函數(shù)奇偶性問(wèn)題的解法及題型歸類(lèi)

曾光

函數(shù)的奇偶性是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考熱點(diǎn)問(wèn)題之一.?考查方式可以是小題，也可以綜合其它內(nèi)容在大題里出現(xiàn).?奇偶性是考查學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要載體，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).?本文將從新高考的角度對(duì)奇偶性題型進(jìn)行解法分析及歸類(lèi)總結(jié).

一、試題呈現(xiàn)與分析

【2021新高考全國(guó)？玉卷13】已知函數(shù)?f（x）=x3（a·2x-2-x）是偶函數(shù)，則a=????????.

【分析】本題主要考查偶函數(shù)的定義：f（-x）=-f（x）.?或者利用函數(shù)奇偶性的運(yùn)算規(guī)律也可以解決：奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù).

【詳解】方法一（定義）：因?yàn)閒（x）=x3（a·2x-2-x），f（-x）=-x3（a·2-x-2x），故x3（a·2x-2-x）=-x3（a·2-x-2x），整理得（a-1）（2x+2-x）=0，解得a=1.

方法二（運(yùn)算規(guī)律）：易知y=x3為奇函數(shù)，由于f（x）=x3（a·2x-2-x）是偶函數(shù)，因此y=a·2x-2-x也為奇函數(shù)，不妨設(shè)g（x）=a·2x-2-x，則g（-x）=a·2-x-2x，故有g(shù)（-x）=-g（x），-（a·2-x-2x）=a·2x-2-x，整理得（a-1）（2x+2-x）=0，解得a=1.

【小結(jié)】1.?奇函數(shù)性質(zhì)：f（-x）=-f（x），偶函數(shù)性質(zhì)：f（-x）=f（x），以上性質(zhì)是解決奇偶性問(wèn)題的根本，要重視.

2.?奇偶性運(yùn)算規(guī)律：奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù).

二、高考奇偶性題型歸類(lèi)

類(lèi)型一：考查奇偶性定義

例題1.?函數(shù)f（x）=（x+a）（x-4）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=

【解析】本題可以用偶函數(shù)的定義去解決.?同時(shí)本題涉及的函數(shù)為二次函數(shù)，同學(xué)們對(duì)它的圖象較為熟悉，因此也可以用圖像法.

方法一（定義）：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=（x+a）（x-4）為偶函數(shù)，所以滿足f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=x2-（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，得到a=4.

方法二（圖像法）：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，由二次函數(shù)知識(shí)可知圖像為拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為x=-?，要使二次函數(shù)為偶函數(shù)，則對(duì)稱(chēng)軸應(yīng)為y軸，即x=-?=0，這時(shí)得a-4=0，得到a=4.

【小結(jié)】若題目涉及的函數(shù)較為熟悉，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，可以考慮用圖像法，運(yùn)算量較少.?而對(duì)于一般的函數(shù)，則運(yùn)用奇偶性的定義，因此定義法的應(yīng)用范圍較廣.

類(lèi)型二：奇偶性與不等式

例題2.（2020新高考全國(guó)？玉卷8）.?若定義在R的奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，且f（2）=0，則滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是（????）

A.[-1，1]∪[3，+∞）? ?????B.[-3，-1]∪[0，1]

C.[-1，0]∪[1，+∞） ?????D.[-1，0]∪[1，3]

【分析】因?yàn)閒（x）在（-∞，0）在單調(diào)遞減，由奇函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性可知f（x）在（0，+∞）也單調(diào)遞減.?又因?yàn)閒（2）=0，由奇函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性可知f（-2）=0.?然后對(duì)x進(jìn)行分類(lèi)討論便可得到xf（x-1）≥0的解集.

【詳解】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f（2）=0，所以f（x）在（0，+∞）上也是單調(diào)遞減，且f（-2）=0.?如圖所示，結(jié)合圖像易得：當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（0，2）時(shí)，f（x）>0，當(dāng)x∈（-2，0）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）<0，且f（0）=0.

所以由xf（x-1）≥0可得：x<0，-2≤x-1≤0或x>0，0≤x-1≤2或x=0，

解得-1≤x≤0或1≤x≤3，

所以滿足xf（x-1）≥0的x的取值范圍是[-1，0]∪[1，3].

【小結(jié)】1.?奇偶性問(wèn)題與不等式結(jié)合起來(lái)，則常常采用數(shù)形結(jié)合的方法去解決，形如xf（x）≥0，把坐標(biāo)系分成四個(gè)象限去考慮，即坐標(biāo)（x，f（x））的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的正負(fù).?同時(shí)要熟悉奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性特點(diǎn)，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

2.?如果奇函數(shù)的定義域包含0的話，必有f（0）=0.

類(lèi)型三：奇偶性與周期性

例題3（2021全國(guó)高考甲卷理12）.?設(shè)f（x）函數(shù)的定義域?yàn)镽，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=ax2+b.?若f（0）+f（3）=6，則f（?）=（????）

A.?-???B.?-???C.????D.

【分析】通過(guò)f（x+1）是奇函數(shù)和f（x+2）是偶函數(shù)這兩個(gè)條件，可以確定出函數(shù)解析式f（x）=2x2+2，進(jìn)而利用條件推出周期性結(jié)論，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)閒（x+1）為奇函數(shù)，設(shè)g（x）=f（x+1），則g（x）為奇函數(shù)，由奇函數(shù)定義得g（-x）=-g（x），即f（-x+1）=-f（x+1）……?①

同理，f（x+2）為偶函數(shù)，則有f（x+2）=f（-x+2）……②

令x=1，由①得：f（0）=-f（2）=-（4a+b），由②得：f（3）=-f（1）=a+b，

因?yàn)間（x）為奇函數(shù)，故g（0）=0，得a+b=0，

又由f（0）+f（3）=6得，-（4a+b）+0=6，由以上兩式解得a=-2，b=2.

通過(guò)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)性可推得，函數(shù)f（x）的周期T=4.?具體過(guò)程如下：

因?yàn)閒（-x+1）=-f（x+1），令x=x-1，?代入得f（-（-x+1）+1）=-f（x-1+1），整理得f（-x+2）=-f（x）.

又因?yàn)閒（x+2）=f（-x+2），故得f（x+2）=-f（x）……③

令x=x+2，代入③f（x+4）=-f（x+2）得……④

由③④得f（x+4）=f（x），故f（x）的周期T=4.

f（?）=f（?+4）=f（?）=f（-?+1）=f（?+1）=-f（?）=-（-2×（?）2+2）=?.

【小結(jié)】1.?本題為奇偶性與周期性綜合問(wèn)題，難度較大，需要先掌握周期的推理能力.

2.?本題的邏輯推理過(guò)程較多，需要有清晰的思路.?要求熟練掌握待定系數(shù)法.

變式1（2021全國(guó)高考甲卷文12）.?設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（1+x）=f（-x）.?若f（-?）=?，則f（?）=（????）

A.?-? B.?-? C.?? D.

【分析】本題與上題考查的內(nèi)容基本一致，都是奇偶性與周期性結(jié)合的問(wèn)題，但本題沒(méi)有涉及待定系數(shù)，難度較小.?通過(guò)f（x）是奇函數(shù)和性質(zhì)f（1+x）=f（-x）可以推出周期性，進(jìn)而得到答案.

【詳解】因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，則有f（-x）=-f（x），又已知f（1+x）=f（-x），因此得f（1+x）=f（x）……①，

令x=x+1，代入①得：f（1+x+1）=-f（x+1），化簡(jiǎn)得：f（2+x）=-f（x+1）……②，

由①②得f（2+x）=-f（x+1）=f（x），即f（2+x）=f（x），所以有周期T=2.?故有f（?）=f（-?+2）=f（-?）=?，因此選C.

【小結(jié)】對(duì)于奇偶性與周期性綜合問(wèn)題，需要先掌握周期的推理過(guò)程.

類(lèi)型四：奇偶性與函數(shù)圖像

例題4（2021全國(guó)高考乙卷理4）.?設(shè)函數(shù)f（x）=?，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（????）

A.?f（x-1）-1?B.?f（x-1）+1?C.?f（x+1）-1?D.?f（x+1）+1

【分析】通過(guò)四個(gè)選項(xiàng)求出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，再通過(guò)奇函數(shù)的定義驗(yàn)證可得出答案.?另外還可以對(duì)f（x）=?進(jìn)行變形，然后平移也可得到答案.

【詳解】方法一：對(duì)于A，f（x-1）-1=?-2不是奇函數(shù);對(duì)于B，f（x-1）+1=?是奇函數(shù);對(duì)于C，f（x+1）-1=?-2，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不是奇函數(shù);對(duì)于D，f（x+1）+1=?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不是奇函數(shù).

方法二：由題意可得f（x）=?，變形得：f（x）=?=?=?-?=?-1.

即f（x）=?-1，接下來(lái)對(duì)f（x）的圖像（圖2）進(jìn)行平移，先把圖像往上平移一個(gè)單位得到f（x）+1=?-1+1=?，如圖3.?再把圖像往右移一個(gè)單位得到f（x-1）+1=?=?，如圖4，易知y=?為奇函數(shù).?因此選B.

【小結(jié)】1.?對(duì)于奇偶性的定義要熟練掌握：1.?定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).?2.?奇函數(shù)有f（-x）=-f（x），偶函數(shù)有f（-x）=f（x）.

2.?本題可以逆回來(lái)畫(huà)圖像：y=?→?→?-1.

類(lèi)型五：局部奇偶性函數(shù)問(wèn)題

例題5.?已知函數(shù)f（x）（x∈R）是奇函數(shù)，g（x）=3f（x）+2.?，若g（-9）=-2.?則?g（9）=????????.

【分析】f（x）是奇函數(shù)，但g（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，看似與奇函數(shù)問(wèn)題無(wú)關(guān).?然而g（x）的表達(dá)式的主要部分為3f（x），明顯是一個(gè)奇函數(shù)，即g（x）整體不具有奇偶性，局部有奇偶性，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為局部奇偶性問(wèn)題.?對(duì)于局部奇函數(shù)的問(wèn)題，可以利用f（-x）=?-f（x）解決問(wèn)題.

【詳解】因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，故有f（-x）=-f（x），g（-9）=3f（-9）+2=-2.

得f（-9）=-?，即-f（9）=-?，所以有f（9）=?.

因此有g(shù)（9）=3f（9）+2=3×?+2=6.

【答案】6.

【小結(jié)】解決局部奇偶性問(wèn)題，關(guān)鍵在于認(rèn)清函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，才能對(duì)癥下藥：如3f（x）+2，3f（x）為奇函數(shù)，2為偶函數(shù)（常數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)），奇偶數(shù)+偶函數(shù)可以用本題的方法解決.

對(duì)于奇偶性常見(jiàn)問(wèn)題歸結(jié)為以上五種類(lèi)型，對(duì)于解決這五種類(lèi)型的規(guī)律總結(jié)如下：

1.?如果奇函數(shù)的定義域包含0的話，必有f（0）=0.

2.?奇偶性運(yùn)算規(guī)律：奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù).

3.?奇偶性問(wèn)題與不等式結(jié)合起來(lái)，則常常采用數(shù)形結(jié)合的方法去解決，因此要熟悉奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性特點(diǎn)，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

4.?對(duì)于奇偶性與周期性綜合問(wèn)題，需要先掌握周期的推理過(guò)程，得到f（x+T）=f（x），周期則為T(mén).

5.?對(duì)于函數(shù)奇偶性的問(wèn)題，若是常見(jiàn)函數(shù)的話，一般情況下用圖象法會(huì)比較直觀快速地解決.

6.?對(duì)于局部奇偶性的問(wèn)題，往往是用不了圖像法的，需要用定義：f（-x）=-f（x）.

同學(xué)們可以通過(guò)分類(lèi)練習(xí)，梳理解題思路，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)奇偶性問(wèn)題的理解，從而提升新高考試題的解題能力！

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)