從一道幾何題談直觀想象素養(yǎng)的落實(shí)

柳軍 安振亞

摘? 要：通過一道幾何題的思路剖析和教學(xué)啟示，闡述在初中階段，要有效落實(shí)直觀想象素養(yǎng)，需要理解直觀想象素養(yǎng)，注重學(xué)生的積極參與和信息技術(shù)的使用.

關(guān)鍵詞：直觀想象;解題教學(xué);信息技術(shù)

一、問題的提出

2019年9月，筆者到某農(nóng)村中學(xué)支教，觀察發(fā)現(xiàn)：該校生源質(zhì)量參差不齊，數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平偏低，尤其是直觀想象素養(yǎng)有待提升. 具體表現(xiàn)為：空間觀念尚未有效建立，即不能順利地從現(xiàn)實(shí)情境中根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，不能根據(jù)幾何圖形想象出實(shí)際物體，不能有效實(shí)現(xiàn)文字語言、圖形語言與符號語言之間的相互轉(zhuǎn)化;幾何直觀有待提升，即不能將相對復(fù)雜、抽象的問題“圖形化”，進(jìn)而利用圖形描述和分析問題;數(shù)學(xué)思維沒有得到有效訓(xùn)練，幾何思維能力偏低. 這是很多農(nóng)村中學(xué)的縮影. 因此，培育學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)成為教學(xué)中亟待解決的問題. 直觀想象是六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，是發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的重要手段與方式，也是一種思維習(xí)慣與思維方式，在素養(yǎng)結(jié)構(gòu)體系中占有重要地位. 在初中階段，要如何有效落實(shí)直觀想象素養(yǎng)？對于這個(gè)問題，筆者先從一道幾何題談起.

二、直觀想象視角下的試題解析

此題以矩形為背景，綜合考查了矩形的性質(zhì)、角平分線的概念、勾股定理、三角形全等與相似等數(shù)學(xué)核心知識;培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力，以及分析問題和解決問題的能力;滲透了轉(zhuǎn)化、方程、直觀模型等數(shù)學(xué)思想;踐行了“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的課程理念.

1. 思路剖析

觀察、分析圖1可知，前兩道小題的證明與線段[EF，][BH]無關(guān)，故從圖1中抽取出圖2.

第（1）小題較為基礎(chǔ)，觀察圖2，易得[GE，GC]在圖形中的位置關(guān)系，即[GE，GC]分別在[△EBG]和[△CBG]內(nèi)，要證[GE=GC，] 只需要證[△EBG≌△CBG.] 聯(lián)系[BG]是[∠EBC]的平分線，[BE=BC，BG]是公共邊，即可證明.

第（2）小題以第（1）小題為基礎(chǔ). 觀察、分析圖2，可知[△ABE]和[△DEG]均為直角三角形，要證明[△ABE∽][△DEG，] 從邊的角度行不通，可以從角的角度入手，證明一組銳角相等即可. 由第（1）小題，可知[∠BEG=∠C=90°.] 由[∠AED]是平角，可得[∠AEB+][∠DEG=90°.] 由[∠A=∠D=90°，] 得[∠DGE+∠DEG=90°.] 故[∠AEB=∠DGE.] 于是得[△ABE∽△DEG.]

第（3）小題是初中常見的“十字”模型，不同的是該模型中蘊(yùn)含著運(yùn)動變化. 分析圖1，結(jié)合已知條件，能確定矩形的形狀，即由[△ABE∽△DEG，BC=10，][CG=5，] 得[AE=2DG.] 然后在[Rt△EDG]中，利用勾股定理建立方程，進(jìn)而求出[CD=8.] 接著過點(diǎn)[E]作[EI⊥BC]于點(diǎn)[I，] 證明[△EIF∽△BCH.] 進(jìn)而得到[EFBH=45.]

2. 教學(xué)啟示

上述題目是一道平面幾何題，屬于“圖形與幾何”范疇. 而“圖形與幾何”是初中數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容之一，也是中考的熱點(diǎn)題型. 縱觀近幾年安徽省中考數(shù)學(xué)試題，平面幾何試題都是作為壓軸題出現(xiàn). 解決這樣的試題，需要對幾何圖形進(jìn)行觀察、分析及重組，理清解決問題的思路，探索解決問題的路徑與方法，規(guī)范書寫解決問題的過程. 這往往需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間觀念與幾何直觀能力，對學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)要求較高. 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與幾何知識的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷圖形的抽象、識別、性質(zhì)探索、運(yùn)動、位置確定等過程，幫助學(xué)生建立空間觀念，發(fā)展幾何直觀能力，培育學(xué)生運(yùn)用直觀想象理解與解決數(shù)學(xué)問題的意識. 在初中階段，要有效落實(shí)直觀想象素養(yǎng)，除了要貫徹“以學(xué)生發(fā)展為本”的理念，還需要教師理解直觀想象素養(yǎng).

三、直觀想象素養(yǎng)的理解

1. 直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式，特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

從字面上看，作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的“直觀想象”是一個(gè)并列短語，而且是一個(gè)經(jīng)過簡縮的短語，其完整表述是“幾何直觀和空間想象”. 然而，它不是幾何直觀與空間觀念的簡單組合，而是空間想象、空間觀念與幾何直觀的有機(jī)整合.

2. 初中階段視角下的直觀想象素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把空間觀念與幾何直觀作為兩個(gè)核心關(guān)鍵詞，并對其作用進(jìn)行了解釋性說明.

空間觀念是感知、想象和思維相結(jié)合的產(chǎn)物，是在空間知覺基礎(chǔ)上形成的關(guān)于物體形狀、大小和位置關(guān)系的表象，是發(fā)展空間想象力的基礎(chǔ). 發(fā)展空間觀念實(shí)質(zhì)上是發(fā)展初步的空間想象能力. 而幾何直觀是借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力. 兩者共同構(gòu)成了初中直觀想象素養(yǎng)的“骨架”. 因此，在初中階段，落實(shí)直觀想象素養(yǎng)實(shí)質(zhì)上就是培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念與幾何直觀能力.

3. 直觀想象適用的學(xué)習(xí)領(lǐng)域及其內(nèi)容

直觀想象適用的學(xué)習(xí)領(lǐng)域基本涵蓋整個(gè)初中數(shù)學(xué)課程，包括“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計(jì)”等. 其中，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)想象它的幾何意義;利用函數(shù)的圖象研究它的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)想象它的圖象;根據(jù)絕對值聯(lián)想到數(shù)軸等，發(fā)展空間觀念與幾何直觀能力. 在“圖形與幾何”領(lǐng)域，研究圖形（相交線、平行線、三角形、四邊形和圓）的性質(zhì)和運(yùn)動變化（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、投影與視圖）、確定物體的位置（平面直角坐標(biāo)系）等，發(fā)展空間觀念. 在“概率與統(tǒng)計(jì)”領(lǐng)域，根據(jù)數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表，再根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表提取信息、做出判斷等，發(fā)展幾何直觀能力.

四、落實(shí)直觀想象素養(yǎng)的案例

理解直觀想象素養(yǎng)固然重要，但是落實(shí)直觀想象素養(yǎng)才是最終的目的. 而落實(shí)直觀想象素養(yǎng)的主要場所在數(shù)學(xué)課堂，有效途徑在于教學(xué)過程.

案例：上述題目第（3）小題的教學(xué)過程設(shè)計(jì).

學(xué)生在解決上述題目第（2）小題后，教師提出如下問題.

問題1：若[BC=10，CG=5，] 你能求出圖2中的哪些線段長？

【說明】待學(xué)生完成回答后，運(yùn)用幾何畫板軟件在CG上構(gòu)造動點(diǎn)H，然后構(gòu)造線段BH，再過點(diǎn)E構(gòu)造BH的垂線，交線段BC于點(diǎn)F，隱去垂線構(gòu)造線段EF，即[EF⊥BH]，得到圖1，為用幾何畫板軟件驗(yàn)證做鋪墊，接著提出問題2.

問題2：你能求出[EFBH]的值嗎？

【說明】學(xué)生受知識基礎(chǔ)所限，可能回答不出這個(gè)問題，于是引導(dǎo)學(xué)生采用先猜想后證明的方法，輔以幾何畫板軟件演示.

研究如下兩種特殊情況.

情況1：如圖3，當(dāng)點(diǎn)[H]與點(diǎn)[G]重合時(shí)，易知點(diǎn)[F]與點(diǎn)[C]重合，[EF=ED2+CD2=45，BG=BC2+CG2=][55，] 故[EFBH=45];

五、思考

1. 注重學(xué)生的參與

幾何圖形舍棄了現(xiàn)實(shí)物體的物質(zhì)屬性，甚至空間的延伸，只關(guān)注物體的形狀、大小與位置關(guān)系. 因此，幾何圖形兼具抽象性與直觀性的特點(diǎn). 而這種特點(diǎn)決定了幾何圖形是培育學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的主要載體. 然而學(xué)生并非天生具有直觀想象素養(yǎng)，對直觀想象素養(yǎng)的培育也不是一步到位的. 這就要求在實(shí)際的教學(xué)活動中，教師不僅要有意識地引導(dǎo)學(xué)生借助直觀想象展開觀察、思考與想象，還要鼓勵學(xué)生積極主動地參與到教學(xué)活動中. 幾何教學(xué)需要學(xué)生用眼睛直觀感知實(shí)際物體、用手操作確認(rèn)實(shí)驗(yàn)猜想、用腦思考演繹過程，積累基本活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念. 在解題教學(xué)中，需要學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合意識，需要學(xué)生獨(dú)立思考、分組討論、合作交流、分享成果，發(fā)展幾何直觀能力，這一切都離不開學(xué)生的參與. 例如，在案例中，借助問題串引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，思考圖形元素間的位置與數(shù)量關(guān)系，適當(dāng)重組圖形的結(jié)構(gòu)（構(gòu)造輔助線、對圖形的再抽象、幾何畫板軟件演示等），構(gòu)建條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而解決問題. 整個(gè)過程都需要學(xué)生的積極參與，否則培育與落實(shí)直觀想象素養(yǎng)的效果將會大打折扣.

2. 注重信息技術(shù)的使用

在當(dāng)今社會，信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響. 大數(shù)據(jù)時(shí)代無處不在的可視化把幾何直觀的意義推向了現(xiàn)代信息技術(shù)的高峰，可視化實(shí)現(xiàn)（制作、閱讀和運(yùn)用）的依據(jù)就是人們的幾何直觀. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)內(nèi)容的深度融合實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的教學(xué)效果. 利用信息技術(shù)直觀快捷、資源豐富的優(yōu)勢，能夠幫助學(xué)生有效發(fā)展直觀想象素養(yǎng). 例如，利用幾何畫板、GeoGebra等數(shù)學(xué)軟件畫函數(shù)圖象、幾何圖形的運(yùn)動變化，根據(jù)數(shù)據(jù)信息繪制合適的統(tǒng)計(jì)圖表，以及開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等. 題目中的點(diǎn)[H]是運(yùn)動變化的，[EF]與[BH]的長度隨之變化，那么它們的比值[EFBH]是否也變化呢？對于這個(gè)問題，傳統(tǒng)的教學(xué)手段往往“說不清、道不明”，而利用幾何畫板軟件的可視化、動態(tài)化、可度量的特性，可以圓滿解決，并且還可以從中發(fā)現(xiàn)其他的結(jié)論，即線段[FH]的長度有最小值. 因此，要充分發(fā)揮信息技術(shù)的可視化優(yōu)勢，使其與數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合，不僅讓它成為落實(shí)直觀想象素養(yǎng)的助手，而且讓它成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的利器.

總之，直觀想象素養(yǎng)的落實(shí)，首先需要教師正確理解直觀想象素養(yǎng)，因?yàn)橹挥袑χ庇^想象素養(yǎng)有了正確、深刻的理解，才會自覺地將其應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中;其次，要注重學(xué)生的積極參與和信息技術(shù)的使用. 而教師只有不斷提高自己的教學(xué)業(yè)務(wù)與理論水平，才能更好地助力直觀想象素養(yǎng)的落實(shí).

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