變化的圖形折疊 不變的數(shù)學(xué)思想

霍明霞 耿婭

摘? 要：中考試題中的圖形折疊問題展示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)和不變的數(shù)學(xué)思想，題型多樣、變化靈活. 文章從動(dòng)手操作、折疊后求值、折疊后確定點(diǎn)的位置三個(gè)類型的圖形折疊問題出發(fā)，多角度分析2020年中考試卷中“折疊問題”的考法和命題特色，挖掘圖形折疊試題的命題思想及教學(xué)研究趨勢(shì)，為師生提供借鑒和參考.

關(guān)鍵詞：折疊問題;軸對(duì)稱性;命題特色;幾何直觀;數(shù)形結(jié)合

圖形折疊是生產(chǎn)、生活中普遍存在的數(shù)學(xué)實(shí)踐問題，強(qiáng)化對(duì)該問題的研究和運(yùn)用，既有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和動(dòng)手能力，又有利于充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的社會(huì)應(yīng)用價(jià)值，使學(xué)生真正意識(shí)到數(shù)學(xué)是活學(xué)活用的科學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生研究數(shù)學(xué)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 圖形折疊試題是考查學(xué)生空間想象能力、實(shí)驗(yàn)操作能力和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想與方法的一類題型. 教師要注重使學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、推理、想象等過程，倡導(dǎo)自主探索、合作交流與實(shí)踐創(chuàng)新的學(xué)習(xí)方式，以充分實(shí)現(xiàn)圖形與幾何的教育價(jià)值，督促學(xué)生通過實(shí)踐了解、探索、掌握與折疊問題有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí). 在近年來(lái)的中考試題中，圖形折疊試題活潑、新穎，富有創(chuàng)意，引導(dǎo)師生在變化的圖形折疊中感悟不變的數(shù)學(xué)思想. 本文僅就2020年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“折疊問題”的考法和命題特色進(jìn)行分析.

一、動(dòng)手操作型

1. 折疊確定圖形

例1 （青海卷）剪紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù). 將一張紙片按圖1中①，②的方式沿虛線依次對(duì)折后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是（ ? ）.

分析：此題將剪紙這一精湛的民間藝術(shù)形式與折疊問題相結(jié)合，直觀而有趣地讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與圖形有關(guān)的問題. 這些問題可以化繁為簡(jiǎn)，抽象成數(shù)學(xué)問題，通過理論與實(shí)踐相結(jié)合的方式培養(yǎng)學(xué)生的綜合研究學(xué)習(xí)能力，并最終用不變的數(shù)學(xué)思想方法予以解決. 此類試題最大的特點(diǎn)就是可以通過動(dòng)手操作得出答案.

簡(jiǎn)解：按照?qǐng)D1中的順序，將紙片先向右對(duì)折，再向上對(duì)折，最后從斜邊處剪去一個(gè)直角三角形，在直角頂點(diǎn)處剪去一個(gè)等腰直角三角形，展開后實(shí)際是從原紙片的四邊處各剪去一個(gè)直角三角形，在原紙片的中心處剪去一個(gè)和原紙片位置基本一致的正方形，則可得圖案為 . 故此題選擇選項(xiàng)A.

【評(píng)析】此題以動(dòng)手操作的圖形折疊問題考查對(duì)稱性，涉及對(duì)動(dòng)手能力、逆向思維能力、直觀想象能力的考查，體現(xiàn)了運(yùn)用圖形思考問題、分析問題的教育價(jià)值.

2. 折疊探究角的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系

例2 （安徽卷）在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，敏敏進(jìn)行了如下操作：如圖2，將四邊形紙片[ABCD]沿過點(diǎn)[A]的直線折疊，使得點(diǎn)[B]落在[CD]上的點(diǎn)[Q]處，折痕為[AP;]再將[△PCQ，△ADQ]分別沿[PQ，AQ]折疊，此時(shí)點(diǎn)[C，][D]落在[AP]上的同一點(diǎn)[R]處. 試完成下列探究.

（1）[∠PAQ]的大小為 ? ? ?;

（2）當(dāng)四邊形[APCD]是平行四邊形時(shí)，[ABQR]的值為 ? ? ?.

分析：此題以變化的圖形折疊為背景，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，從角度和線段之間的關(guān)系出發(fā)，通過實(shí)際操作和層層遞進(jìn)的邏輯推理解決問題. 此題作為一道典型的實(shí)際操作問題，要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)觀察、分析、概括所給的變化圖形的特征，揭示軸對(duì)稱的數(shù)學(xué)本質(zhì).

簡(jiǎn)解：（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)，得[∠B=∠AQP，] [∠DAQ=∠PAQ=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠RQP，][∠D=∠ARQ，∠C=∠PRQ.]

由平角的性質(zhì)，得[∠D+∠C=][180°，] [∠AQP=90°.]

所以[AD∥BC.]

由平行線的性質(zhì)，得[∠DAB=90°.]

易求得[∠DAQ=∠PAQ=∠PAB=30°.]

（2）由折疊的性質(zhì)，得[QR=12CD.]

由平行四邊形的性質(zhì)，得[QR=12AP].

在[Rt△ABP中]，得[cos∠BAP=ABAP=][AB2QR=32.]

所以[ABQR=3.]

【評(píng)析】此題以折疊圖形探究角度和線段長(zhǎng)度關(guān)系來(lái)考查軸對(duì)稱性，將圖形的軸對(duì)稱性、平行四邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的計(jì)算等知識(shí)融合于同一幾何圖形背景，考查學(xué)生的邏輯推理能力.

3. 操作探究

例3 （天津卷）將一個(gè)直角三角形紙片OAB放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)[O0，0]，點(diǎn)[A2，0]，點(diǎn)[B]在第一象限，[∠OAB=90°]，[∠B=30°]，點(diǎn)[P]在邊[OB]上（點(diǎn)[P]不與點(diǎn)[O，B]重合）.

（1）如圖3，當(dāng)[OP=1]時(shí)，求點(diǎn)[P]的坐標(biāo).

（2）折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點(diǎn)[P，] 并與[x]軸的正半軸相交于點(diǎn)[Q，] 且[OQ=OP，] 點(diǎn)[O]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為[O，] 設(shè)[OP=t].

① 如圖4，若折疊后[△OPQ]與[△OAB]重疊部分為四邊形，[OP，OQ] 分別與邊[AB]相交于點(diǎn)[C，D，] 試用含有[t]的式子表示[OD]的長(zhǎng)，并直接寫出[t]的取值范圍;

② 若折疊后[△OPQ]與[△OAB]重疊部分的面積為[S]，當(dāng)[1≤ t ≤3]時(shí)，求[S]的取值范圍.（直接寫出結(jié)果即可.）

分析：此題是在變化的圖形中求變量的取值范圍，由折疊的軸對(duì)稱本質(zhì)，找到特殊位置以靜制動(dòng)，使問題得以解決. 此道操作探究型試題閱讀量大，對(duì)學(xué)生研究問題、分析問題的能力有一定要求. 對(duì)于操作題，學(xué)生一定要經(jīng)歷動(dòng)手操作，感受問題形成和延伸的過程，更主要的是要對(duì)操作進(jìn)行認(rèn)真觀察和仔細(xì)分析，找出問題的本質(zhì)，同時(shí)要借助操作示例，運(yùn)用類比思想和取特殊位置的方法尋找解決問題的策略. 第（2）小題第①問的操作對(duì)第②問的解答有啟示作用，由于點(diǎn)[P]的位置發(fā)生改變，折疊后[△OPQ]與[△OAB]重疊部分的形狀也會(huì)發(fā)生改變，先畫出圖形進(jìn)行分析，即可得出結(jié)論.

簡(jiǎn)解：（1）如圖5，過點(diǎn)[P]作[PH⊥OA]于點(diǎn)[H].

在[Rt△PHO]中，當(dāng)[OP=1]時(shí)，可求出[OH=12，][PH=32.]

所以點(diǎn)[P]的坐標(biāo)為[P12， 32].

[O][A（Q， D）][B][x][y][C][P] [圖7] [圖5][O][P][A][B][x][y] [H] [圖6][O][A][B][x][y][Q][P]

（2）① 由翻折過程可得四邊形[OQOP]為菱形.

所以[OQ=OQ=OP=t.]

所以[QA=2-t.]

在[Rt△DAQ]中，易求得[QD=4-2t.]

所以[OD=OQ-QD=3t-4.]

如圖6，當(dāng)點(diǎn)[O]在邊BC上時(shí)，易求得[t=43.]

如圖7，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，易求得[t=2.]

所以t的取值范圍為[43<t<2].

② 分以下三種情況討論.

情況1：如圖8，當(dāng)[1≤ t ≤43]時(shí)，易求得[S=][S△PQO=34t2.]

所以[34≤S≤439.]

情況2：如圖9，當(dāng)[43<t<2]時(shí)，易求得[S=S△OPQ-][S△OCD][=-738t2+33t-23.]

所以[439<S≤437.]

情況3：如圖10，當(dāng)[2≤t≤3]時(shí)，易求得[S=S△PDC=][38t-42.]

所以[38≤S≤32.]

綜上所述，當(dāng)[1≤ t≤ 3]時(shí)，[38≤S≤437.]

【評(píng)析】此題第（2）小題以翻折變換為背景，綜合折疊、多邊形的面積、解直角三角形、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，考查學(xué)生的動(dòng)手能力、思維能力，以及利用特殊位置解決問題的能力. 同時(shí)，考查學(xué)生的發(fā)散思維和觀察推理能力，體現(xiàn)了類比思想和分類討論思想在解決數(shù)學(xué)問題中的作用.

二、折疊后求值

1. 求邊長(zhǎng)

例4 （內(nèi)蒙古·呼和浩特卷）如圖11，把某矩形紙片[ABCD]沿[EF，GH]折疊（點(diǎn)[E，H]在邊[AD]上，點(diǎn)[F，G]在邊[BC]上），使點(diǎn)[B]和點(diǎn)[C]落在邊[AD]上同一點(diǎn)[P]處. 點(diǎn)[A]的對(duì)稱點(diǎn)為[A]，點(diǎn)[D]的對(duì)稱點(diǎn)為[D]，若[∠FPG=90°，S△AEP=8，S△DPH=2，] 則矩形ABCD的長(zhǎng)為（ ? ）.

（A）[65+10]? ? （B）[610+52]

（C）[35+10] ? ? （D）[310+52]

分析：此題要求學(xué)生根據(jù)折疊的本質(zhì)找到圖形中隱含的線段關(guān)系，由矩形的性質(zhì)得到線段之間的平行關(guān)系，推出角相等，得到三角形相似，從而找出將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系的解題切入點(diǎn). 設(shè)[AB=x]，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，用含x的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用等面積法列方程求解.

簡(jiǎn)解：設(shè)[AB=CD=x，] 由翻折的性質(zhì)，得[PA=][AB=x，] [PD=CD=x，] [∠PAE=∠HDP=90°.]

由[∠FPG=][90°，] 易證得[△AEP∽△DPH.]

因?yàn)閇S△AEP=8，S△DPH=]2，

所以由相似三角形的性質(zhì)，得[DH=12AP=12x.]

由[S△DPH=12DP ?][DH=2，] 解得[x=22]（負(fù)根舍棄）.

在[Rt△AEP]和[Rt△DPH]中，分別求出[PE=210，][AE=][42，PH=10，DH=2].

故可求得矩形ABCD的長(zhǎng)為[310+52.]

故此題選擇選項(xiàng)[D].

【評(píng)析】此題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和方程思想，化繁為簡(jiǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的教育價(jià)值.

2. 求折痕長(zhǎng)度

例5 （黑龍江·龍東地區(qū)卷）在矩形[ABCD]中，[AB=1，] [BC=a，] 點(diǎn)[E]在邊[BC]上，且[BE=35a，] 連接[AE，] 將[△ABE]沿[AE]折疊. 若點(diǎn)[B]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)[B]落在矩形[ABCD]的邊上，則折痕的長(zhǎng)為 ? ? ?.

分析：此題中，學(xué)生要畫出變化的折疊圖形，需要熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和矩形的性質(zhì). 幾何作圖能力是學(xué)生正確理解幾何圖形及其實(shí)質(zhì)特征的切入性技能，是奠定幾何思維的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，對(duì)于理解幾何內(nèi)涵有重要作用. 對(duì)于此折疊問題，分類作圖是解決這個(gè)問題的起點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是近幾年中考命題的關(guān)注點(diǎn). 此題可以理解為以點(diǎn)[E]為圓心、[BE]為半徑畫圓弧，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)[B]可能落在邊[AD]上或邊[CD]上，故需要分兩種情況進(jìn)行討論.

簡(jiǎn)解：分兩種情況討論.

情況1：如圖12，當(dāng)點(diǎn)[B]落在邊[AD]上時(shí)，由翻折的性質(zhì)，易證得[△ABE]為等腰直角三角形.

所以[BE=1.]

在[Rt△ABE]中，由勾股定理，得[AE=2.]

情況2：如圖13，當(dāng)點(diǎn)[B]落在邊[CD]上時(shí)，易證得[△ADB]∽[△BCE.]

所以[ADBC=DBCE.]? ①

由已知條件易求得[CE=25a，BC=55a，DB=1-][55a，] [AD=a.]

代入①式，解得[a=][53.]

所以[BE=35a=55.]

在[Rt△ABE]中，由勾股定理，得[AE=305].

綜上所述，折痕的長(zhǎng)為[2]或[305].

【評(píng)析】解決此題需要依據(jù)文字描述畫出變化的折疊圖形. 此題涉及翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，考查學(xué)生的分類討論、幾何直觀、空間想象等能力.

3. 求面積

例6 （湖北·襄陽(yáng)卷）如圖14，矩形[ABCD]中，[E]為邊[AB]上一點(diǎn)，將[△ADE]沿[DE]折疊，使點(diǎn)[A]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)[F]恰好落在邊[BC]上，連接[AF]交[DE]于點(diǎn)[N]，連接[BN]. 若[BF][?][AD=15]，[tan∠BNF=52]，則矩形[ABCD]的面積為 ? ? .

分析：此題求矩形的面積，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件中的銳角三角函數(shù)值用含字母的式子表示線段長(zhǎng)度，不求線段的具體長(zhǎng)度，而是得到AB與BF的比例關(guān)系直接求解矩形的面積. 在此題中有兩個(gè)模型：一是通過折疊將矩形的直角轉(zhuǎn)化到邊[BC]上，構(gòu)造出直角頂點(diǎn)在線段[BC]上的模型，由“同角的余角相等”轉(zhuǎn)化角之間的相等關(guān)系;二是由折疊的軸對(duì)稱性質(zhì)得到直角，推出四點(diǎn)共圓，轉(zhuǎn)化角之間的相等關(guān)系. 此題將基本模型巧妙的運(yùn)用在折疊問題中，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)最終轉(zhuǎn)化為線段之間的關(guān)系來(lái)解題.

簡(jiǎn)解：由折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)得出[∠BNF=∠BEF.]

所以[tan∠BEF=tan∠BNF=52.]

設(shè)[BF=5x]，則[BE=2x.]

在[Rt△BEF]中，由勾股定理，得[EF=3x.]

所以[AB=5x.]

所以[AB=5BF.]

所以[S矩形ABCD=AB ? AD=5][BF ? AD=155.]

【評(píng)析】此題利用轉(zhuǎn)化線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系表示面積，涉及折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，體現(xiàn)了演繹推理的學(xué)科價(jià)值.

例7 （四川·自貢卷）如圖15，矩形[ABCD]中，[E]是邊[AB]上一點(diǎn)，連接[DE]，將[△ADE]沿[DE]翻折，恰好使點(diǎn)[A]落在邊[BC]的中點(diǎn)[F]處，在[DF]上取點(diǎn)[O]，以點(diǎn)[O]為圓心、[OF]長(zhǎng)為半徑作半圓與[CD]相切于點(diǎn)[G]. 若[AD=4]，則圖中陰影部分的面積為 ? ? ?.

分析：圓本身就是軸對(duì)稱圖形，此題將折疊問題放在圓的背景下進(jìn)行考查，靈活新穎、富有創(chuàng)意. 此題基于圖形折疊前后形狀和大小不變的性質(zhì)，得到折疊前后線段的長(zhǎng)度相等及“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的?。ㄏ遥┫嗟取钡慕Y(jié)論，繼而將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積，實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn).

簡(jiǎn)解：如圖16，設(shè)半圓O與邊[BC]的另一個(gè)交點(diǎn)為[Q]，連接[OG]，[OQ]，[QG.]

設(shè)[OG=][OF=x].

由已知條件，易證得[△DOG∽△DFC.]

所以[DODF=OGFC.]

所以[4-x4=x2.]

解得[x=][43.]

所以半圓O的半徑為[43.]

由已知條件，易證得[△OFQ]為等邊三角形.

所以[FQ=OF=43.]

所以[CQ=FC-FQ=23.]

過點(diǎn)[O]作[OH⊥CF]于點(diǎn)[H，]

易證得四邊形[OHCG]為矩形.

易求得[CG=OH=233.]

所以[S陰影=S扇形FOQ-S△FOQ△+S△GQC△+S△GQO△-S扇形QGO][=][S△CGQ=][12 ? CQ ? CG=12×23×233=239.]

故此題答案為[239].

【評(píng)析】此題是在圖形折疊背景下考查不規(guī)則圖形面積的求解，涉及扇形面積的計(jì)算、切線的性質(zhì)、翻折變換、相似三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，考查學(xué)生的觀察能力、運(yùn)算能力及推理能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

4. 求動(dòng)態(tài)幾何中線段的長(zhǎng)

例8 （遼寧·沈陽(yáng)卷）如圖17，在矩形[ABCD]中，[AB=6，] [BC=8，] 對(duì)角線[AC，BD]相交于點(diǎn)[O，] 點(diǎn)[P]為邊[AD]上一動(dòng)點(diǎn)，連接[OP，] 以[OP]為折痕，將[△AOP]折疊，點(diǎn)[A]的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)[E]，線段[PE]與[OD]相交于點(diǎn)[F]. 若[△PDF]為直角三角形，則[DP]的長(zhǎng)為 ? ? ? ?.

分析：此題將動(dòng)態(tài)幾何問題置于折疊的背景下，命題思路明動(dòng)暗靜，學(xué)生需要緊緊抓住折疊后不變的量，并通過作圖表達(dá)出變化過程中不變的線段和角，找到相似三角形，從而求出線段長(zhǎng)度. 而要解決矩形中的折疊問題，需要考慮矩形的長(zhǎng)和寬與折疊后所得直角三角形的相似關(guān)系.

簡(jiǎn)解：分兩種情況討論.

情況1：如圖18，當(dāng)[∠DPF=][90°]時(shí)，過點(diǎn)[O]作[OH⊥AD]于點(diǎn)[H.]

由中位線定理，可得[OH=12AB=3，] [HD=12AD=4.]

由折疊的性質(zhì)，得[∠APO=][∠EPO=45°.]

所以[HP=OH=3.]

所以[PD=HD-HP=1].

情況2：如圖19，當(dāng)[∠PFD=90°]時(shí)，由勾股定理和矩形的性質(zhì)，得[OA=OC=OB=OD=5.]

所以[OE=5.]

由已知條件，可證得[△OFE∽△BAD.]

所以[OFBA=OEBD.] 可求得[OF=3.]

所以[FD=OD-OF=2.]

由已知條件，可證得[△PFD∽△BAD.]

所以[PDBD=FDAD.] 可求得[PD=52.]

故此題答案為[52]或[1.]

【評(píng)析】此題由運(yùn)動(dòng)過程中的折疊考查軸對(duì)稱問題，涉及翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，主要考查學(xué)生的直觀想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的能力，以及分類討論思想.

5. 求三角函數(shù)的值

例9 （湖北·咸寧卷）如圖20，在矩形[ABCD]中，[AB=2]，[BC=25]，[E]是[BC]的中點(diǎn)，將[△ABE]沿直線[AE]翻折，點(diǎn)[B]落在點(diǎn)[F]處，連接[CF，] 則[cos∠ECF]的值為（ ? ）.

分析：此題圖形的折疊過程中含有更多的變化元素，但折疊過程中對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度相等和對(duì)應(yīng)角相等是其隱含的不變規(guī)律，也是突破解題難點(diǎn)的關(guān)鍵性質(zhì)之一. 而分析圖形折疊前后線段長(zhǎng)度的關(guān)系和角的關(guān)系，前提是需要充分理解折疊過程，并綜合利用外角的性質(zhì)，逐步理清思路，再求出銳角的三角函數(shù)值. 此題折疊后點(diǎn)[B]落在點(diǎn)[F]處，點(diǎn)[F]在矩形[ABCD]外，然而根據(jù)折疊及“[E]是[BC]的中點(diǎn)”這兩個(gè)條件，可以通過三角形外角性質(zhì)得到[∠AEB=][∠ECF].

簡(jiǎn)解：在[Rt△ABE]中，由已知條件和勾股定理，可得[AE=3.]

由翻折變換的性質(zhì)，得[△AFE≌△ABE.]

所以[∠AEF=∠AEB]，[EF=EB=5.]

由[E]是[BC]的中點(diǎn)，易證得[EF=CE.]

由等腰三角形的性質(zhì)，可得[∠EFC=∠ECF.]

由三角形的外角性質(zhì)，易證得[∠AEB=∠ECF.]

所以[cos∠ECF=cos∠AEB=][BEAE=53].

故此題選擇選項(xiàng)[C].

【評(píng)析】此題依托矩形折疊背景通過軸對(duì)稱性質(zhì)考查求銳角三角函數(shù)值，涉及矩形的性質(zhì)、勾股定理、翻折變換、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，主要考查學(xué)生的空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，以及數(shù)形結(jié)合思想.

6. 求點(diǎn)到直線的距離

例10 （重慶A卷）如圖21，三角形紙片[ABC]，點(diǎn)[D]是邊[BC]上一點(diǎn)，連接[AD]，把[△ABD]沿著[AD]翻折，得到[△AED]，[DE]與[AC]交于點(diǎn)[G]，連接[BE]交[AD]于點(diǎn)[F]. 若[DG=GE，] [AF=3，] [BF=2，] [△ADG]的面積為[2]，則點(diǎn)[F]到[BC]的距離為（ ? ）.

（A）[55] ? （B）[255] ? （C）[455] （D）[433]

分析：此題是三角形背景下的圖形折疊問題，設(shè)計(jì)精致，將求點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為求三角形高的問題，有針對(duì)性地對(duì)相關(guān)三角形的面積進(jìn)行分析. 解題時(shí)，需利用圖形變換的本質(zhì)，找到圖形變換前后的聯(lián)系，將折疊與直角三角形的相關(guān)計(jì)算有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

簡(jiǎn)解：因?yàn)閇DG=GE，] [△ADG]的面積為[2]，

所以[△ADE]的面積為[4].

由翻折的性質(zhì)，得[△ADB≌][△ADE，BF⊥AD.⊥]

所以[△ABD]的面積為[4.]

因?yàn)閇BF=2，]

所以[AD=4.]

所以[DF=][AD-AF=1].

所以[BD=5.]

設(shè)點(diǎn)[F]到[BD]的距離為[h，]

由[12 ? BD ? h=][12 ? BF ? DF，]

解得[h=255.]

故此題選擇選項(xiàng)[B].

【評(píng)析】此題以翻折變換為背景，涉及三角形的面積、勾股定理、方程等知識(shí)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí)和轉(zhuǎn)化能力.

7. 求弧長(zhǎng)

例11 （四川·達(dá)州卷）如圖22，在半徑為5的[⊙O]中，將劣弧[AB]沿弦[AB]翻折，使折疊后的[AB]恰好與[OA，OB]相切，則劣弧[AB]的長(zhǎng)為（ ? ）.

（A）[5π3] （B）[5π2] （C）[5π4] （D）[5π6]

分析：此題是在圓中融入折疊問題，把圓的性質(zhì)和折疊的對(duì)稱性相融合. 解題時(shí)，要注意圓折疊的特殊性，同時(shí)結(jié)合三角形、四邊形等幾何知識(shí)，綜合運(yùn)用基本圖形、基本模型和基本結(jié)論來(lái)進(jìn)行解題邏輯架構(gòu).

簡(jiǎn)解：如圖23，作點(diǎn)[O]關(guān)于[AB]的對(duì)稱點(diǎn)[O]，連接[OA，OB.]

由圓和軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得[OA=OB=OA=][OB.]

因?yàn)檎郫B后的[AB]與[OA，OB]相切，

所以[OA⊥OA，OB⊥OB.]

所以四邊形[OAOB]為正方形.

所以[∠AOB=90°].

所以劣弧[AB]的長(zhǎng)為[52π].

故此題選擇選項(xiàng)[B].

【評(píng)析】此題考查了切線的性質(zhì)和軸對(duì)稱性質(zhì)，涉及三角形、特殊平行四邊形、圓、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，考查學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力.

8. 求最值

例12 （四川·涼山州卷）如圖24，矩形[ABCD]中，[AD=12，] [AB=8，] [E]是[AB]上一點(diǎn)，且[BE=3，] [F]是[BC]上一動(dòng)點(diǎn)，若將[△EBF]沿[EF]對(duì)折后，點(diǎn)[B]落在點(diǎn)[P]處，則點(diǎn)[P]到點(diǎn)[D]的最短距離為 ? ? ? .

分析：此題要求學(xué)生在變化的圖形中求兩點(diǎn)間的最短距離. 在折疊過程中，點(diǎn)[P]的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)[E]為圓心、[EB]為半徑的圓弧. 此題既可以利用“三角形的三邊關(guān)系”求[PD]的最值，也可以用“圓和圓外定點(diǎn)”模型探求最值.

簡(jiǎn)解：如圖25，連接DP，DE.

在[Rt△EAD]中，可得[DE][=13].

由折疊的性質(zhì)，可得[EP=EB=3.]

由三角形的三邊關(guān)系，易得[EP+DP>ED.]

所以當(dāng)點(diǎn)[E，P，D]三點(diǎn)共線時(shí)，[DP]的長(zhǎng)度最短. 此時(shí)[DP=DE-EP=][13-3=][10].

故此題答案為[10].

【評(píng)析】此題是以矩形上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)確定對(duì)稱軸的折疊問題，考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)、最短距離等知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)散思維能力和觀察推理能力.

三、折疊后確定點(diǎn)的位置

例13 （廣西·桂林卷）如圖26，已知拋物線[y=][ax+6x-2]過點(diǎn)[C0，2]，交[x]軸于點(diǎn)[A]和點(diǎn)[B]（點(diǎn)[A]在點(diǎn)[B]的左側(cè)），拋物線的頂點(diǎn)為[D]，對(duì)稱軸[DE]交[x]軸于點(diǎn)[E]，連接[EC].

（1）直接寫出[a]的值，點(diǎn)[A]的坐標(biāo)和拋物線對(duì)稱軸的表達(dá)式;

（2）若點(diǎn)[M]是拋物線對(duì)稱軸[DE]上的點(diǎn)，當(dāng)[△MCE]是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)[M]的坐標(biāo);

（3）點(diǎn)[P]是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接[PC，PE]，將[△PCE]沿[CE]所在的直線對(duì)折，點(diǎn)[P]落在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)[P]處. 求當(dāng)點(diǎn)[P]恰好落在直線[AD]上時(shí)點(diǎn)[P]的橫坐標(biāo).

分析：解決第（3）小題需利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，找到全等三角形，通過轉(zhuǎn)化線段相等關(guān)系得到點(diǎn)[P]的坐標(biāo). 正所謂“萬(wàn)變不離其宗”，抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，問題就會(huì)迎刃而解. 而折疊問題的本質(zhì)就是軸對(duì)稱圖形的性質(zhì).

簡(jiǎn)解：（1）[a=-16;] 點(diǎn)A的坐標(biāo)為[A-6，0;] 拋物線的對(duì)稱軸是直線[x=-2.]

（2）利用等腰三角形的性質(zhì)，分[ME=MC，CE=MC，][ME=CE]三種情況討論，即可得出點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[-2，2]或[-2，4]或[-2，22]或[-2，-22].

（3）如圖27，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為[m，n，] 過點(diǎn)[P]作[PQ⊥Ox]于點(diǎn)[Q]，過點(diǎn)[P]作[PQ⊥DE]于點(diǎn)[Q.]

由已知條件，可得[△PQE≌△PQE.]

所以[PQ=PQ=n，] [EQ=EQ=m+2.]

所以點(diǎn)[Pn-2，m+2.]

由點(diǎn)A，D的坐標(biāo)求得直線AD的表達(dá)式為[y=][23x+4.]

將點(diǎn)[P]的坐標(biāo)代入直線AD的表達(dá)式，點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式中，聯(lián)立方程組，求解即可得出[m=][-13-2412]或[m=-13+2412.]

所以點(diǎn)[P]的橫坐標(biāo)為[-13-2412]或[-13+2412].

【評(píng)析】此題是一道二次函數(shù)綜合題，其中第（3）小題為以拋物線上的動(dòng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形折疊問題，考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，以及利用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解題的能力.

四、結(jié)束語(yǔ)

在圖形折疊問題中，折疊的載體可以是線段、三角形、四邊形或圓等基本圖形，問題設(shè)計(jì)可以是動(dòng)手操作型、折疊后求值型或折疊后確定點(diǎn)的位置型，但解決問題的關(guān)鍵都是抓住軸對(duì)稱的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理、銳角三角函數(shù)、相似三角形等知識(shí)，依據(jù)數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想解決問題. 因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)著重幫助學(xué)生掌握幾何圖形的性質(zhì)，使學(xué)生學(xué)會(huì)抓住問題的本質(zhì)，形成解決折疊問題的思維方法. 與此同時(shí)，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作畫圖，體會(huì)幾何直觀在解題中的重要作用，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 教師要通過問題設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、推理、論證，讓學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手、操作、觀察、思考、想象、推理、計(jì)算、反思等過程，使學(xué)生在不同圖形背景下充分應(yīng)用，最終靈活掌握“圖形與幾何”相關(guān)知識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]酈興江，孫秀珍，馬立鋒. 平移與翻折問題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2019（1 / 2）：130-134.