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    初中數(shù)學陰影面積的求法

    2021-09-10 22:21:09林思語
    小作家報·教研博覽 2021年22期
    關鍵詞:解題策略初中數(shù)學

    林思語

    摘要:幾何知識是初中數(shù)學的重要組成部分,同時也是我們學生進行深入學習的基礎,求陰影部分的面積是初中幾何常見的題型,也是幾何知識應用的難點。初中平面陰影部分面積一般是由幾個圖形互相疊加而產(chǎn)生的不規(guī)則圖形,這就要求同學們要對所求陰影部分的面積進行思考,并分解或組合成新的規(guī)則圖形,從而求出陰影部分面積。本文將初中求陰影部分面積的幾種方法與大家進行探討。

    關鍵詞:初中數(shù)學;幾何試題;陰影部分面積;解題策略

    中圖分類號:A ?文獻標識碼:A ?文章編號:(2021)-22-449

    求不規(guī)則幾何圖形陰影面積是初中幾何的難點,同時也是高中幾何概型知識的基礎,幫助同學們掌握幾何體陰影部分面積的解題方法,不僅能讓同學們對平面幾何有深入的了解,同時也能提升同學們的思維品質,促進同學們數(shù)學思想的提升,為我們以后的學習奠定基礎。下面就結合具體試題對幾種求陰影部分面積的試題方法進行論述:

    一、 和差法

    和差法是求平面圖形陰影面積的有效方法,通過幾個規(guī)則的圖形的相加、相減得出所求陰影部分的面積。和差法又可以分為直接和差法和構造和差法,對于一些比較簡單的圖形組合,同學們可以用和差法進行直接分析和解決,而對于一些復雜的圖形組合,需要同學們做輔助線構造和差法,從而有效地解決問題。

    (一)直接和差法

    直接和差法的問題一般比較簡單,我們直接就可以看出其中的圖形組合,從而通過幾個規(guī)則圖形的加減就可以達到解題的目的。

    【例題】 如圖所示,以五邊形 ABCDE 的頂點為圓心,分別做半徑為1的五個圓,已知這五個圓互相不重合,那么,圖中陰影部分的面積是多少?

    分析:由于陰影部分的面積由5個不規(guī)則扇形組成,不能直接計算。通過觀察可以發(fā)現(xiàn),5個扇形對應的圓心角為五邊形的內(nèi)角,則可以直接將這5個不規(guī)則扇形進行相加,從而求出陰影部分的面積:

    (二)構造和差法

    對于比較復雜的陰影部分面積的求法,不能直接進行圖形的加減,這就對我們的思維提出了新的要求,要求同學們能夠通過做輔助線來構造和差法,將不規(guī)則的圖形轉化為規(guī)則的圖形,有效的解出陰影部分面積。

    【例題】 如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=45°,以AB為直徑的⊙O交BC于點D,若BC=42則圖中陰影部分的面積為?( )

    A. π+1 ? ?B. π+2

    C. 2π+2 ? D. 4π+1

    分析:本題所求的陰影部分面積不能直接通過和差法算出,需要同學們做輔助線,連接OD,將所求的陰影部分轉化為三角形和扇形的面積之和,從而根據(jù)已知條件可以得出正確答案為B。

    二、 割補法

    所謂割補法,就是將陰影部分的面積分成幾個部分,要求我們有一定的數(shù)學思想,能夠對問題進行綜合分析,將復雜的未知圖形通過“割”“補”轉化為簡單的已知圖形,從而再運用公式或和差進行問題的解答。初中常用的割補法有轉化、全等、旋轉、移動等,主要是將未知的圖形或面積與已知的圖形面積之間建立起關系,從而有效地解決問題。

    (一)轉化法

    在對一些求不規(guī)則陰影部分面積的試題的時候,我們要運用幾何知識,將未知的陰影部分轉化為已知的非陰影部分,從而構造出規(guī)則的圖形,運用公式進行計算即可。這就要求我們對幾何面積的轉化要有靈活的運用,能夠從具體的問題中進行分析和解答,從而有效的提升大家的學習能力。

    【例題】 在圓O上有A、B、C、D四個點,已知AC、BD是圓O的直徑,在ABCD所圍成的四邊形中,假如∠BAC=36°,AC=10cm,求圖中的陰影部分面積。

    分析,根據(jù)題意可知ABCD所圍成的四邊形為矩形,并且AO=BO=CO=DO,所以對角線將矩形分成的四個三角形面積相等,這樣所求陰影部分△AOB和△COD面積就可以轉化為△AOD和△BOC,這樣根據(jù)∠BAC=36°,可以得出∠AOD=72°,則根據(jù)公式可以順利地求出陰影部分面積為10π。

    (二)平移法

    有些陰影部分面積不能直接求出,這就要求我們根據(jù)問題進行分析,將其中的某一部分進行平移,構造出直觀的量,與已知的條件建立起聯(lián)系,這樣就更容易將其中的陰影部分面積求出,拓展同學們的思維,幫助同學們掌握數(shù)學的思想方法。

    【例題】 如圖所示的兩個半圓中,其圓心分別為M、O,已知在大半圓O中有一條直線AB,與圓O的直徑CD平行,并且與半圓M相切于E點,AB=8cm,那么圖中陰影部分的面積是多少?

    分析:本題只有一個有數(shù)據(jù)的已知條件,在圖中并不能直接的算出陰影部分的面積,因此可以將小圓M平移,讓M點和O點重合,這樣連接OE和OB,就構造出一個直角三角形,根據(jù)勾股定理可得:而圖中陰影部分面積是大半圓面積減小半圓的面積之差,因此可以得出代入得8π。

    割補法是求陰影部分面積的常用方法,其中還有全等、變形、旋轉等方法,其主旨就是通過對圖形進行割補,將陰影部分的面積轉化為已知圖形的面積,這樣通過公式就可以順利地求出了。

    總之,求平面圖形陰影部分面積是初中知識的重點,同時也是教學的難點,我們要由淺入深的逐步掌握各種幾何圖形組合的本質,通過旋轉、變形、轉化等數(shù)學思想來對所求的陰影部分進行轉化,將其轉化為規(guī)則的圖形,并和已知條件通過幾何或是代數(shù)的關系建立起聯(lián)系,這樣不僅能提升我們的思維能力,同時也能提高我們的問題分析和解決能力。

    指導老師:蘇來旺

    參考文獻

    [1]沈凌云.初中數(shù)學教學中數(shù)形結合思想的培養(yǎng)[J].數(shù)學教學通訊,2014(31).

    [2]杜遠堂.數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中的應用[J].語數(shù)外學習(初中版下旬),2014(07).

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