)簡支和固支邊界條件下固有頻率約為33.1 Hz 和49.9 Hz，板架主彎曲模態(tài)可以從表1 中板架該模態(tài)下的模態(tài)質(zhì)量占比得出。表1 中模態(tài)質(zhì)量為整體模型質(zhì)量在某模態(tài)代表的不同自由度方向上是如何分布的，模態(tài)質(zhì)量的理論計(jì)算公式為：

式中：mi為廣義質(zhì)量，Γij為振型參入系數(shù)，代表了某個(gè)振型在某個(gè)自由度方向上振動(dòng)的參入程度。

mi與Γij的計(jì)算式分別如下：

式中：M為質(zhì)量陣；φi為模態(tài)振型。

通過模態(tài)質(zhì)量可以識別哪階振型（模態(tài)）對所要研究的荷載作用方向是有作用的，表1 中單板架模型在該模態(tài)下模態(tài)質(zhì)量與模型總質(zhì)量的比值分別達(dá)到62.3%和53%，證明圖9 和圖10 中該階模態(tài)即為單板架模型的垂向彎曲振動(dòng)主模態(tài)。

表1 甲板板架振動(dòng)多級有限元計(jì)算結(jié)果對比Tab.1 Comparison of multi-stage finite element calculation res-ults of deck plate frame vibration

單艙段有限元模型的模態(tài)計(jì)算結(jié)果如圖11 所示。為了方便顯示所關(guān)注的甲板板架區(qū)域，隱掉了板架上方艙室壁板的顯示。

圖11 單艙段模型模態(tài)結(jié)果Fig.11 Modal results of the single compartment model

從圖11 可以看出，采用單艙段模型計(jì)算時(shí)，板架垂向彎曲振動(dòng)的首階固有頻率 約為34.5 Hz，比四邊簡支約束下單板架模型計(jì)算的固有頻率結(jié)果大4.2%。由于單艙段模型考慮了板架周圍結(jié)構(gòu)的約束，計(jì)算結(jié)果相對四邊簡支的單板架模型結(jié)果更為準(zhǔn)確。從表1 可以看出，在該模態(tài)下，單艙段模型彎曲振動(dòng)方向的模態(tài)質(zhì)量占比較小，并且是以局部振動(dòng)為主。而在其它階模態(tài)計(jì)算結(jié)果下，也未能發(fā)現(xiàn)“目標(biāo)區(qū)域”有垂向彎曲振動(dòng)主模態(tài)的出現(xiàn)。

三艙段有限元模型的模態(tài)計(jì)算結(jié)果如圖12 所示。同樣為了方便顯示所關(guān)注的甲板板架區(qū)域，隱掉了板架上方艙室壁板的顯示。

圖12 三艙段模型板架模態(tài)計(jì)算結(jié)果Fig.12 Modal results of the three-compartments model

從圖12 和表1的計(jì)算結(jié)果可以看出，采用三艙段模型計(jì)算時(shí)，隨著“目標(biāo)板架”的邊界條件更一步逼近真實(shí)結(jié)構(gòu)，板架垂向彎曲振動(dòng)的首階固有頻率計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步增加，但是增加幅度較小，所得固有頻率35.4 Hz 較單艙段模型僅有2.6%的增加。

同時(shí)也可以看到，建立的三艙段模型由于模型規(guī)模的進(jìn)一步擴(kuò)大以及模型自由度的大幅度增加，將引入更多的局部振動(dòng)模態(tài)，使得尋找“目標(biāo)區(qū)域”固有模態(tài)的難度也隨之增加。綜合計(jì)算精度、建模工作量、模態(tài)識別的難易程度，工程計(jì)算中可以選用單艙段模型。

比較表1 各模型計(jì)算結(jié)果可以看出，采用邊界約束為固支的單板架模型固有頻率計(jì)算結(jié)果明顯偏大，甲板板架的固有頻率偏向于簡支。

3 計(jì)算結(jié)果試驗(yàn)驗(yàn)證

為分析平臺振動(dòng)噪聲超標(biāo)原因并驗(yàn)證本文的計(jì)算方法，在平臺?？看a頭時(shí)對超標(biāo)區(qū)域進(jìn)行了振動(dòng)測試[8]。在主機(jī)艙內(nèi)2 臺主機(jī)分別單獨(dú)開啟和同時(shí)開啟的狀態(tài)下，在主機(jī)艙艙室的頂部振動(dòng)超標(biāo)區(qū)域甲板上布置振動(dòng)加速度測點(diǎn)A1（見圖1），測試甲板結(jié)構(gòu)振動(dòng)。

振動(dòng)測試系統(tǒng)由ICP 振動(dòng)加速度計(jì)和BK 3650 數(shù)據(jù)采集儀組成，參試的所有儀表均計(jì)量合格，滿足測試要求，振動(dòng)測量物理量為速度，測量頻率范圍為5～100 Hz，頻率分辨率為0.1 Hz。圖13～圖15 為甲板測點(diǎn)的振動(dòng)頻譜圖。

圖13 主機(jī)1 開啟下甲板測點(diǎn)的振動(dòng)Fig.13 Vibration of the measured points on the deck under main engine 1 opened

圖14 主機(jī)2 開啟下甲板測點(diǎn)的振動(dòng)Fig.14 Vibration of the measured points on the deck under main engine 2 opened

圖15 主機(jī)同時(shí)開啟下甲板測點(diǎn)的振動(dòng)Fig.15 Vibration of the measured points on the deck under main engine 2 opened

主機(jī)的轉(zhuǎn)速為720 r/min，因此軸頻為12 Hz。由圖13～圖15 可以看出，甲板板架結(jié)構(gòu)在主機(jī)軸頻12 Hz所對應(yīng)的振動(dòng)峰值并不大，最大的峰值對應(yīng)的頻率是3 倍的軸頻即36 Hz，是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動(dòng)超標(biāo)的激勵(lì)頻率。

對前文各種計(jì)算模型及方法得到的振動(dòng)超標(biāo)區(qū)域結(jié)構(gòu)固有頻率的計(jì)算結(jié)果匯總于表2。

表2 振動(dòng)超標(biāo)區(qū)甲板結(jié)構(gòu)固有頻率計(jì)算結(jié)果Tab.2 Natural frequency results of deck structures in abnormal vibration region

可以看出，通過加筋板單元計(jì)算模型以及單艙段、三艙段數(shù)值計(jì)算模型得到的結(jié)構(gòu)局部振動(dòng)頻率均在36 Hz 附近，與實(shí)船測試結(jié)果非常接近，因此可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)振動(dòng)超標(biāo)的主要原因是甲板板架局部加筋板單元的固有頻率與主機(jī)36 Hz的激勵(lì)頻率相重合引起的。對于本文，采用局部加筋板模型即可迅速分析出振動(dòng)超標(biāo)的原因，并且分析高效、簡便、快捷。

4 振動(dòng)超標(biāo)計(jì)算流程

對潛在或存在振動(dòng)超標(biāo)區(qū)域的板架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)或計(jì)算分析時(shí)，應(yīng)依次選取結(jié)構(gòu)中的板格單元、加筋板單元以及整體板架進(jìn)行分析，并與激勵(lì)源的激勵(lì)頻率進(jìn)行比較，確定振動(dòng)超標(biāo)是因哪部分結(jié)構(gòu)引起，并采取相應(yīng)的振動(dòng)控制措施或者是結(jié)構(gòu)改進(jìn)。

對于板格單元和加筋板單元，采用文中的理論解析公式即可得到較為精確的固有頻率解答；對于板架模型，建議選用邊界約束為簡支的單艙段模型進(jìn)行固有頻率分析。

5 結(jié)語

本文對海洋平臺甲板振動(dòng)超標(biāo)區(qū)域結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行研究分析，采用理論解析與數(shù)值方法計(jì)算甲板板格及加筋板單元的固有頻率，采用不同有限元模型計(jì)算整體甲板板架結(jié)構(gòu)的固有頻率，從而依次獲得振動(dòng)超標(biāo)區(qū)域甲板板格、加筋板單元以及整體甲板板架結(jié)構(gòu)的固有頻率計(jì)算結(jié)果，并與實(shí)船試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，得出以下結(jié)論：

1）平臺甲板結(jié)構(gòu)振動(dòng)超標(biāo)的主要原因是加筋板單元的振動(dòng)固有頻率與激勵(lì)頻率重合引起的結(jié)構(gòu)局部共振；

2）對于甲板板格單元和加筋板單元，采用本文的理論解析公式即可得到較為精確的計(jì)算結(jié)果，可以用于振動(dòng)超標(biāo)區(qū)結(jié)構(gòu)單元的固有頻率快速預(yù)報(bào)和評估；

3）為保證甲板板架固有頻率的計(jì)算精度，避免因模型計(jì)算規(guī)模的擴(kuò)大引入更多的局部振動(dòng)模態(tài)，造成結(jié)構(gòu)主模態(tài)難以辨識、固有頻率難以獲取的問題，建議采用邊界約束為簡支的單艙段模型進(jìn)行板架結(jié)構(gòu)的固有頻率分析；

4）本文以甲板板架振動(dòng)超標(biāo)區(qū)為研究對象，提出的振動(dòng)超標(biāo)分析方法和流程可以推廣至船舶與海洋工程中結(jié)構(gòu)底部板架、舷側(cè)板架等類似板架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)固有頻率分析。