“兩個(gè)過程”合理性理念下的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“三角函數(shù)的概念”為例

王 凱 (浙江省杭州市源清中學(xué) 310015)

1 問題緣起

2020年11月26日，筆者在參加杭州市某中學(xué)學(xué)術(shù)節(jié)的過程中聽了兩節(jié)“三角函數(shù)的概念”(2019版人教A版必修第一冊5.2節(jié))的同課異構(gòu)課.第一節(jié)課上，A教師以教材給出的框架順序展開教學(xué)，但課堂中學(xué)生明顯不能很好地跟上教師的節(jié)奏來接受知識并給出相應(yīng)的反饋，學(xué)習(xí)過程中認(rèn)知和思維明顯不能達(dá)到教師的要求，所以不能順利按教師的引導(dǎo)問題鏈主動建構(gòu)三角函數(shù)定義；第二節(jié)課上，B教師從初中的三角函數(shù)定義引出問題，但推廣到任意角三角函數(shù)的時(shí)候，B教師用了一個(gè)內(nèi)燃機(jī)傳動原理示意圖說明任意角三角函數(shù)值是隨角的變化而變化的實(shí)數(shù)，這在模型處理上，對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的要求過高，即數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過程欠合理，同樣不能很好地切入三角函數(shù)概念的主題.

在應(yīng)用教材進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐時(shí)，我們應(yīng)該用好教材提供的素材，將數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分暴露在學(xué)生面前，才能吸引學(xué)生積極參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程[1].既要讓數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過程合理，也要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中認(rèn)知的過程、思維的過程合理[2](下文簡稱為“兩個(gè)過程”).所以筆者嘗試用“兩個(gè)過程”合理性的理念，對“三角函數(shù)的概念”這節(jié)課做了一個(gè)全新的教學(xué)設(shè)計(jì)，來談一下如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

2 基于“兩個(gè)過程”思考下的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 對教學(xué)內(nèi)容的基本認(rèn)識

初中階段利用“邊長比”來定義銳角三角函數(shù)，這樣的定義會讓學(xué)生對函數(shù)一般概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生認(rèn)知沖突，所以要重新建構(gòu)三角函數(shù)的定義.并且三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程與前面各類基本初等函數(shù)概念的建構(gòu)過程都不一樣.冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是通過具體實(shí)例的共性歸納而抽象出來的，而三角函數(shù)概念是直接由單位圓上的點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律的描述得到的.所以在這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中要考慮如何將數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分地暴露在學(xué)生面前，設(shè)計(jì)合理的認(rèn)知沖突，讓其參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程，既要讓數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過程合理，也要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中認(rèn)知的過程、思維的過程合理.

2.2 教學(xué)方法的選擇

3 課堂實(shí)錄

3.1 憶初中定義、建認(rèn)知起點(diǎn)

設(shè)問1 同學(xué)們，還記得在初中我們是怎樣定義銳角的三角函數(shù)嗎？

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生已有的初中知識經(jīng)驗(yàn)(邊長比)出發(fā)，著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，這是學(xué)生數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的起點(diǎn)，更是數(shù)學(xué)思維的發(fā)生和發(fā)展的起點(diǎn).

3.2 創(chuàng)設(shè)情境沖突，重識研究視角

圖1

設(shè)問7 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

設(shè)計(jì)意圖借助初中銳角三角函數(shù)中熟悉的“邊長比”場景，引導(dǎo)學(xué)生從已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境沖突，讓學(xué)生用任意角的研究策略來重新認(rèn)識初中的定義，為單位圓的引入做好鋪墊.這個(gè)過程是學(xué)生對原有知識進(jìn)行再認(rèn)識，為再創(chuàng)造提供了基礎(chǔ)，也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中提升了自己原有的認(rèn)知和思維.

3.3 特殊走向一般，完成知識建構(gòu)

設(shè)問11 根據(jù)這樣的想法，對一個(gè)任意角α(α∈R)的正弦、余弦和正切，該如何定義？

設(shè)問12 根據(jù)這個(gè)定義，任意角α(α∈R)的正弦、余弦和正切是否都存在？

接下來師生共同得到三角函數(shù)的定義．

設(shè)計(jì)意圖在銳角三角函數(shù)的具體情境的引領(lǐng)下自然地引入單位圓來定義三角函數(shù)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的，不僅合情合理，甚至很有人情味[3].

在概念建構(gòu)的過程中讓學(xué)生體會三角函數(shù)是“α與x，y直接對應(yīng)”，無須計(jì)算.雖然α，x，y都是實(shí)數(shù)，但實(shí)際上是“幾何元素之間的對應(yīng)”.整個(gè)過程讓學(xué)生參與了知識發(fā)展的過程，不僅使三角函數(shù)定義的引入水到渠成，也讓學(xué)生對函數(shù)的本質(zhì)有了更深入的思考.這培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，使之經(jīng)歷從具體到一般的數(shù)學(xué)抽象過程，切身體驗(yàn)知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程，其認(rèn)知過程和思維過程可以得到新的發(fā)展.

3.4 問題引領(lǐng)思考，新知認(rèn)識深入

設(shè)計(jì)意圖借助問題再次理解三角函數(shù)是“α與x，y直接對應(yīng)”，無須計(jì)算.認(rèn)識到三角函數(shù)的“對應(yīng)關(guān)系”是“幾何元素之間的對應(yīng)”.

問題4設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)O重合)的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為r，試用x,y和r來表示角α的正弦、余弦和正切值.

圖2

設(shè)計(jì)意圖用問題鏈的形式引領(lǐng)學(xué)生思考新的定義，通過問題讓學(xué)生體會初中階段用“邊長比”到直角坐標(biāo)系上的“坐標(biāo)比”，最后回到單位圓來計(jì)算三角函數(shù)值，本質(zhì)上是等價(jià)的，說明了我們的新定義和初中的定義是一脈相承的，是初中定義的繼承和發(fā)展.讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)概念的形成過程是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物[3]，并在這個(gè)過程中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

3.5 課堂小結(jié)

設(shè)計(jì)意圖再次回顧本節(jié)課的研究思路，感受從初中“邊長比”到高中“單位圓”的變化，體會概念在不同認(rèn)知階段會有不同的認(rèn)識深度.

3.6 課堂練習(xí)

設(shè)計(jì)意圖通過這組課本練習(xí)題(179頁到180頁的練習(xí)的1～3題)，讓學(xué)生學(xué)會用這節(jié)課所學(xué)的三角函數(shù)的概念來求三角函數(shù)值，在這個(gè)過程中強(qiáng)化其直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

3.7 課堂拓展

(課本180頁練習(xí)第4題)：已知點(diǎn)P在半徑為2的圓周上按順時(shí)針方向做勻速運(yùn)動，角速度為 1 rad/s，求2 s時(shí)點(diǎn)P所在的位置.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生反思整節(jié)課研究問題的路徑，尋求一種問題解決的范式，讓其自己能建立一個(gè)問題研究的體系，進(jìn)而合理地解決問題.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).

4 課后反思

整個(gè)設(shè)計(jì)以明暗兩線進(jìn)行，重視“概念”的生成.明線是通過具體已知銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角三角函數(shù)的定義，讓學(xué)生在過程中歸納現(xiàn)象和抽象結(jié)論，得到一般化的結(jié)論，即學(xué)生的數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過程；暗線是通過初中銳角三角函數(shù)“邊長比”和函數(shù)一般概念的認(rèn)知沖突，帶領(lǐng)學(xué)生走向高中“單位圓”的定義，在過程中幫助學(xué)生掌握一類問題的研究范式，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，即學(xué)生認(rèn)知和思維的過程發(fā)展.

人教A版高中教材在其主編寄語中說道：“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，從概念到性質(zhì)再到應(yīng)用環(huán)環(huán)相扣，前面的知識未理解，后續(xù)的學(xué)習(xí)就必然遇上實(shí)質(zhì)性的困難.學(xué)數(shù)學(xué)，既沒有捷徑，也沒有靈丹妙藥，唯有按照數(shù)學(xué)的方式，按部就班，循序漸進(jìn)地想，在基礎(chǔ)知識上下足功夫，才能取得好成效.”[4]這節(jié)課的設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了這種思想，基于“兩個(gè)過程”合理性的思考，讓學(xué)生從已有的認(rèn)知出發(fā)，在明(知識)暗(認(rèn)識和思維)交錯(cuò)中，重識認(rèn)知沖突，建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)會遷移后進(jìn)行新的詮釋，最終使學(xué)生的核心素養(yǎng)在“兩個(gè)過程”中落地.