數學內在邏輯和思想方法專題教學研究

董紀華 田穎

摘? ?要：數學知識一般圍繞若干緊密相關的知識或確定的思想方法形成一定邏輯體系。因此，每一數學學習單元，在數學知識體系中有內在邏輯關系，一方面，體現(xiàn)在單元與整體的聯(lián)系，另一方面體現(xiàn)在單元內部的聯(lián)系。數學專題課是以具有一定綜合性教學內容為載體，以數學內在邏輯和思想方法為研究重點，通過學生解決綜合數學問題，提升數學素養(yǎng)的授課方式。以“利用數形結合研究三角函數”為例，對數學專題課教學設計與過程進行初步探討。

關鍵詞：數學;專題教學;三角函數

中圖分類號：G633.6? ?文獻標識碼：A? ?文章編號：1009-010X（2021）20/23-0059-07

新發(fā)展背景下，數學在生產、生活、科技等方面的重要作用越發(fā)凸顯出來。黨的十九大報告強調要“落實立德樹人根本任務，發(fā)展素質教育”。當前，高中數學教學需要回答“如何發(fā)揮數學的育人價值，培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)”這一問題，數學教師應深度思考：“如何把握數學的內在邏輯，將單元教學目標分解到每一節(jié)課，有計劃地引領學生系統(tǒng)地學習數學知識，感悟數學思想方法，落實數學核心素養(yǎng)”。

“利用數形結合研究三角函數”一課是《2017版普通高中教科書人教A版必修第一冊》，第五章“三角函數”全章知識新授課結束后的一節(jié)專題課，本節(jié)課以正弦型函數為主要研究對象，立足學生已經形成的知識結構，從實際問題出發(fā)，設計有邏輯的問題串，引導學生經歷一系列的數學活動，感悟研究正弦型函數的方法既有普適性，同時又有其特殊的研究方法。以數形結合的數學思想方法為主線，聯(lián)系性地、整體地應用三角函數的一般經驗和知識技能解決問題，深刻理解三角函數核心性質間的本質聯(lián)系。

一、內容與內容解析

1.教學內容：

借助圓和三角函數的解析式以及圖象，數形結合研究正弦型函數y=Asin（ωx+φ）的周期性、單調性、最值、對稱性，在經歷數學活動的同時，深刻理解三角函數核心性質間的本質聯(lián)系，感悟數形結合思想。

2.內容解析：

（1）學生的認知基礎：日常生活中對“周而復始”現(xiàn)象有了一定的認識;在對平面幾何中圓的性質（特別是圓的對稱性）、相似形的有關知識、函數的一般概念的學習研究過程中，積累了數學思想、數學活動經驗;從函數的一般概念、表示和性質等的學習中，了解了研究函數的一般方法;通過冪指對函數的學習，基本掌握了研究一類函數的結構、內容、過程與方法;一般性思考問題的習慣，構建一類函數的研究路徑，如何從函數定義出發(fā)研究函數性質，如何利用函數概念和性質建立數學模型解決實際問題等等。

（2）數學思想方法：數形結合研究三角函數，有利于提高學生的數形轉化、直觀想象能力。

（3）育人價值：體會三角函數性質的整體性、聯(lián)系性，可以充分發(fā)揮三角函數在培養(yǎng)學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算和數學建模等核心素養(yǎng)的作用。

二、目標及目標解析

1.單元目標：

（1）感受到三角函數在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用，體驗三角函數與日常生活和其他學科的聯(lián)系，體會三角函數的價值和功能，增強應用意識。

（2）感受數學的人文價值，體驗現(xiàn)代信息技術與數學課程的整合。

（3）注重數學應用過程的完整性，加強對問題情境和解題思路的分析，提高對數形結合、轉化與化歸等數學思想方法的認知層次，提升直觀想象、數學建模、數學運算等數學核心素養(yǎng)和培養(yǎng)學生良好的解題習慣。

2.課堂目標：

（1）通過對實際問題的分析，利用函數y=Asin（ωx+φ）刻畫一般的勻速圓周運動規(guī)律，認識函數y=Asin（ωx+φ）是刻畫周而復始運動規(guī)律的重要數學模型.

（2）借助圓的幾何性質，感知和研究函數

y=Asin（ωx+φ）的形態(tài)變化與運動規(guī)律，體會函數y=Asin（ωx+φ）的性質也是圓的旋轉對稱性的解析表示。

（3）經歷描述、分析、理解和解決與函數y=Asin（ωx+φ）相關的數學問題的過程。

（4）建立“形”與“數”的聯(lián)系，積累運用數形結合思想方法解決問題的經驗。

三、教學問題診斷分析

1.問題診斷：

（1）已學函數的對應關系都是代數運算規(guī)律的反映，但三角函數不以代數運算為媒介，是幾何量（角與有向線段）之間的直接對應，這是一個復雜、不良結構情景，是主要的學習難點。

（2）學生使用的是舊版教材，對于借助單位圓為媒介建立正弦函數、余弦函數的概念、性質和圖象之間的豐富關聯(lián)較為欠缺，對于函數y=Asin（ωx+φ）刻畫一般的勻速圓周運動規(guī)律也并不熟悉。

（3）研究三角函數性質的方法也有特殊性，即利用三角函數的定義，將圓的幾何性質轉化為三角函數值之間的關系，研究三角函數性質時所使用的數形結合，與前面的通過觀察函數圖象而得出性質，有較大的不同。

（4）三角函數概念與性質的學習中，與單位圓建立了非常緊密的聯(lián)系，有利于學生理解三角函數的本質的同時，也帶來不利影響?，F(xiàn)實中的周期性運動變化問題并不一定以角為自變量，因此在用三角函數解決實際問題時，需要有更復雜的分析與轉化工作，使得研究更具有一般性。

2.教學難點

借助圓的性質，利用數形結合研究三角函數，建立三角函數的不同性質之間的關聯(lián)。

四、教學支持條件分析

1.教學策略分析

（1）實際問題激發(fā)學生的學習興趣，學生自主探究實際問題。

（2）問題探究為主線：問題探究，層層遞進。自主分析實際問題，建立三角函數模型并解決實際問題。反思不同表達形式之間的內在聯(lián)系，數形結合地研究圓的幾何性質與三角函數之間的豐富聯(lián)系。

（3）教學中采用問題探究式教學模式，學生通過獨立探究活動、小組討論修正、全班展示交流，展示探究方法和思維活動，教師通過交流追問、課堂評價，達成問題的解。

2.媒體分析

黑板：板書教學流程及知識要點。

多媒體投影：顯示教學環(huán)節(jié)，快速及時展示學生解決問題的切入點、思維過程、解答結果;暴露學生解題過程中的知識缺陷和思維漏洞。

五、教學實錄

1.創(chuàng)設恰當的教學情境，啟發(fā)學生思考，通過有邏輯的問題串，引導學生明確研究路徑：

三角函數是刻畫周期現(xiàn)象的重要數學模型。

我們借助單位圓建立了三角函數的概念，這就決定了三角函數和單位圓產生了天然的聯(lián)系。

而函數圖象是函數的另一種表示方法，能夠幫助我們直觀地理解性質。圓和三角函數圖象是我們研究三角函數的兩種圖形工具。

今天，我們就從古老的筒車入手，繼續(xù)感受三角函數中的數形結合。

【任務1】

筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中得到使用。

某地筒車轉輪半徑為5m，轉輪中心位于水面的上方，且轉輪中心到水面的距離為2.5m. 盛水筒繞轉輪中心逆時針方向做勻速圓周運動，轉動的角速度為rad/s.

如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形——圓，盛水筒M視為圓周上的質點.以筒車轉輪中心為原點，平行于水面的半徑所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.設經過ts 后，盛水筒 M 從P0點運動到點P（x，y）.

試比較t=9和t=42兩個時刻，盛水筒M 位置的高低，并說明從t=9到t=42，盛水筒幾次到達最高點.

問題1-1（審題）：在動手解決問題之前，你想用什么方法措施展開研究呢？

學生1：筒車作勻速圓周運動，因此可以通過研究點在圓上的位置來解決問題。

學生2：因為三角函數可以刻畫圓周運動，因此，可以建立三角函數模型，利用三角函數解析式進行計算。

學生3：既然可以建立三角函數解析式，還有可能可以通過畫出三角函數圖象解決問題。

問題1-2：你是怎么想到三角函數圖象的？

學生3：因為圖象也是函數的一種表示方法，而我們原來研究函數的時候，往往都是通過函數圖象研究函數性質，更加直觀。

教師：這些同學結合以往的學習經驗，為我們提供了三個研究問題的角度。

問題1-3：怎么理解位置的高低和最高點？

學生4：函數的最大值和函數值的大小。

問題1-4：又怎么理解在一段時間內盛水筒可能多次到達最高點呢？

學生（眾人）：與函數的周期有關。

教師：根據幾位同學分享的不同策略和對具體問題的分析，請大家嘗試解決問題吧。

【設計意圖】：設計蘊含著問題與核心知識的情境，不僅能夠激發(fā)學生的學習興趣，更重要的是學生在將情境中的數學問題抽離出來并探索解決問題的方法時，自然建立了數學與實際問題間的橋梁，學生在與問題情境有效溝通的過程中，學會用數學的眼光看問題，形成研究問題的一般方法。

2.在一定的觀念指引下大膽嘗試，解決問題：

解法一（學生分享）：

t=9，旋轉形成的圓心角為9×=.

t=42與t=12時盛水筒M的位置相同，t=12時旋轉形成的圓心角為12×=.

在圓周上標出這兩個位置，以OP0為始邊，和的終邊都在x軸上方，角的終邊更靠近y軸，其終邊與圓的焦點更高，所以，t=9時盛水筒的位置較高.

同時，通過計算可以知道從t=9到t=42，盛水筒兩次到達最高點.

問題2-1：圓的什么性質起到了關鍵性的作用？

學生：圓的對稱性。

教師：圓心在原點的圓關于y軸對稱的特殊對稱性起到了關鍵性作用.

問題2-2：怎么計算周期？

學生：點在圓上旋轉一周所用的時間為==30s.

【設計意圖】：三角函數是刻畫周期現(xiàn)象的重要數學模型，圓周運動是常見的周期運動，在利用圓解決問題的過程中，感悟三角函數產生的實際背景和基本原理。

解法二（學生分享）：函數解析式為y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）

f（42）=f（12）=5sin

12×

-=5sin=5sin，f（9）=5sin

9×

-=5sin

因為0<<<，函數y=sinx在0

，上單調遞增，所以f（9）>（12），所以t=9時盛水筒的位置較高.

t-=+2kπ?t=10+30k（k∈Ζ），k=0，t=10;k=1，t=40.

所以從t=9到t=42，盛水筒兩次到達最高點.

問題3-1：為什么不直接比較這兩個函數值的大?。?/p>

學生：因為不是特殊角，所以不能手動計算出函數值，要借助函數的性質進行比較。

問題3-2：借助函數的什么性質？

學生：周期性、單調性、對稱性。

問題3-3：你在計算出了f（42）=f（12）=5sin

12×

-=5sin，f（9）=

9×

-=5sin兩個值，為了比較大小，你用了哪個函數的性質.

學生：正弦函數y=sinx

教師：研究正弦函數的經驗完全可以遷移到研究一般的正弦型函數.

【設計意圖】：通過學生對知識的應用，積累活動經驗;通過教師的追問，促使學生反思解決問題時所用到的核心概念與核心性質，形成知識遷移的同時把握數學本質，深入體會相關概念間的本質聯(lián)系。

解法三（學生分享）：函數解析式為y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）

五點法作圖

∵周期T=30，∴f（42）=f（12）.

又∵函數的對稱軸為t=10，∴f（9）=f（11）

由圖像可知，函數y=5sin

t

-，t∈[0，+∞）在t∈[10，25]上單調遞減，∴f（42）=f（12）

結合圖像觀察從t=9到t=42，盛水筒2次到達最高點.

學生提出質疑：t=42秒時，函數y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）圖象上的點與圓上點的位置對應似乎不太對.

學生思維碰撞：t=42秒時，函數y=f（t）=5sin

t

-，t∈[0，+∞）圖象上的點與圓上點的位置對應應該如圖所示：與y軸左側的等高的點相對應.

教師：原因是什么？

學生思維碰撞：t=42秒附近，y的值的變化趨勢是單調遞減，所以在圓周上應該相應的具有相同的變化趨勢，即，逆時針方向旋轉時，盛水筒呈下降趨勢。

教師：其實時間每取一個值，比如說t=9，都對應著圓上的一個位置，也對應著解析式中的一個取值，在函數圖象上也對應著一個點，也就是說，它們都有兩個幾何呈現(xiàn)方式和一個代數值;反過來，最高點所對應的時間，在圓上體現(xiàn)為轉過這個角的時間，就是解相位等于時所對應的時間，當然在函數圖象上我們也能直觀看到對應的自變量.

【設計意圖】：發(fā)現(xiàn)和提出問題是促使學生學會學習并解決問題的最佳時機，教師傾聽、觀察學生的思維困惑，抓住課堂教學關鍵時刻，引導學生質疑、思考、交流，在思維碰撞過程中，把握數學本質，感悟“三角函數解析式”“三角函數圖象”和“三角函數的研究背景——圓”之間的本質關聯(lián)，這才是深度的合作學習。

3.反思數學核心概念、性質和數學思想方法，感悟數學知識間的本質聯(lián)系：

問題4-1：為了比較函數值的大小，我們調動了三角函數的哪些性質解決問題？

學生：周期性、單調性、對稱性

問題4-2：三種方法各自側重什么角度？你能評價一下三位同學的做法么？

學生：第一種方法側重圖形的幾何性質，使用了少許計算;第二種方法側重建立函數模型，利用函數解析式精確計算;第三種方法先建立函數模型刻畫圓周運動，再借助三角函數的圖象觀察函數性質解決問題，側重數形結合。

學生：三種解法中，解析式計算精準，利用圖形工具解決問題非常直觀，它們相互配合，為我們解決問題提供了多種角度，各有優(yōu)勢。

教師：圓心與原點重合的圓上的點的勻速圓周運動，可以用三角函數來刻畫，也可以用它的圖象直觀感受變化規(guī)律，而圓和函數的圖象，它們本質相連。

剛才的研究可以給我們一些啟發(fā)，當研究對象，例如問題中的位置高低既有幾何特征，又有數的解釋時，就有了數形結合的基礎，我們有邏輯的相互轉化，以數解形，以形助數，這就是數和形能夠結合起來解決問題的契機。

【設計意圖】：反思才能更好地出發(fā)！教師應指導學生學會學習，引導學生通過生生評價，抓住核心知識，整體、全面、系統(tǒng)地認識正弦型函數，反思并深入理解數形結合這一數學基本思想方法應用的契機，讓解題成為解決問題，讓解決一個問題成為解決一類問題。我國著名數學家華羅庚曾說：能把書讀厚，又能把書讀薄，讀薄就是抓住本質，抓住重點。抓住本質，才能更好地理解和提升數學核心素養(yǎng)。

4.借助數學活動經驗，引申探索：

【任務二】已知ω>0，函數y=5sin（ωx+φ）.

若φ∈0

，，且f（0）+f

=0，則ω的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? .

方法一：解函數方程.為使得ω最小，須使周期最大，所以考慮0和在同一個周期內.f（0）+f

=0?sinφ+sin

πω+φ=0?sin

πω+φ=-sinφ=sin（-φ）所以πω+φ=-φ+2kπ，πω+φ=π+φ+2kπ（k∈Ζ）

所以ω的最小值為

問題5-1：兩個代數式怎么取舍？取舍的依據是什么？

學生：哪個對應的周期大。

問題5-2：怎么挖掘哪個周期大呢？

學生：可以代數運算，但這個式子πω+φ=-φ+2kπ（k∈Ζ）中的變量比較多，我們可能一時還不能很快確定.

教師：我們可以帶著困惑看一看另外一種解法。由圖像可知

==?ωmin=.

問題5-3：如圖確定圖象和y軸的交點？為什么y軸右側的第一個單調區(qū)間為增區(qū)間？

學生：因為φ∈0

，，所以x=0時，y>0且w>0，x>0時，質點在圓周上的位置先上升.

教師：初相不僅決定了圖象和y軸的交點位置，還決定了函數在該點處的變化趨勢。

問題5-4：能不能借助圖象來理解剛才代數運算中的取舍呢？

學生：為使ω最小，須使周期最大，也就是0和應該在一個周期內，結合圖象，同一個周期內，滿足f（0）+f

=0的有兩個位置，顯然靠左時所對應的周期更大，在πω+φ=-φ+2kπ，πω+φ=π+φ+2kπ（k∈Ζ）兩個式子中，舍掉前者（如圖所示）.

問題5-5：f（0）+f

=0這個代數式，在圖形中對應著0，f（0），

，f

兩個點，它們能夠反映出函數的什么性質？

學生：周期性和對稱性。

教師：本題中是這樣的，如果更加直觀地看，我們可以把這一小段函數圖象對稱過來（如圖），最大值點與右側相鄰最小值點之間的水平距離，其實就是兩條對稱軸間的距離，就是半個周期，有的時候也可以表述為單調區(qū)間。這就是三角函數核心性質之間的內在聯(lián)系。

縱觀這兩個問題，我們在解決問題的時候往往能從圖象上獲得很多的性質的信息，而函數解析式又能嚴謹刻畫函數的性質，數和形相互映照，幫助我們深刻理解相關概念之間的內在聯(lián)系。

【設計意圖】：通過反思—遷移—循環(huán)—提升的解題過程，不僅感悟數形結合解決問題的數學思想方法，同時將和三角函數有關的數學知識和性質看成一個有機整體，用聯(lián)系的觀點整體認識三角函數的背景、概念和性質，在解題中拎出知識結構，這是教學中的一個難點，也是引導學生學會學習的關鍵點。

5.課堂小結

問題6-1：研究正弦型函數你有哪些經驗體會？

學生：研究函數從形上多分析。數形結合幫了大忙。

研究了正弦型函數我就會研究余弦型函數.

高中數學學習不是拿來就算的，要先觀察分析，先要有數學的眼光，數學的推理分析。能畫圖的畫畫圖。大膽嘗試。

解決問題的時候遇到困難不能放棄，要找一找知識概念之間的聯(lián)系。

教師：學習就是不斷積累經驗的過程。

三角函數是刻畫周期現(xiàn)象的重要數學模型，在研究正弦型函數時，我們可以借助研究正弦函數的經驗，利用函數解析式和圖形工具，以數解形，以形助數，借助代數運算刻畫規(guī)律，同時用數和形相互結合理解規(guī)律，這就是數形結合解決問題的三部曲。

六、教學反思：

提升學生的數學能力，培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)，絕不是一蹴而就的，數學知識、技能與核心素養(yǎng)也不是孤立的，教師應該將每一章節(jié)視為一個有機整體，精心設計每一堂課，注重數學的內在邏輯，注重問題引領，推動學生自主學習、自主反思，多設置啟發(fā)學生思考的好問題，在把握數學的本質、領悟數學思想方法上下功夫，激發(fā)學生的創(chuàng)造力，大膽猜想、大膽嘗試。