平行四邊形典型易錯題

王友峰

【中考真題】

1. （2020·湖南·衡陽）如圖1，在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O. 下列條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）.

A. AB[?]DC ，AD[?]BC B. AB = DC，AD = BC

C. AB[?]DC，AD = BC D. OA = OC，OB = OD

2. （2020·山東·濱州）下列命題是假命題的是（ ）.

A. 對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形

B. 對角線互相垂直的矩形是正方形

C. 對角線相等的菱形是正方形

D. 對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形

3. （2020·山東·菏澤）如果順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對角線一定滿足的條件是（ ）.

A. 互相平分 B. 相等

C. 互相垂直 D. 互相垂直平分

4. （2020·廣西·玉林）已知：點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)，如圖2所示. 求證：DE[?]BC，且DE=[12]BC.

證明：延長DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接FC，DC，AF，又AE=EC，則四邊形ADCF是平行四邊形，接著以下是排序錯誤的證明過程：①∴DF[ ?] BC;②∴CF[ ?] AD，即CF[ ?] BD;③∴四邊形DBCF是平行四邊形;④∴DE[?]BC，且DE=[12]BC，則正確的證明順序應(yīng)是（ ）.

A. ②→③→①→④ B. ②→①→③→④

C. ①→③→④→② D. ①→③→②→④

5. （2020·湖北·武漢）在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過程中，有下面的問題：如圖3，AC是[?]ABCD的對角線，點(diǎn)E在AC上，AD=AE=BE，∠D=102°，則∠BAC的大小是 .

6. （2020·四川·涼山）如圖4，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一點(diǎn)，且EB=3，F(xiàn)是BC上一動點(diǎn). 若將△EBF沿EF對折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到點(diǎn)D的最短距離為 .

7. （2020·云南）已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊上的點(diǎn)，且EA=EC. 若AB=6，AC=2[10]，則DE的長是 .

8. （2020·陜西）如圖5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，點(diǎn)E在邊AD上，且AE=2. 若直線l經(jīng)過點(diǎn)E，將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)F，則線段EF的長為 .

9. （2020·湖北·恩施）如圖6，AE[?]BF，BD平分∠ABC交AE于點(diǎn)D，點(diǎn)C在BF上，且BC=AB，連接CD. 求證：四邊形ABCD是菱形.

10. （2020·湖南·懷化）定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

（1）下列四邊形是垂等四邊形的是 ;（填序號）

①平行四邊形 ②矩形 ③菱形 ④正方形

（2）圖形判定：如圖7，在四邊形ABCD中，AD[?]BC，AC⊥BD，過點(diǎn)D作BD的垂線交BC的延長線于點(diǎn)E，且∠DBC=45°，證明：四邊形ABCD是垂等四邊形.

11. （2020·內(nèi)蒙古·呼和浩特）如圖8，正方形ABCD中，G是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），DE⊥AG于點(diǎn)E，BF[?]DE，且交AG于點(diǎn)F.

（1）求證：AF - BF=EF;

（2）四邊形BFDE是否可能是平行四邊形，如果可能請指出此時點(diǎn)G的位置，如不可能請說明理由.

【注意事項】

1.判斷四邊形的形狀要明確區(qū)分對角線互相垂直、平分、相等的條件，如第2題、第3題.

2.要靈活運(yùn)用分類討論思想，如第7題.

3. 判定特殊平行四邊形的方法有兩種：（1）逐層判定法，即先判定是否為平行四邊形，再判定是否為矩形或菱形，最后判定是否為正方形;（2）一次判定法，即從任意四邊形出發(fā)，直接說明是矩形、菱形或正方形. 第9題采用兩種方法均可，但需謹(jǐn)防證明平行四邊形后，又證明四邊相等，導(dǎo)致簡單問題復(fù)雜化.

4.認(rèn)真閱讀理解新定義，根據(jù)其特征解決問題.第10題中的“垂等四邊形”有兩個特征：（1）對角線互相垂直;（2）對角線相等.

5.要證a - b = c，可證a = b + c，a - c = b.第11題（1）問將AF - BF = EF改為AF - EF = BF， 證明△ADE ≌ △BAF即可.

6.對于結(jié)論探索型問題，要善于借助觀察、測量等方法得到正確結(jié)論，再進(jìn)行證明，否則易誤入歧途.第11題（2）問，要先得到四邊形BFDE不可能是平行四邊形的結(jié)論，再運(yùn)用反證法證明.

【參考答案】

1. C 2.D 3. C 4.A 5. 26°

6.10（E，P，D共線，PD最短）

7.[2343]或[83]（提示：分點(diǎn)E在CD或AB上）

8. 2[7]（提示：過A，E分別作AG⊥BC，EH⊥BC，垂足分別為G和H）

9. 略

10.（1）④;（2）證BD = DE

11. （1）證△ABF ≌ △DAE;（2）不可能.

理由：若四邊形BFDE是平行四邊形，則DE = BF.易證DE = AF，可得BF = AF，于是∠BAF = 45°.而點(diǎn)G不與B，C重合，故而∠BAF ≠ 45°，出現(xiàn)矛盾，∴四邊形BFDE不能是平行四邊形.